Theorem shunssi 31904

Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunssi	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shunssi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1	sheli 31750	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
3		ax-hvaddid 31540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
6		shincl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		sh0 31752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		rspceov 7457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
10	8, 9	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑥 +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
11	5, 10	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	6	sheli 31750	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
13		hvaddlid 31559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	13	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
15	12, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16		sh0 31752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
18		rspceov 7457	. . . . . 6 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	17, 18	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (0ℎ +ℎ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	15, 19	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
21	11, 20	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
22		elun 4099	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
23	1, 6	shseli 31852	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
24	21, 22, 23	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24	ssriv 3934	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  (class class class)co 7408   ℋchba 31455   +_ℎ cva 31456  0_ℎc0v 31460   S_ℋ csh 31464   +_ℋ cph 31467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-hilex 31535  ax-hfvadd 31536  ax-hvcom 31537  ax-hvass 31538  ax-hv0cl 31539  ax-hvaddid 31540  ax-hfvmul 31541  ax-hvmulid 31542  ax-hvdistr2 31545  ax-hvmul0 31546

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-ltxr 11320  df-sub 11515  df-neg 11516  df-grpo 31029  df-ablo 31081  df-hvsub 31507  df-sh 31743  df-shs 31844

This theorem is used by:  shsval2i  31923  shjshsi  32028  spanuni  32080