HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssnv 30784
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssnv.2 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssnv π‘Š ∈ NrmCVec
Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5 𝐻 ∈ Sβ„‹
21hhssabloi 30782 . . . 4 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ AbelOp
3 ablogrpo 30067 . . . 4 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp
51shssii 30733 . . . . . 6 𝐻 βŠ† β„‹
6 xpss12 5690 . . . . . 6 ((𝐻 βŠ† β„‹ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹))
75, 5, 6mp2an 688 . . . . 5 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹)
8 ax-hfvadd 30520 . . . . . 6 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
98fdmi 6728 . . . . 5 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
107, 9sseqtrri 4018 . . . 4 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž
11 ssdmres 6003 . . . 4 ((𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž ↔ dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻))
1210, 11mpbi 229 . . 3 dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻)
134, 12grporn 30041 . 2 𝐻 = ran ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
14 sh0 30736 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ 𝐻)
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 0β„Ž ∈ 𝐻
16 ovres 7575 . . . . 5 ((0β„Ž ∈ 𝐻 ∧ 0β„Ž ∈ 𝐻) β†’ (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = (0β„Ž +β„Ž 0β„Ž))
1715, 15, 16mp2an 688 . . . 4 (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = (0β„Ž +β„Ž 0β„Ž)
18 ax-hv0cl 30523 . . . . 5 0β„Ž ∈ β„‹
1918hvaddlidi 30549 . . . 4 (0β„Ž +β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
2017, 19eqtri 2758 . . 3 (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = 0β„Ž
21 eqid 2730 . . . . 5 (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))) = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
2213, 21grpoid 30040 . . . 4 ((( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ 0β„Ž ∈ 𝐻) β†’ (0β„Ž = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))) ↔ (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = 0β„Ž))
234, 15, 22mp2an 688 . . 3 (0β„Ž = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))) ↔ (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = 0β„Ž)
2420, 23mpbir 230 . 2 0β„Ž = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
25 ax-hfvmul 30525 . . . . . 6 Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹
26 ffn 6716 . . . . . 6 ( Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹ β†’ Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹)
28 ssid 4003 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
29 xpss12 5690 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (β„‚ Γ— 𝐻) βŠ† (β„‚ Γ— β„‹))
3028, 5, 29mp2an 688 . . . . 5 (β„‚ Γ— 𝐻) βŠ† (β„‚ Γ— β„‹)
31 fnssres 6672 . . . . 5 (( Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹) ∧ (β„‚ Γ— 𝐻) βŠ† (β„‚ Γ— β„‹)) β†’ ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻))
3227, 30, 31mp2an 688 . . . 4 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻)
33 ovelrn 7585 . . . . . . 7 (( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻) β†’ (𝑧 ∈ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦))
35 ovres 7575 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦))
36 shmulcl 30738 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
371, 36mp3an1 1446 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
3835, 37eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
39 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝐻 ↔ (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
4038, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻))
4140rexlimivv 3197 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
4234, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑧 ∈ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
4342ssriv 3985 . . . 4 ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) βŠ† 𝐻
44 df-f 6546 . . . 4 (( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)):(β„‚ Γ— 𝐻)⟢𝐻 ↔ (( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻) ∧ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) βŠ† 𝐻))
4532, 43, 44mpbir2an 707 . . 3 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)):(β„‚ Γ— 𝐻)⟢𝐻
46 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 ∈ β„‚
47 ovres 7575 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (1( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (1 Β·β„Ž π‘₯))
4846, 47mpan 686 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (1( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (1 Β·β„Ž π‘₯))
491sheli 30734 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
50 ax-hvmulid 30526 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (1 Β·β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5149, 50syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (1 Β·β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5248, 51eqtrd 2770 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (1( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = π‘₯)
53 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
541sheli 30734 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
55 ax-hvdistr1 30528 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
5653, 49, 54, 55syl3an 1158 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
57 ovres 7575 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯ +β„Ž 𝑧))
58573adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯ +β„Ž 𝑧))
5958oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
60 shaddcl 30737 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
611, 60mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
62 ovres 7575 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
6361, 62sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
64633impb 1113 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
6559, 64eqtrd 2770 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
66 ovres 7575 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž π‘₯))
67663adant3 1130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž π‘₯))
68 ovres 7575 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 Β·β„Ž 𝑧))
69683adant2 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 Β·β„Ž 𝑧))
7067, 69oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
71 shmulcl 30738 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
721, 71mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
73723adant3 1130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
74 shmulcl 30738 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
751, 74mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
76753adant2 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
7773, 76ovresd 7576 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦 Β·β„Ž 𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
7870, 77eqtrd 2770 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
7956, 65, 783eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧)))
80 ax-hvdistr2 30529 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
8149, 80syl3an3 1163 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
82 addcl 11194 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„‚)
83 ovres 7575 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑧) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
8482, 83stoic3 1776 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
85663adant2 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž π‘₯))
86 ovres 7575 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑧 Β·β„Ž π‘₯))
87863adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑧 Β·β„Ž π‘₯))
8885, 87oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
89723adant2 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
90 shmulcl 30738 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
911, 90mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
92913adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
9389, 92ovresd 7576 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
9488, 93eqtrd 2770 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
9581, 84, 943eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)))
96 ax-hvmulass 30527 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
9749, 96syl3an3 1163 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
98 mulcl 11196 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ β„‚)
99 ovres 7575 . . . . 5 (((𝑦 Β· 𝑧) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
10098, 99stoic3 1776 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
10187oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
102 ovres 7575 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
10391, 102sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻)) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
1041033impb 1113 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
105101, 104eqtrd 2770 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
10697, 100, 1053eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)))
107 eqid 2730 . . 3 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
1082, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107isvciOLD 30100 . 2 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ CVecOLD
109 normf 30643 . . 3 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
110 fssres 6756 . . 3 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (normβ„Ž β†Ύ 𝐻):π»βŸΆβ„)
111109, 5, 110mp2an 688 . 2 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻):π»βŸΆβ„
112 fvres 6909 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = (normβ„Žβ€˜π‘₯))
113112eqeq1d 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0))
114 norm-i 30649 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
11549, 114syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
116113, 115bitrd 278 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
117116biimpa 475 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = 0) β†’ π‘₯ = 0β„Ž)
118 norm-iii 30660 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
11949, 118sylan2 591 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
12066fveq2d 6894 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
121 fvres 6909 . . . . 5 ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
12272, 121syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
123120, 122eqtrd 2770 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
124112adantl 480 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = (normβ„Žβ€˜π‘₯))
125124oveq2d 7427 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((absβ€˜π‘¦) Β· ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
126119, 123, 1253eqtr4d 2780 . 2 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯)))
1271sheli 30734 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
128 norm-ii 30658 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
12949, 127, 128syl2an 594 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
130 ovres 7575 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
131130fveq2d 6894 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
132 shaddcl 30737 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
1331, 132mp3an1 1446 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
134 fvres 6909 . . . . 5 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
136131, 135eqtrd 2770 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
137 fvres 6909 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘¦) = (normβ„Žβ€˜π‘¦))
138112, 137oveqan12d 7430 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) + ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘¦)) = ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
139129, 136, 1383brtr4d 5179 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)) ≀ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) + ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘¦)))
140 hhssnvt.1 . 2 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
14113, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140isnvi 30133 1 π‘Š ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  abscabs 15185  GrpOpcgr 30009  GIdcgi 30010  AbelOpcablo 30064  NrmCVeccnv 30104   β„‹chba 30439   +β„Ž cva 30440   Β·β„Ž csm 30441  normβ„Žcno 30443  0β„Žc0v 30444   Sβ„‹ csh 30448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-sh 30727
This theorem is referenced by:  hhssnvt  30785  hhssvsf  30793  hhssims  30794  hhssmet  30796  hhssmetdval  30797  hhssbnOLD  30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator