Theorem shscli 31406

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shscl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shscli	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shscli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shscl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shsss 31402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
5		sh0 31305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
7		sh0 31305	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		ax-hv0cl 31092	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
10	9	hvaddlidi 31118	. . . . . 6 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	10	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)
12		rspceov 7405	. . . . 5 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)
14	1, 2	shseli 31405	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15	13, 14	mpbir 232	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
16	4, 15	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
17	1, 2	shseli 31405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
18	1, 2	shseli 31405	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
19		shaddcl 31306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
20	1, 19	mp3an1 1456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
21	20	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
22	21	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
23		shaddcl 31306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
24	2, 23	mp3an1 1456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
25	24	ad2ant2l 752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
26	25	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
27		oveq12 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
28	27	ad2ant2l 752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
29	1	sheli 31303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
30	1	sheli 31303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ℋ)
31	29, 30	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
32	2	sheli 31303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
33	2	sheli 31303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ ℋ)
34	32, 33	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35		hvadd4 31125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
36	31, 34, 35	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
37	36	an4s 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
38	37	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
39	28, 38	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)))
40		rspceov 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
41	22, 26, 39, 40	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
42	41	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
43	42	exp43 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
44	43	rexlimivv 3181	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
45	44	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
46	45	rexlimivv 3181	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
47	46	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
48	17, 18, 47	syl2anb 604	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
49	1, 2	shseli 31405	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
50	48, 49	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
51	50	rgen2 3179	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
52		shmulcl 31307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
53	1, 52	mp3an1 1456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
54	53	adantrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
55		shmulcl 31307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
56	2, 55	mp3an1 1456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
57	56	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
58	57	adantrl 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
59		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
61	60	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		ax-hvdistr1 31097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
64	62, 30, 33, 63	syl3an 1166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
65	64	3expb 1126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
66	65	adantrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
67	61, 66	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
68		rspceov 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
69	54, 58, 67, 68	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
70	69	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
71	70	exp42 436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
72	71	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
73	72	rexlimivv 3181	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
74	73	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
75	18, 74	sylan2b 600	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
76	1, 2	shseli 31405	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
77	75, 76	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
78	77	rgen2 3179	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
79	51, 78	pm3.2i 471	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80		issh2 31298	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
81	16, 79, 80	mpbir2an 717	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  0_ℎc0v 31013   S_ℋ csh 31017   +_ℋ cph 31020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-grpo 30582  df-ablo 30634  df-hvsub 31060  df-sh 31296  df-shs 31397

This theorem is referenced by:  shscl  31407  shsval2i  31476  shjshsi  31581  spanuni  31633  5oalem1  31743  5oalem3  31745  5oalem5  31747  5oalem6  31748  5oai  31750  3oalem2  31752  3oalem6  31756  mayete3i  31817  sumdmdlem  32507