HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelshi 32077
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1 𝑇 ∈ LinOp
imaelsh.2 𝐴S
Assertion
Ref Expression
imaelshi (𝑇𝐴) ∈ S

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 6089 . . . 4 (𝑇𝐴) ⊆ ran 𝑇
2 rnelsh.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 31988 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 frn 6743 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ran 𝑇 ⊆ ℋ
61, 5sstri 3993 . . 3 (𝑇𝐴) ⊆ ℋ
72lnop0i 31989 . . . 4 (𝑇‘0) = 0
8 imaelsh.2 . . . . . 6 𝐴S
9 sh0 31235 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
11 ffun 6739 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → Fun 𝑇)
123, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 𝑇
138shssii 31232 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
143fdmi 6747 . . . . . . 7 dom 𝑇 = ℋ
1513, 14sseqtrri 4033 . . . . . 6 𝐴 ⊆ dom 𝑇
16 funfvima2 7251 . . . . . 6 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)))
1712, 15, 16mp2an 692 . . . . 5 (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)
197, 18eqeltrri 2838 . . 3 0 ∈ (𝑇𝐴)
206, 19pm3.2i 470 . 2 ((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴))
21 ffn 6736 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
223, 21ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 Fn ℋ
23 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (𝑢 + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + 𝑣))
2423eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑇𝑥) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2524ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2625ralima 7257 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2722, 13, 26mp2an 692 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
288sheli 31233 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
298sheli 31233 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
302lnopaddi 31990 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
32 shaddcl 31236 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
338, 32mp3an1 1450 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
34 funfvima2 7251 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
3512, 15, 34mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3837ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
39 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑇𝑥) + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
4039eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4140ralima 7257 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4222, 13, 41mp2an 692 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
4338, 42sylibr 234 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
4427, 43mprgbir 3068 . . 3 𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
452lnopmuli 31991 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
4629, 45sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
47 shmulcl 31237 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
488, 47mp3an1 1450 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
49 funfvima2 7251 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5012, 15, 49mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5148, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5246, 51eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5352ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
54 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
5554eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5655ralima 7257 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5722, 13, 56mp2an 692 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5853, 57sylibr 234 . . . 4 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
5958rgen 3063 . . 3 𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
6044, 59pm3.2i 470 . 2 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
61 issh2 31228 . 2 ((𝑇𝐴) ∈ S ↔ (((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴)) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))))
6220, 60, 61mpbir2an 711 1 (𝑇𝐴) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940  0c0v 30943   S csh 30947  LinOpclo 30966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-lnop 31860
This theorem is referenced by:  rnelshi  32078
  Copyright terms: Public domain W3C validator