HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscli 29679
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1 𝐴S
shscl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shscli (𝐴 + 𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shscli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4 𝐴S
2 shscl.2 . . . 4 𝐵S
3 shsss 29675 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
41, 2, 3mp2an 689 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ
5 sh0 29578 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
7 sh0 29578 . . . . . 6 (𝐵S → 0𝐵)
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 0𝐵
9 ax-hv0cl 29365 . . . . . . 7 0 ∈ ℋ
109hvaddid2i 29391 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1110eqcomi 2747 . . . . 5 0 = (0 + 0)
12 rspceov 7322 . . . . 5 ((0𝐴 ∧ 0𝐵 ∧ 0 = (0 + 0)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
136, 8, 11, 12mp3an 1460 . . . 4 𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦)
141, 2shseli 29678 . . . 4 (0 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
1513, 14mpbir 230 . . 3 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)
164, 15pm3.2i 471 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵))
171, 2shseli 29678 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
181, 2shseli 29678 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))
19 shaddcl 29579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
201, 19mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2120ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2221ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
23 shaddcl 29579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵S𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
242, 23mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2524ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2625ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
27 oveq12 7284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
2827ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
291sheli 29576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
301sheli 29576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
3129, 30anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
322sheli 29576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
332sheli 29576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
3432, 33anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35 hvadd4 29398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3631, 34, 35syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑤𝐵𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3736an4s 657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3837ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3928, 38eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)))
40 rspceov 7322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4122, 26, 39, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4241ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4342exp43 437 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
4443rexlimivv 3221 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4544com3l 89 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4645rexlimivv 3221 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
4746imp 407 . . . . . 6 ((∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4817, 18, 47syl2anb 598 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
491, 2shseli 29678 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
5048, 49sylibr 233 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
5150rgen2 3120 . . 3 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
52 shmulcl 29580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
531, 52mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
5453adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
55 shmulcl 29580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
562, 55mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5756adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5857adantrl 713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
59 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6160ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63 ax-hvdistr1 29370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6462, 30, 33, 63syl3an 1159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
65643expb 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6665adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6761, 66eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
68 rspceov 7322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
6954, 58, 67, 68syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7069ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7170exp42 436 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴 → (𝑢𝐵 → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
7271imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
7372rexlimivv 3221 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
7473impcom 408 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7518, 74sylan2b 594 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
761, 2shseli 29678 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7775, 76sylibr 233 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
7877rgen2 3120 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
7951, 78pm3.2i 471 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
80 issh2 29571 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ↔ (((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))))
8116, 79, 80mpbir2an 708 1 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  wss 3887  (class class class)co 7275  cc 10869  chba 29281   + cva 29282   · csm 29283  0c0v 29286   S csh 29290   + cph 29293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-ablo 28907  df-hvsub 29333  df-sh 29569  df-shs 29670
This theorem is referenced by:  shscl  29680  shsval2i  29749  shjshsi  29854  spanuni  29906  5oalem1  30016  5oalem3  30018  5oalem5  30020  5oalem6  30021  5oai  30023  3oalem2  30025  3oalem6  30029  mayete3i  30090  sumdmdlem  30780
  Copyright terms: Public domain W3C validator