Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsii 29095
 Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsi.1 𝐴C
omlsi.2 𝐵S
omlsi.3 𝐴𝐵
omlsi.4 (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
Assertion
Ref Expression
omlsii 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem omlsii
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omlsi.3 . 2 𝐴𝐵
2 omlsi.1 . . . . 5 𝐴C
3 omlsi.2 . . . . . 6 𝐵S
43sheli 28906 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℋ)
52, 4pjhthlem2 29084 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
6 eqeq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧)))
7 eleq1 2904 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → (𝑥𝐴 ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴))
86, 7imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → ((𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
9 oveq1 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → (𝑦 + 𝑧) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧))
109eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧)))
1110imbi1d 343 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → ((if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
12 oveq2 7159 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)))
1312eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0))))
1413imbi1d 343 . . . . . . . 8 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → ((if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
152chshii 28919 . . . . . . . . 9 𝐴S
16 omlsi.4 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
17 sh0 28908 . . . . . . . . . . 11 (𝐵S → 0𝐵)
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0𝐵
1918elimel 4536 . . . . . . . . 9 if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐵
20 ch0 28920 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C → 0𝐴)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0𝐴
2221elimel 4536 . . . . . . . . 9 if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) ∈ 𝐴
23 shocsh 28976 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
2415, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘𝐴) ∈ S
25 sh0 28908 . . . . . . . . . . 11 ((⊥‘𝐴) ∈ S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (⊥‘𝐴)
2726elimel 4536 . . . . . . . . 9 if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) ∈ (⊥‘𝐴)
2815, 3, 1, 16, 19, 22, 27omlsilem 29094 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)
298, 11, 14, 28dedth3h 4527 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
30293expia 1115 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴)))
3130rexlimdv 3287 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐴) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
3231rexlimdva 3288 . . . 4 (𝑥𝐵 → (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
335, 32mpd 15 . . 3 (𝑥𝐵𝑥𝐴)
3433ssriv 3974 . 2 𝐵𝐴
351, 34eqssi 3986 1 𝐴 = 𝐵
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3143   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ifcif 4469  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   +ℎ cva 28612  0ℎc0v 28616   Sℋ csh 28620   Cℋ cch 28621  ⊥cort 28622  0ℋc0h 28627 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28691  ax-hfvadd 28692  ax-hvcom 28693  ax-hvass 28694  ax-hv0cl 28695  ax-hvaddid 28696  ax-hfvmul 28697  ax-hvmulid 28698  ax-hvmulass 28699  ax-hvdistr1 28700  ax-hvdistr2 28701  ax-hvmul0 28702  ax-hfi 28771  ax-his1 28774  ax-his2 28775  ax-his3 28776  ax-his4 28777  ax-hcompl 28894 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lm 21753  df-haus 21839  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28185  df-gid 28186  df-ginv 28187  df-gdiv 28188  df-ablo 28237  df-vc 28251  df-nv 28284  df-va 28287  df-ba 28288  df-sm 28289  df-0v 28290  df-vs 28291  df-nmcv 28292  df-ims 28293  df-ssp 28414  df-ph 28505  df-cbn 28555  df-hnorm 28660  df-hba 28661  df-hvsub 28663  df-hlim 28664  df-hcau 28665  df-sh 28899  df-ch 28913  df-oc 28944  df-ch0 28945 This theorem is referenced by:  omlsi  29096  ococi  29097  qlaxr3i  29328  hatomistici  30054
 Copyright terms: Public domain W3C validator