HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shunssi 29717
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shunssi (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7 𝐴S
21sheli 29563 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
3 ax-hvaddid 29353 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
43eqcomd 2744 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 + 0))
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 = (𝑥 + 0))
6 shincl.2 . . . . . . 7 𝐵S
7 sh0 29565 . . . . . . 7 (𝐵S → 0𝐵)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 0𝐵
9 rspceov 7316 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ∧ 0𝐵𝑥 = (𝑥 + 0)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
108, 9mp3an2 1448 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥 = (𝑥 + 0)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
115, 10mpdan 684 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
126sheli 29563 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℋ)
13 hvaddid2 29372 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1413eqcomd 2744 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0 + 𝑥))
1512, 14syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥))
16 sh0 29565 . . . . . . 7 (𝐴S → 0𝐴)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 0𝐴
18 rspceov 7316 . . . . . 6 ((0𝐴𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
1917, 18mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2015, 19mpdan 684 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2111, 20jaoi 854 . . 3 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
22 elun 4084 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
231, 6shseli 29665 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2421, 22, 233imtr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵))
2524ssriv 3926 1 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  cun 3886  wss 3888  (class class class)co 7269  chba 29268   + cva 29269  0c0v 29273   S csh 29277   + cph 29280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-hilex 29348  ax-hfvadd 29349  ax-hvcom 29350  ax-hvass 29351  ax-hv0cl 29352  ax-hvaddid 29353  ax-hfvmul 29354  ax-hvmulid 29355  ax-hvdistr2 29358  ax-hvmul0 29359
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5486  df-po 5500  df-so 5501  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-ltxr 11003  df-sub 11196  df-neg 11197  df-grpo 28842  df-ablo 28894  df-hvsub 29320  df-sh 29556  df-shs 29657
This theorem is referenced by:  shsval2i  29736  shjshsi  29841  spanuni  29893
  Copyright terms: Public domain W3C validator