HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsii 29351
Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsi.1 𝐴C
omlsi.2 𝐵S
omlsi.3 𝐴𝐵
omlsi.4 (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
Assertion
Ref Expression
omlsii 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem omlsii
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omlsi.3 . 2 𝐴𝐵
2 omlsi.1 . . . . 5 𝐴C
3 omlsi.2 . . . . . 6 𝐵S
43sheli 29162 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℋ)
52, 4pjhthlem2 29340 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
6 eqeq1 2743 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧)))
7 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → (𝑥𝐴 ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴))
86, 7imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → ((𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
9 oveq1 7190 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → (𝑦 + 𝑧) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧))
109eqeq2d 2750 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧)))
1110imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → ((if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
12 oveq2 7191 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)))
1312eqeq2d 2750 . . . . . . . . 9 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0))))
1413imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → ((if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
152chshii 29175 . . . . . . . . 9 𝐴S
16 omlsi.4 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
17 sh0 29164 . . . . . . . . . . 11 (𝐵S → 0𝐵)
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0𝐵
1918elimel 4493 . . . . . . . . 9 if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐵
20 ch0 29176 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C → 0𝐴)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0𝐴
2221elimel 4493 . . . . . . . . 9 if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) ∈ 𝐴
23 shocsh 29232 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
2415, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘𝐴) ∈ S
25 sh0 29164 . . . . . . . . . . 11 ((⊥‘𝐴) ∈ S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (⊥‘𝐴)
2726elimel 4493 . . . . . . . . 9 if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) ∈ (⊥‘𝐴)
2815, 3, 1, 16, 19, 22, 27omlsilem 29350 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)
298, 11, 14, 28dedth3h 4484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
30293expia 1122 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴)))
3130rexlimdv 3194 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐴) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
3231rexlimdva 3195 . . . 4 (𝑥𝐵 → (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
335, 32mpd 15 . . 3 (𝑥𝐵𝑥𝐴)
3433ssriv 3891 . 2 𝐵𝐴
351, 34eqssi 3903 1 𝐴 = 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055  cin 3852  wss 3853  ifcif 4424  cfv 6350  (class class class)co 7183   + cva 28868  0c0v 28872   S csh 28876   C cch 28877  cort 28878  0c0h 28883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708  ax-hilex 28947  ax-hfvadd 28948  ax-hvcom 28949  ax-hvass 28950  ax-hv0cl 28951  ax-hvaddid 28952  ax-hfvmul 28953  ax-hvmulid 28954  ax-hvmulass 28955  ax-hvdistr1 28956  ax-hvdistr2 28957  ax-hvmul0 28958  ax-hfi 29027  ax-his1 29030  ax-his2 29031  ax-his3 29032  ax-his4 29033  ax-hcompl 29150
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-oadd 8148  df-omul 8149  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-acn 9457  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-rest 16812  df-topgen 16833  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-top 21658  df-topon 21675  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lm 21993  df-haus 22079  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-cfil 24020  df-cau 24021  df-cmet 24022  df-grpo 28441  df-gid 28442  df-ginv 28443  df-gdiv 28444  df-ablo 28493  df-vc 28507  df-nv 28540  df-va 28543  df-ba 28544  df-sm 28545  df-0v 28546  df-vs 28547  df-nmcv 28548  df-ims 28549  df-ssp 28670  df-ph 28761  df-cbn 28811  df-hnorm 28916  df-hba 28917  df-hvsub 28919  df-hlim 28920  df-hcau 28921  df-sh 29155  df-ch 29169  df-oc 29200  df-ch0 29201
This theorem is referenced by:  omlsi  29352  ococi  29353  qlaxr3i  29584  hatomistici  30310
  Copyright terms: Public domain W3C validator