HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssnv 28460
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssnv.2 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssnv 𝑊 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5 𝐻S
21hhssabloi 28458 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp
3 ablogrpo 27740 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ AbelOp → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
51shssii 28409 . . . . . 6 𝐻 ⊆ ℋ
6 xpss12 5265 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ))
75, 5, 6mp2an 672 . . . . 5 (𝐻 × 𝐻) ⊆ ( ℋ × ℋ)
8 ax-hfvadd 28196 . . . . . 6 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
98fdmi 6194 . . . . 5 dom + = ( ℋ × ℋ)
107, 9sseqtr4i 3787 . . . 4 (𝐻 × 𝐻) ⊆ dom +
11 ssdmres 5560 . . . 4 ((𝐻 × 𝐻) ⊆ dom + ↔ dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻))
1210, 11mpbi 220 . . 3 dom ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (𝐻 × 𝐻)
134, 12grporn 27714 . 2 𝐻 = ran ( + ↾ (𝐻 × 𝐻))
14 sh0 28412 . . . . . 6 (𝐻S → 0𝐻)
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 0𝐻
16 ovres 6950 . . . . 5 ((0𝐻 ∧ 0𝐻) → (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = (0 + 0))
1715, 15, 16mp2an 672 . . . 4 (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = (0 + 0)
18 ax-hv0cl 28199 . . . . 5 0 ∈ ℋ
1918hvaddid2i 28225 . . . 4 (0 + 0) = 0
2017, 19eqtri 2793 . . 3 (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0
21 eqid 2771 . . . . 5 (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻)))
2213, 21grpoid 27713 . . . 4 ((( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ 0𝐻) → (0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) ↔ (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0))
234, 15, 22mp2an 672 . . 3 (0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻))) ↔ (0( + ↾ (𝐻 × 𝐻))0) = 0)
2420, 23mpbir 221 . 2 0 = (GId‘( + ↾ (𝐻 × 𝐻)))
25 ax-hfvmul 28201 . . . . . 6 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
26 ffn 6184 . . . . . 6 ( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → · Fn (ℂ × ℋ))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 · Fn (ℂ × ℋ)
28 ssid 3773 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
29 xpss12 5265 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ))
3028, 5, 29mp2an 672 . . . . 5 (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ)
31 fnssres 6143 . . . . 5 (( · Fn (ℂ × ℋ) ∧ (ℂ × 𝐻) ⊆ (ℂ × ℋ)) → ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻))
3227, 30, 31mp2an 672 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻)
33 ovelrn 6960 . . . . . . 7 (( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻) → (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦))
35 ovres 6950 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
36 shmulcl 28414 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
371, 36mp3an1 1559 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
3835, 37eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
39 eleq1 2838 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → (𝑧𝐻 ↔ (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
4038, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → 𝑧𝐻))
4140rexlimivv 3184 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℂ ∃𝑦𝐻 𝑧 = (𝑥( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑦) → 𝑧𝐻)
4234, 41sylbi 207 . . . . 5 (𝑧 ∈ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) → 𝑧𝐻)
4342ssriv 3756 . . . 4 ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻
44 df-f 6034 . . . 4 (( · ↾ (ℂ × 𝐻)):(ℂ × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( · ↾ (ℂ × 𝐻)) Fn (ℂ × 𝐻) ∧ ran ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻))
4532, 43, 44mpbir2an 690 . . 3 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)):(ℂ × 𝐻)⟶𝐻
46 ax-1cn 10199 . . . . 5 1 ∈ ℂ
47 ovres 6950 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (1 · 𝑥))
4846, 47mpan 670 . . . 4 (𝑥𝐻 → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (1 · 𝑥))
491sheli 28410 . . . . 5 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
50 ax-hvmulid 28202 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5149, 50syl 17 . . . 4 (𝑥𝐻 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5248, 51eqtrd 2805 . . 3 (𝑥𝐻 → (1( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
53 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
541sheli 28410 . . . . 5 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ℋ)
55 ax-hvdistr1 28204 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
5653, 49, 54, 55syl3an 1163 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
57 ovres 6950 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
58573adant1 1124 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
5958oveq2d 6811 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)))
60 shaddcl 28413 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻)
611, 60mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻)
62 ovres 6950 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
6361, 62sylan2 580 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
64633impb 1107 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥 + 𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
6559, 64eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)))
66 ovres 6950 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
67663adant3 1126 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
68 ovres 6950 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧) = (𝑦 · 𝑧))
69683adant2 1125 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧) = (𝑦 · 𝑧))
7067, 69oveq12d 6813 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦 · 𝑧)))
71 shmulcl 28414 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
721, 71mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
73723adant3 1126 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
74 shmulcl 28414 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
751, 74mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
76753adant2 1125 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐻)
7773, 76ovresd 6951 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦 · 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7870, 77eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7956, 65, 783eqtr4d 2815 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑧)))
80 ax-hvdistr2 28205 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8149, 80syl3an3 1169 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
82 addcl 10223 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℂ)
83 ovres 6950 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥))
8482, 83stoic3 1849 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥))
85663adant2 1125 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
86 ovres 6950 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
87863adant1 1124 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
8885, 87oveq12d 6813 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)))
89723adant2 1125 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻)
90 shmulcl 28414 . . . . . . . 8 ((𝐻S𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
911, 90mp3an1 1559 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
92913adant1 1124 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻)
9389, 92ovresd 6951 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
9488, 93eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
9581, 84, 943eqtr4d 2815 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 + 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)))
96 ax-hvmulass 28203 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9749, 96syl3an3 1169 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
98 mulcl 10225 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
99 ovres 6950 . . . . 5 (((𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥))
10098, 99stoic3 1849 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥))
10187oveq2d 6811 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)))
102 ovres 6950 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 · 𝑥) ∈ 𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
10391, 102sylan2 580 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻)) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
1041033impb 1107 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧 · 𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
105101, 104eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
10697, 100, 1053eqtr4d 2815 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑦 · 𝑧)( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥) = (𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))(𝑧( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)))
107 eqid 2771 . . 3 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ = ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩
1082, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107isvciOLD 27774 . 2 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ CVecOLD
109 normf 28319 . . 3 norm: ℋ⟶ℝ
110 fssres 6211 . . 3 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → (norm𝐻):𝐻⟶ℝ)
111109, 5, 110mp2an 672 . 2 (norm𝐻):𝐻⟶ℝ
112 fvres 6350 . . . . 5 (𝑥𝐻 → ((norm𝐻)‘𝑥) = (norm𝑥))
113112eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((norm𝐻)‘𝑥) = 0 ↔ (norm𝑥) = 0))
114 norm-i 28325 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
11549, 114syl 17 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
116113, 115bitrd 268 . . 3 (𝑥𝐻 → (((norm𝐻)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
117116biimpa 462 . 2 ((𝑥𝐻 ∧ ((norm𝐻)‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
118 norm-iii 28336 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
11949, 118sylan2 580 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (norm‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
12066fveq2d 6337 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)))
121 fvres 6350 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐻 → ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
12272, 121syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦 · 𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
123120, 122eqtrd 2805 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = (norm‘(𝑦 · 𝑥)))
124112adantl 467 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘𝑥) = (norm𝑥))
125124oveq2d 6811 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((abs‘𝑦) · ((norm𝐻)‘𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (norm𝑥)))
126119, 123, 1253eqtr4d 2815 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑦( · ↾ (ℂ × 𝐻))𝑥)) = ((abs‘𝑦) · ((norm𝐻)‘𝑥)))
1271sheli 28410 . . . 4 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
128 norm-ii 28334 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
12949, 127, 128syl2an 583 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
130 ovres 6950 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
131130fveq2d 6337 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) = ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)))
132 shaddcl 28413 . . . . . 6 ((𝐻S𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
1331, 132mp3an1 1559 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
134 fvres 6350 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 → ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
136131, 135eqtrd 2805 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) = (norm‘(𝑥 + 𝑦)))
137 fvres 6350 . . . 4 (𝑦𝐻 → ((norm𝐻)‘𝑦) = (norm𝑦))
138112, 137oveqan12d 6814 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (((norm𝐻)‘𝑥) + ((norm𝐻)‘𝑦)) = ((norm𝑥) + (norm𝑦)))
139129, 136, 1383brtr4d 4819 . 2 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((norm𝐻)‘(𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)) ≤ (((norm𝐻)‘𝑥) + ((norm𝐻)‘𝑦)))
140 hhssnvt.1 . 2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
14113, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140isnvi 27807 1 𝑊 ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  wss 3723  cop 4323   class class class wbr 4787   × cxp 5248  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  cle 10280  abscabs 14181  GrpOpcgr 27682  GIdcgi 27683  AbelOpcablo 27737  NrmCVeccnv 27778  chil 28115   + cva 28116   · csm 28117  normcno 28119  0c0v 28120   S csh 28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-hilex 28195  ax-hfvadd 28196  ax-hvcom 28197  ax-hvass 28198  ax-hv0cl 28199  ax-hvaddid 28200  ax-hfvmul 28201  ax-hvmulid 28202  ax-hvmulass 28203  ax-hvdistr1 28204  ax-hvdistr2 28205  ax-hvmul0 28206  ax-hfi 28275  ax-his1 28278  ax-his2 28279  ax-his3 28280  ax-his4 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-sup 8507  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-grpo 27686  df-gid 27687  df-ginv 27688  df-ablo 27738  df-vc 27753  df-nv 27786  df-va 27789  df-ba 27790  df-sm 27791  df-0v 27792  df-nmcv 27794  df-hnorm 28164  df-hba 28165  df-hvsub 28167  df-sh 28403
This theorem is referenced by:  hhssnvt  28461  hhssvsf  28469  hhssims  28471  hhssmet  28473  hhssmetdval  28474  hhssbn  28476
  Copyright terms: Public domain W3C validator