Theorem shunssi 31971

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunssi	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	sheli 31817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		ax-hvaddid 31607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
6		shincl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		sh0 31819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		rspceov 7469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
10	8, 9	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
11	5, 10	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	6	sheli 31817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
13		hvaddlid 31626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	13	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
15	12, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16		sh0 31819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
18		rspceov 7469	. . . . . 6 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	17, 18	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	15, 19	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
21	11, 20	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
22		elun 4152	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
23	1, 6	shseli 31919	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
24	21, 22, 23	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24	ssriv 3912	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  (class class class)co 7420   ℋchba 31522   +_ℎ cva 31523  0_ℎc0v 31527   S_ℋ csh 31531   +_ℋ cph 31534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-hilex 31602  ax-hfvadd 31603  ax-hvcom 31604  ax-hvass 31605  ax-hv0cl 31606  ax-hvaddid 31607  ax-hfvmul 31608  ax-hvmulid 31609  ax-hvdistr2 31612  ax-hvmul0 31613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-ltxr 11349  df-sub 11544  df-neg 11545  df-grpo 31096  df-ablo 31148  df-hvsub 31574  df-sh 31810  df-shs 31911

This theorem is used by:  shsval2i  31990  shjshsi  32095  spanuni  32147