Theorem shscli 31003

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shscl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shscli	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shscli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shscl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shsss 30999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
5		sh0 30902	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
7		sh0 30902	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		ax-hv0cl 30689	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
10	9	hvaddlidi 30715	. . . . . 6 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	10	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)
12		rspceov 7459	. . . . 5 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)
14	1, 2	shseli 31002	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15	13, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
16	4, 15	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
17	1, 2	shseli 31002	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
18	1, 2	shseli 31002	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
19		shaddcl 30903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
20	1, 19	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
21	20	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
22	21	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
23		shaddcl 30903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
24	2, 23	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
25	24	ad2ant2l 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
26	25	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
27		oveq12 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
28	27	ad2ant2l 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
29	1	sheli 30900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
30	1	sheli 30900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ℋ)
31	29, 30	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
32	2	sheli 30900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
33	2	sheli 30900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ ℋ)
34	32, 33	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35		hvadd4 30722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
36	31, 34, 35	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
37	36	an4s 657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
38	37	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
39	28, 38	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)))
40		rspceov 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
41	22, 26, 39, 40	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
42	41	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
43	42	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
44	43	rexlimivv 3198	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
45	44	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
46	45	rexlimivv 3198	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
47	46	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
48	17, 18, 47	syl2anb 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
49	1, 2	shseli 31002	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
50	48, 49	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
51	50	rgen2 3196	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
52		shmulcl 30904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
53	1, 52	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
54	53	adantrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
55		shmulcl 30904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
56	2, 55	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
57	56	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
58	57	adantrl 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
59		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
61	60	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		ax-hvdistr1 30694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
64	62, 30, 33, 63	syl3an 1159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
65	64	3expb 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
66	65	adantrrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
67	61, 66	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
68		rspceov 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
69	54, 58, 67, 68	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
70	69	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
71	70	exp42 435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
72	71	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
73	72	rexlimivv 3198	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
74	73	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
75	18, 74	sylan2b 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
76	1, 2	shseli 31002	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
77	75, 76	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
78	77	rgen2 3196	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
79	51, 78	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80		issh2 30895	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
81	16, 79, 80	mpbir2an 708	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   ℋchba 30605   +_ℎ cva 30606   ·_ℎ csm 30607  0_ℎc0v 30610   S_ℋ csh 30614   +_ℋ cph 30617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvdistr1 30694  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-grpo 30179  df-ablo 30231  df-hvsub 30657  df-sh 30893  df-shs 30994

This theorem is referenced by:  shscl  31004  shsval2i  31073  shjshsi  31178  spanuni  31230  5oalem1  31340  5oalem3  31342  5oalem5  31344  5oalem6  31345  5oai  31347  3oalem2  31349  3oalem6  31353  mayete3i  31414  sumdmdlem  32104