Theorem omlsii 31089

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omlsi.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
omlsi.3	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
omlsi.4	⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsii	⊢ 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem omlsii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		omlsi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		omlsi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	sheli 30900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	2, 4	pjhthlem2 31078	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
6		eqeq1 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7		eleq1 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
9		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧))
10	9	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧)))
11	10	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → ((if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
12		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)))
13	12	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ))))
14	13	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → ((if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
15	2	chshii 30913	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		omlsi.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
17		sh0 30902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
19	18	elimel 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐵
20		ch0 30914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
22	21	elimel 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) ∈ 𝐴
23		shocsh 30970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
24	15, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
25		sh0 30902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)
27	26	elimel 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) ∈ (⊥‘𝐴)
28	15, 3, 1, 16, 19, 22, 27	omlsilem 31088	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)
29	8, 11, 14, 28	dedth3h 4588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	3expia 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)))
31	30	rexlimdv 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
32	31	rexlimdva 3154	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
33	5, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	33	ssriv 3986	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
35	1, 34	eqssi 3998	1 ⊢ 𝐴 = 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   +_ℎ cva 30606  0_ℎc0v 30610   S_ℋ csh 30614   C_ℋ cch 30615  ⊥cort 30616  0_ℋc0h 30621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvmulass 30693  ax-hvdistr1 30694  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696  ax-hfi 30765  ax-his1 30768  ax-his2 30769  ax-his3 30770  ax-his4 30771  ax-hcompl 30888

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lm 23053  df-haus 23139  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-cfil 25103  df-cau 25104  df-cmet 25105  df-grpo 30179  df-gid 30180  df-ginv 30181  df-gdiv 30182  df-ablo 30231  df-vc 30245  df-nv 30278  df-va 30281  df-ba 30282  df-sm 30283  df-0v 30284  df-vs 30285  df-nmcv 30286  df-ims 30287  df-ssp 30408  df-ph 30499  df-cbn 30549  df-hnorm 30654  df-hba 30655  df-hvsub 30657  df-hlim 30658  df-hcau 30659  df-sh 30893  df-ch 30907  df-oc 30938  df-ch0 30939

This theorem is referenced by:  omlsi  31090  ococi  31091  qlaxr3i  31322  hatomistici  32048