Theorem shunssi 29631

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunssi	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	sheli 29477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		ax-hvaddid 29267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
6		shincl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		sh0 29479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		rspceov 7302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
10	8, 9	mp3an2 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
11	5, 10	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	6	sheli 29477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
13		hvaddid2 29286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	13	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16		sh0 29479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
18		rspceov 7302	. . . . . 6 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	17, 18	mp3an1 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	15, 19	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
21	11, 20	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
22		elun 4079	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
23	1, 6	shseli 29579	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
24	21, 22, 23	3imtr4i 291	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24	ssriv 3921	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183  0_ℎc0v 29187   S_ℋ csh 29191   +_ℋ cph 29194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-grpo 28756  df-ablo 28808  df-hvsub 29234  df-sh 29470  df-shs 29571

This theorem is referenced by:  shsval2i  29650  shjshsi  29755  spanuni  29807