HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shunssi 31397
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shunssi (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7 𝐴S
21sheli 31243 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
3 ax-hvaddid 31033 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
43eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 + 0))
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 = (𝑥 + 0))
6 shincl.2 . . . . . . 7 𝐵S
7 sh0 31245 . . . . . . 7 (𝐵S → 0𝐵)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 0𝐵
9 rspceov 7480 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ∧ 0𝐵𝑥 = (𝑥 + 0)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
108, 9mp3an2 1448 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥 = (𝑥 + 0)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
115, 10mpdan 687 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
126sheli 31243 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℋ)
13 hvaddlid 31052 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1413eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0 + 𝑥))
1512, 14syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥))
16 sh0 31245 . . . . . . 7 (𝐴S → 0𝐴)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 0𝐴
18 rspceov 7480 . . . . . 6 ((0𝐴𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
1917, 18mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2015, 19mpdan 687 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2111, 20jaoi 857 . . 3 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
22 elun 4163 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
231, 6shseli 31345 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2421, 22, 233imtr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵))
2524ssriv 3999 1 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cun 3961  wss 3963  (class class class)co 7431  chba 30948   + cva 30949  0c0v 30953   S csh 30957   + cph 30960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-shs 31337
This theorem is referenced by:  shsval2i  31416  shjshsi  31521  spanuni  31573
  Copyright terms: Public domain W3C validator