HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shunssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shunssi 28778
Description: Union is smaller than subspace sum. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shunssi (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem shunssi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . . . . 7 𝐴S
21sheli 28622 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
3 ax-hvaddid 28412 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
43eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (𝑥 + 0))
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 = (𝑥 + 0))
6 shincl.2 . . . . . . 7 𝐵S
7 sh0 28624 . . . . . . 7 (𝐵S → 0𝐵)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 0𝐵
9 rspceov 6956 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ∧ 0𝐵𝑥 = (𝑥 + 0)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
108, 9mp3an2 1577 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥 = (𝑥 + 0)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
115, 10mpdan 678 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
126sheli 28622 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℋ)
13 hvaddid2 28431 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1413eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = (0 + 𝑥))
1512, 14syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥))
16 sh0 28624 . . . . . . 7 (𝐴S → 0𝐴)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 0𝐴
18 rspceov 6956 . . . . . 6 ((0𝐴𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
1917, 18mp3an1 1576 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑥 = (0 + 𝑥)) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2015, 19mpdan 678 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2111, 20jaoi 888 . . 3 ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
22 elun 3982 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
231, 6shseli 28726 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
2421, 22, 233imtr4i 284 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵))
2524ssriv 3831 1 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wrex 3118  cun 3796  wss 3798  (class class class)co 6910  chba 28327   + cva 28328  0c0v 28332   S csh 28336   + cph 28339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594  df-neg 10595  df-grpo 27899  df-ablo 27951  df-hvsub 28379  df-sh 28615  df-shs 28718
This theorem is referenced by:  shsval2i  28797  shjshsi  28902  spanuni  28954
  Copyright terms: Public domain W3C validator