HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssnv 29914
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssnv.2 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssnv 𝑊 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5 𝐻S
21hhssabloi 29912 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
3 ablogrpo 29197 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
51shssii 29863 . . . . . 6 𝐻 ⊆ ℋ
6 xpss12 5635 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
75, 5, 6mp2an 689 . . . . 5 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
8 ax-hfvadd 29650 . . . . . 6 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
98fdmi 6663 . . . . 5 dom + = ( ℋ × ℋ)
107, 9sseqtrri 3969 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
11 ssdmres 5946 . . . 4 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
1210, 11mpbi 229 . . 3 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
134, 12grporn 29171 . 2 𝐻 = ran ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
14 sh0 29866 . . . . . 6 (𝐻S → 0𝐻)
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 0𝐻
16 ovres 7500 . . . . 5 ((0𝐻 ∧ 0𝐻) → (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = (0 + 0))
1715, 15, 16mp2an 689 . . . 4 (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = (0 + 0)
18 ax-hv0cl 29653 . . . . 5 0 ∈ ℋ
1918hvaddid2i 29679 . . . 4 (0 + 0) = 0
2017, 19eqtri 2764 . . 3 (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0
21 eqid 2736 . . . . 5 (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻)))
2213, 21grpoid 29170 . . . 4 ((( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ 0𝐻) → (0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) ↔ (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0))
234, 15, 22mp2an 689 . . 3 (0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) ↔ (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0)
2420, 23mpbir 230 . 2 0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻)))
25 ax-hfvmul 29655 . . . . . 6 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
26 ffn 6651 . . . . . 6 ( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → · Fn (ℂ × ℋ))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 · Fn (ℂ × ℋ)
28 ssid 3954 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
29 xpss12 5635 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ))
3028, 5, 29mp2an 689 . . . . 5 (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ)
31 fnssres 6607 . . . . 5 (( · Fn (ℂ × ℋ) ∧ (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ)) → ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻))
3227, 30, 31mp2an 689 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻)
33 ovelrn 7510 . . . . . . 7 (( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻) → (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦))
35 ovres 7500 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
36 shmulcl 29868 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
371, 36mp3an1 1447 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
3835, 37eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
39 eleq1 2824 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → (𝑧𝐻 ↔ (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
4038, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → 𝑧𝐻))
4140rexlimivv 3192 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → 𝑧𝐻)
4234, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) → 𝑧𝐻)
4342ssriv 3936 . . . 4 ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻
44 df-f 6483 . . . 4 (( · ↾ (ℂ × 𝐻)):(ℂ × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻) ∧ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻))
4532, 43, 44mpbir2an 708 . . 3 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)):(ℂ × 𝐻)⟶𝐻
46 ax-1cn 11030 . . . . 5 1 ∈ ℂ
47 ovres 7500 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (1 · 𝑥))
4846, 47mpan 687 . . . 4 (𝑥𝐻 → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (1 · 𝑥))
491sheli 29864 . . . . 5 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
50 ax-hvmulid 29656 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . 4 (𝑥𝐻 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5248, 51eqtrd 2776 . . 3 (𝑥𝐻 → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
53 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
541sheli 29864 . . . . 5 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ℋ)
55 ax-hvdistr1 29658 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
5653, 49, 54, 55syl3an 1159 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
57 ovres 7500 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
58573adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
5958oveq2d 7353 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)))
60 shaddcl 29867 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻)
611, 60mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻)
62 ovres 7500 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
6361, 62sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
64633impb 1114 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
6559, 64eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
66 ovres 7500 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
67663adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
68 ovres 7500 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧) = (𝑦 · 𝑧))
69683adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧) = (𝑦 · 𝑧))
7067, 69oveq12d 7355 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦 · 𝑧)))
71 shmulcl 29868 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
721, 71mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
73723adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
74 shmulcl 29868 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
751, 74mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
76753adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
7773, 76ovresd 7501 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦 · 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7870, 77eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7956, 65, 783eqtr4d 2786 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)))
80 ax-hvdistr2 29659 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8149, 80syl3an3 1164 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
82 addcl 11054 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℂ)
83 ovres 7500 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥))
8482, 83stoic3 1777 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥))
85663adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
86 ovres 7500 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
87863adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
8885, 87oveq12d 7355 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)))
89723adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
90 shmulcl 29868 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
911, 90mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
92913adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
9389, 92ovresd 7501 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
9488, 93eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
9581, 84, 943eqtr4d 2786 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)))
96 ax-hvmulass 29657 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9749, 96syl3an3 1164 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
98 mulcl 11056 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
99 ovres 7500 . . . . 5 (((𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥))
10098, 99stoic3 1777 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥))
10187oveq2d 7353 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)))
102 ovres 7500 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
10391, 102sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻)) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
1041033impb 1114 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
105101, 104eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
10697, 100, 1053eqtr4d 2786 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)))
107 eqid 2736 . . 3 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
1082, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107isvciOLD 29230 . 2 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ CVecOLD
109 normf 29773 . . 3 norm: ℋ⟶ℝ
110 fssres 6691 . . 3 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (norm𝐻):𝐻⟶ℝ)
111109, 5, 110mp2an 689 . 2 (norm𝐻):𝐻⟶ℝ
112 fvres 6844 . . . . 5 (𝑥𝐻 → ((norm𝐻)‘𝑥) = (norm𝑥))
113112eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((norm𝐻)‘𝑥) = 0 ↔ (norm𝑥) = 0))
114 norm-i 29779 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
11549, 114syl 17 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
116113, 115bitrd 278 . . 3 (𝑥𝐻 → (((norm𝐻)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
117116biimpa 477 . 2 ((𝑥𝐻 ∧ ((norm𝐻)‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
118 norm-iii 29790 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
11949, 118sylan2 593 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (norm‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
12066fveq2d 6829 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)))
121 fvres 6844 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻 → ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
12272, 121syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
123120, 122eqtrd 2776 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
124112adantl 482 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘𝑥) = (norm𝑥))
125124oveq2d 7353 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((abs‘𝑦) · ((norm𝐻)‘𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
126119, 123, 1253eqtr4d 2786 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((abs‘𝑦) · ((norm𝐻)‘𝑥)))
1271sheli 29864 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
128 norm-ii 29788 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
12949, 127, 128syl2an 596 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
130 ovres 7500 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
131130fveq2d 6829 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) = ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)))
132 shaddcl 29867 . . . . . 6 ((𝐻S𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
1331, 132mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
134 fvres 6844 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 → ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
136131, 135eqtrd 2776 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
137 fvres 6844 . . . 4 (𝑦𝐻 → ((norm𝐻)‘𝑦) = (norm𝑦))
138112, 137oveqan12d 7356 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (((norm𝐻)‘𝑥) + ((norm𝐻)‘𝑦)) = ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
139129, 136, 1383brtr4d 5124 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) ≤ (((norm𝐻)‘𝑥) + ((norm𝐻)‘𝑦)))
140 hhssnvt.1 . 2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
14113, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140isnvi 29263 1 𝑊 ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070  wss 3898  cop 4579   class class class wbr 5092   × cxp 5618  dom cdm 5620  ran crn 5621  cres 5622   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  cle 11111  abscabs 15044  GrpOpcgr 29139  GIdcgi 29140  AbelOpcablo 29194  NrmCVeccnv 29234  chba 29569   + cva 29570   · csm 29571  normcno 29573  0c0v 29574   S csh 29578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-hilex 29649  ax-hfvadd 29650  ax-hvcom 29651  ax-hvass 29652  ax-hv0cl 29653  ax-hvaddid 29654  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulid 29656  ax-hvmulass 29657  ax-hvdistr1 29658  ax-hvdistr2 29659  ax-hvmul0 29660  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734  ax-his4 29735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-grpo 29143  df-gid 29144  df-ginv 29145  df-ablo 29195  df-vc 29209  df-nv 29242  df-va 29245  df-ba 29246  df-sm 29247  df-0v 29248  df-nmcv 29250  df-hnorm 29618  df-hba 29619  df-hvsub 29621  df-sh 29857
This theorem is referenced by:  hhssnvt  29915  hhssvsf  29923  hhssims  29924  hhssmet  29926  hhssmetdval  29927  hhssbnOLD  29929
  Copyright terms: Public domain W3C validator