HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscli 31242
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1 𝐴S
shscl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shscli (𝐴 + 𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shscli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4 𝐴S
2 shscl.2 . . . 4 𝐵S
3 shsss 31238 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
41, 2, 3mp2an 690 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ
5 sh0 31141 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
7 sh0 31141 . . . . . 6 (𝐵S → 0𝐵)
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 0𝐵
9 ax-hv0cl 30928 . . . . . . 7 0 ∈ ℋ
109hvaddlidi 30954 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1110eqcomi 2734 . . . . 5 0 = (0 + 0)
12 rspceov 7471 . . . . 5 ((0𝐴 ∧ 0𝐵 ∧ 0 = (0 + 0)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
136, 8, 11, 12mp3an 1457 . . . 4 𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦)
141, 2shseli 31241 . . . 4 (0 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
1513, 14mpbir 230 . . 3 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)
164, 15pm3.2i 469 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵))
171, 2shseli 31241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
181, 2shseli 31241 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))
19 shaddcl 31142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
201, 19mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2120ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2221ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
23 shaddcl 31142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵S𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
242, 23mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2524ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2625ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
27 oveq12 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
2827ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
291sheli 31139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
301sheli 31139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
3129, 30anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
322sheli 31139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
332sheli 31139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
3432, 33anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35 hvadd4 30961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3631, 34, 35syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑤𝐵𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3736an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3837ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3928, 38eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)))
40 rspceov 7471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4122, 26, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4241ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4342exp43 435 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
4443rexlimivv 3189 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4544com3l 89 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4645rexlimivv 3189 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
4746imp 405 . . . . . 6 ((∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4817, 18, 47syl2anb 596 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
491, 2shseli 31241 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
5048, 49sylibr 233 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
5150rgen2 3187 . . 3 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
52 shmulcl 31143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
531, 52mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
5453adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
55 shmulcl 31143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
562, 55mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5756adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5857adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
59 oveq2 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6160ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63 ax-hvdistr1 30933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6462, 30, 33, 63syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
65643expb 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6665adantrrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6761, 66eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
68 rspceov 7471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
6954, 58, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7069ancoms 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7170exp42 434 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴 → (𝑢𝐵 → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
7271imp 405 . . . . . . . 8 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
7372rexlimivv 3189 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
7473impcom 406 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7518, 74sylan2b 592 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
761, 2shseli 31241 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7775, 76sylibr 233 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
7877rgen2 3187 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
7951, 78pm3.2i 469 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
80 issh2 31134 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ↔ (((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))))
8116, 79, 80mpbir2an 709 1 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  wss 3946  (class class class)co 7423  cc 11152  chba 30844   + cva 30845   · csm 30846  0c0v 30849   S csh 30853   + cph 30856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-hilex 30924  ax-hfvadd 30925  ax-hvcom 30926  ax-hvass 30927  ax-hv0cl 30928  ax-hvaddid 30929  ax-hfvmul 30930  ax-hvmulid 30931  ax-hvdistr1 30933  ax-hvdistr2 30934  ax-hvmul0 30935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-ltxr 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30418  df-ablo 30470  df-hvsub 30896  df-sh 31132  df-shs 31233
This theorem is referenced by:  shscl  31243  shsval2i  31312  shjshsi  31417  spanuni  31469  5oalem1  31579  5oalem3  31581  5oalem5  31583  5oalem6  31584  5oai  31586  3oalem2  31588  3oalem6  31592  mayete3i  31653  sumdmdlem  32343
  Copyright terms: Public domain W3C validator