Theorem shscli 31740

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shscl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shscli	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shscli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shscl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shsss 31736	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
5		sh0 31639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
7		sh0 31639	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		ax-hv0cl 31426	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
10	9	hvaddlidi 31452	. . . . . 6 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	10	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)
12		rspceov 7468	. . . . 5 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)
14	1, 2	shseli 31739	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15	13, 14	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
16	4, 15	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
17	1, 2	shseli 31739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
18	1, 2	shseli 31739	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
19		shaddcl 31640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
20	1, 19	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
21	20	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
22	21	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
23		shaddcl 31640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
24	2, 23	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
25	24	ad2ant2l 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
26	25	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
27		oveq12 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
28	27	ad2ant2l 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
29	1	sheli 31637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
30	1	sheli 31637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ℋ)
31	29, 30	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
32	2	sheli 31637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
33	2	sheli 31637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ ℋ)
34	32, 33	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35		hvadd4 31459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
36	31, 34, 35	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
37	36	an4s 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
38	37	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
39	28, 38	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)))
40		rspceov 7468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
41	22, 26, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
42	41	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
43	42	exp43 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
44	43	rexlimivv 3209	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
45	44	com3l 90	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
46	45	rexlimivv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
47	46	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
48	17, 18, 47	syl2anb 610	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
49	1, 2	shseli 31739	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
50	48, 49	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
51	50	rgen2 3207	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
52		shmulcl 31641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
53	1, 52	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
54	53	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
55		shmulcl 31641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
56	2, 55	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
57	56	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
58	57	adantrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
59		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
61	60	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
62		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		ax-hvdistr1 31431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
64	62, 30, 33, 63	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
65	64	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
66	65	adantrrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
67	61, 66	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
68		rspceov 7468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
69	54, 58, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
70	69	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
71	70	exp42 441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
72	71	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
73	72	rexlimivv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
74	73	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
75	18, 74	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
76	1, 2	shseli 31739	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
77	75, 76	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
78	77	rgen2 3207	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
79	51, 78	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80		issh2 31632	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
81	16, 79, 80	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7419  ℂcc 11113   ℋchba 31342   +_ℎ cva 31343   ·_ℎ csm 31344  0_ℎc0v 31347   S_ℋ csh 31351   +_ℋ cph 31354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-hilex 31422  ax-hfvadd 31423  ax-hvcom 31424  ax-hvass 31425  ax-hv0cl 31426  ax-hvaddid 31427  ax-hfvmul 31428  ax-hvmulid 31429  ax-hvdistr1 31431  ax-hvdistr2 31432  ax-hvmul0 31433

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-sub 11458  df-neg 11459  df-grpo 30916  df-ablo 30968  df-hvsub 31394  df-sh 31630  df-shs 31731

This theorem is used by:  shscl  31741  shsval2i  31810  shjshsi  31915  spanuni  31967  5oalem1  32077  5oalem3  32079  5oalem5  32081  5oalem6  32082  5oai  32084  3oalem2  32086  3oalem6  32090  mayete3i  32151  sumdmdlem  32841