Theorem shunssi 31348

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunssi	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	sheli 31194	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		ax-hvaddid 30984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
6		shincl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		sh0 31196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		rspceov 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
10	8, 9	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
11	5, 10	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	6	sheli 31194	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
13		hvaddlid 31003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	13	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16		sh0 31196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
18		rspceov 7418	. . . . . 6 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	17, 18	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	15, 19	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
21	11, 20	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
22		elun 4112	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
23	1, 6	shseli 31296	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
24	21, 22, 23	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24	ssriv 3947	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  (class class class)co 7369   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900  0_ℎc0v 30904   S_ℋ csh 30908   +_ℋ cph 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-sub 11385  df-neg 11386  df-grpo 30473  df-ablo 30525  df-hvsub 30951  df-sh 31187  df-shs 31288

This theorem is referenced by:  shsval2i  31367  shjshsi  31472  spanuni  31524