Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscli 29008
 Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1 𝐴S
shscl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shscli (𝐴 + 𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shscli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4 𝐴S
2 shscl.2 . . . 4 𝐵S
3 shsss 29004 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
41, 2, 3mp2an 688 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ
5 sh0 28907 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
7 sh0 28907 . . . . . 6 (𝐵S → 0𝐵)
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 0𝐵
9 ax-hv0cl 28694 . . . . . . 7 0 ∈ ℋ
109hvaddid2i 28720 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1110eqcomi 2834 . . . . 5 0 = (0 + 0)
12 rspceov 7198 . . . . 5 ((0𝐴 ∧ 0𝐵 ∧ 0 = (0 + 0)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
136, 8, 11, 12mp3an 1454 . . . 4 𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦)
141, 2shseli 29007 . . . 4 (0 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
1513, 14mpbir 232 . . 3 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)
164, 15pm3.2i 471 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵))
171, 2shseli 29007 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
181, 2shseli 29007 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))
19 shaddcl 28908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
201, 19mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2120ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2221ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
23 shaddcl 28908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵S𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
242, 23mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2524ad2ant2l 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2625ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
27 oveq12 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
2827ad2ant2l 742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
291sheli 28905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
301sheli 28905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
3129, 30anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
322sheli 28905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
332sheli 28905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
3432, 33anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35 hvadd4 28727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3631, 34, 35syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑤𝐵𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3736an4s 656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3837ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3928, 38eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)))
40 rspceov 7198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4122, 26, 39, 40syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4241ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4342exp43 437 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
4443rexlimivv 3296 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4544com3l 89 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4645rexlimivv 3296 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
4746imp 407 . . . . . 6 ((∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4817, 18, 47syl2anb 597 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
491, 2shseli 29007 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
5048, 49sylibr 235 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
5150rgen2a 3233 . . 3 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
52 shmulcl 28909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
531, 52mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
5453adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
55 shmulcl 28909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
562, 55mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5756adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5857adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
59 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6160ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63 ax-hvdistr1 28699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6462, 30, 33, 63syl3an 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
65643expb 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6665adantrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6761, 66eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
68 rspceov 7198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
6954, 58, 67, 68syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7069ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7170exp42 436 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴 → (𝑢𝐵 → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
7271imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
7372rexlimivv 3296 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
7473impcom 408 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7518, 74sylan2b 593 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
761, 2shseli 29007 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7775, 76sylibr 235 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
7877rgen2 3207 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
7951, 78pm3.2i 471 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
80 issh2 28900 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ↔ (((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))))
8116, 79, 80mpbir2an 707 1 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  ∃wrex 3143   ⊆ wss 3939  (class class class)co 7151  ℂcc 10527   ℋchba 28610   +ℎ cva 28611   ·ℎ csm 28612  0ℎc0v 28615   Sℋ csh 28619   +ℋ cph 28622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865  df-grpo 28184  df-ablo 28236  df-hvsub 28662  df-sh 28898  df-shs 28999 This theorem is referenced by:  shscl  29009  shsval2i  29078  shjshsi  29183  spanuni  29235  5oalem1  29345  5oalem3  29347  5oalem5  29349  5oalem6  29350  5oai  29352  3oalem2  29354  3oalem6  29358  mayete3i  29419  sumdmdlem  30109
 Copyright terms: Public domain W3C validator