Theorem shunssi 31400

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunssi	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	sheli 31246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		ax-hvaddid 31036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
6		shincl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		sh0 31248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		rspceov 7497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
10	8, 9	mp3an2 1449	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
11	5, 10	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	6	sheli 31246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
13		hvaddlid 31055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	13	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16		sh0 31248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
18		rspceov 7497	. . . . . 6 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	17, 18	mp3an1 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	15, 19	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
21	11, 20	jaoi 856	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
22		elun 4176	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
23	1, 6	shseli 31348	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
24	21, 22, 23	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24	ssriv 4012	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  (class class class)co 7448   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952  0_ℎc0v 30956   S_ℋ csh 30960   +_ℋ cph 30963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-grpo 30525  df-ablo 30577  df-hvsub 31003  df-sh 31239  df-shs 31340

This theorem is referenced by:  shsval2i  31419  shjshsi  31524  spanuni  31576