Theorem omlsii 31165

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omlsi.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
omlsi.3	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
omlsi.4	⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsii	⊢ 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem omlsii

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		omlsi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		omlsi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	sheli 30976	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	2, 4	pjhthlem2 31154	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
6		eqeq1 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7		eleq1 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
9		oveq1 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧))
10	9	eqeq2d 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧)))
11	10	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) → ((if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (𝑦 +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
12		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)))
13	12	eqeq2d 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) ↔ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ))))
14	13	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) → ((if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)))
15	2	chshii 30989	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
16		omlsi.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
17		sh0 30978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
19	18	elimel 4592	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐵
20		ch0 30990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
22	21	elimel 4592	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) ∈ 𝐴
23		shocsh 31046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
24	15, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ
25		sh0 30978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)
27	26	elimel 4592	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ) ∈ (⊥‘𝐴)
28	15, 3, 1, 16, 19, 22, 27	omlsilem 31164	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) = (if(𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦, 0ℎ) +ℎ if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0ℎ)) → if(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑥, 0ℎ) ∈ 𝐴)
29	8, 11, 14, 28	dedth3h 4583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	3expia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)))
31	30	rexlimdv 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
32	31	rexlimdva 3149	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
33	5, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)
34	33	ssriv 3981	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
35	1, 34	eqssi 3993	1 ⊢ 𝐴 = 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ifcif 4523  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   +_ℎ cva 30682  0_ℎc0v 30686   S_ℋ csh 30690   C_ℋ cch 30691  ⊥cort 30692  0_ℋc0h 30697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lm 23088  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015

This theorem is referenced by:  omlsi  31166  ococi  31167  qlaxr3i  31398  hatomistici  32124