Theorem omlsii 31692

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omlsi.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
omlsi.3	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
omlsi.4	⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsii	⊢ 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem omlsii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		omlsi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		omlsi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	sheli 31503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	2, 4	pjhthlem2 31681	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
6		eqeq1 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
9		oveq1 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧))
10	9	eqeq2d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧)))
11	10	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → ((if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
12		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)))
13	12	eqeq2d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ))))
14	13	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → ((if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
15	2	chshii 31516	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		omlsi.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
17		sh0 31505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
19	18	elimel 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐵
20		ch0 31517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
22	21	elimel 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) ∈ 𝐴
23		shocsh 31573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
24	15, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
25		sh0 31505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)
27	26	elimel 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) ∈ (⊥‘𝐴)
28	15, 3, 1, 16, 19, 22, 27	omlsilem 31691	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)
29	8, 11, 14, 28	dedth3h 4550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	3expia 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)))
31	30	rexlimdv 3170	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
32	31	rexlimdva 3172	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
33	5, 32	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	33	ssriv 3949	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
35	1, 34	eqssi 3961	1 ⊢ 𝐴 = 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ifcif 4489  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   +_ℎ cva 31209  0_ℎc0v 31213   S_ℋ csh 31217   C_ℋ cch 31218  ⊥cort 31219  0_ℋc0h 31224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-rest 17471  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lm 23351  df-haus 23437  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-ssp 31011  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542

This theorem is referenced by:  omlsi  31693  ococi  31694  qlaxr3i  31925  hatomistici  32651