HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelshi 30829
Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1 𝑇 ∈ LinOp
imaelsh.2 𝐴S
Assertion
Ref Expression
imaelshi (𝑇𝐴) ∈ S

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 6022 . . . 4 (𝑇𝐴) ⊆ ran 𝑇
2 rnelsh.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 30740 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 frn 6672 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ran 𝑇 ⊆ ℋ
61, 5sstri 3951 . . 3 (𝑇𝐴) ⊆ ℋ
72lnop0i 30741 . . . 4 (𝑇‘0) = 0
8 imaelsh.2 . . . . . 6 𝐴S
9 sh0 29987 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
11 ffun 6668 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → Fun 𝑇)
123, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 𝑇
138shssii 29984 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
143fdmi 6677 . . . . . . 7 dom 𝑇 = ℋ
1513, 14sseqtrri 3979 . . . . . 6 𝐴 ⊆ dom 𝑇
16 funfvima2 7177 . . . . . 6 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)))
1712, 15, 16mp2an 690 . . . . 5 (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)
197, 18eqeltrri 2835 . . 3 0 ∈ (𝑇𝐴)
206, 19pm3.2i 471 . 2 ((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴))
21 ffn 6665 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
223, 21ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 Fn ℋ
23 oveq1 7358 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (𝑢 + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + 𝑣))
2423eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑇𝑥) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2524ralbidv 3172 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2625ralima 7184 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2722, 13, 26mp2an 690 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
288sheli 29985 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
298sheli 29985 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
302lnopaddi 30742 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
32 shaddcl 29988 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
338, 32mp3an1 1448 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
34 funfvima2 7177 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
3512, 15, 34mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3837ralrimiva 3141 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
39 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑇𝑥) + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
4039eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4140ralima 7184 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4222, 13, 41mp2an 690 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
4338, 42sylibr 233 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
4427, 43mprgbir 3069 . . 3 𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
452lnopmuli 30743 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
4629, 45sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
47 shmulcl 29989 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
488, 47mp3an1 1448 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
49 funfvima2 7177 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5012, 15, 49mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5148, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5246, 51eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5352ralrimiva 3141 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
54 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
5554eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5655ralima 7184 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5722, 13, 56mp2an 690 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5853, 57sylibr 233 . . . 4 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
5958rgen 3064 . . 3 𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
6044, 59pm3.2i 471 . 2 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
61 issh2 29980 . 2 ((𝑇𝐴) ∈ S ↔ (((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴)) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))))
6220, 60, 61mpbir2an 709 1 (𝑇𝐴) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wss 3908  dom cdm 5631  ran crn 5632  cima 5634  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  chba 29690   + cva 29691   · csm 29692  0c0v 29695   S csh 29699  LinOpclo 29718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hvass 29773  ax-hv0cl 29774  ax-hvaddid 29775  ax-hfvmul 29776  ax-hvmulid 29777  ax-hvdistr2 29780  ax-hvmul0 29781
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345  df-neg 11346  df-hvsub 29742  df-sh 29978  df-lnop 30612
This theorem is referenced by:  rnelshi  30830
  Copyright terms: Public domain W3C validator