HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssnv 30505
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssnv.2 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssnv π‘Š ∈ NrmCVec
Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5 𝐻 ∈ Sβ„‹
21hhssabloi 30503 . . . 4 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ AbelOp
3 ablogrpo 29788 . . . 4 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ AbelOp β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp
51shssii 30454 . . . . . 6 𝐻 βŠ† β„‹
6 xpss12 5691 . . . . . 6 ((𝐻 βŠ† β„‹ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹))
75, 5, 6mp2an 691 . . . . 5 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† ( β„‹ Γ— β„‹)
8 ax-hfvadd 30241 . . . . . 6 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
98fdmi 6727 . . . . 5 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
107, 9sseqtrri 4019 . . . 4 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž
11 ssdmres 6003 . . . 4 ((𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† dom +β„Ž ↔ dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻))
1210, 11mpbi 229 . . 3 dom ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) = (𝐻 Γ— 𝐻)
134, 12grporn 29762 . 2 𝐻 = ran ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
14 sh0 30457 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ 𝐻)
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 0β„Ž ∈ 𝐻
16 ovres 7570 . . . . 5 ((0β„Ž ∈ 𝐻 ∧ 0β„Ž ∈ 𝐻) β†’ (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = (0β„Ž +β„Ž 0β„Ž))
1715, 15, 16mp2an 691 . . . 4 (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = (0β„Ž +β„Ž 0β„Ž)
18 ax-hv0cl 30244 . . . . 5 0β„Ž ∈ β„‹
1918hvaddlidi 30270 . . . 4 (0β„Ž +β„Ž 0β„Ž) = 0β„Ž
2017, 19eqtri 2761 . . 3 (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = 0β„Ž
21 eqid 2733 . . . . 5 (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))) = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
2213, 21grpoid 29761 . . . 4 ((( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ 0β„Ž ∈ 𝐻) β†’ (0β„Ž = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))) ↔ (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = 0β„Ž))
234, 15, 22mp2an 691 . . 3 (0β„Ž = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))) ↔ (0β„Ž( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))0β„Ž) = 0β„Ž)
2420, 23mpbir 230 . 2 0β„Ž = (GIdβ€˜( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
25 ax-hfvmul 30246 . . . . . 6 Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹
26 ffn 6715 . . . . . 6 ( Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹ β†’ Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹)
28 ssid 4004 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
29 xpss12 5691 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (β„‚ Γ— 𝐻) βŠ† (β„‚ Γ— β„‹))
3028, 5, 29mp2an 691 . . . . 5 (β„‚ Γ— 𝐻) βŠ† (β„‚ Γ— β„‹)
31 fnssres 6671 . . . . 5 (( Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹) ∧ (β„‚ Γ— 𝐻) βŠ† (β„‚ Γ— β„‹)) β†’ ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻))
3227, 30, 31mp2an 691 . . . 4 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻)
33 ovelrn 7580 . . . . . . 7 (( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻) β†’ (𝑧 ∈ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦))
35 ovres 7570 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦))
36 shmulcl 30459 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
371, 36mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
3835, 37eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
39 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝐻 ↔ (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
4038, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻))
4140rexlimivv 3200 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 𝑧 = (π‘₯( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
4234, 41sylbi 216 . . . . 5 (𝑧 ∈ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐻)
4342ssriv 3986 . . . 4 ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) βŠ† 𝐻
44 df-f 6545 . . . 4 (( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)):(β„‚ Γ— 𝐻)⟢𝐻 ↔ (( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) Fn (β„‚ Γ— 𝐻) ∧ ran ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)) βŠ† 𝐻))
4532, 43, 44mpbir2an 710 . . 3 ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻)):(β„‚ Γ— 𝐻)⟢𝐻
46 ax-1cn 11165 . . . . 5 1 ∈ β„‚
47 ovres 7570 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (1( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (1 Β·β„Ž π‘₯))
4846, 47mpan 689 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (1( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (1 Β·β„Ž π‘₯))
491sheli 30455 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
50 ax-hvmulid 30247 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (1 Β·β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5149, 50syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (1 Β·β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5248, 51eqtrd 2773 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (1( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = π‘₯)
53 id 22 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
541sheli 30455 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
55 ax-hvdistr1 30249 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
5653, 49, 54, 55syl3an 1161 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
57 ovres 7570 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯ +β„Ž 𝑧))
58573adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯ +β„Ž 𝑧))
5958oveq2d 7422 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
60 shaddcl 30458 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
611, 60mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
62 ovres 7570 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
6361, 62sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
64633impb 1116 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯ +β„Ž 𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
6559, 64eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (𝑦 Β·β„Ž (π‘₯ +β„Ž 𝑧)))
66 ovres 7570 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž π‘₯))
67663adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž π‘₯))
68 ovres 7570 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 Β·β„Ž 𝑧))
69683adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 Β·β„Ž 𝑧))
7067, 69oveq12d 7424 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
71 shmulcl 30459 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
721, 71mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
73723adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
74 shmulcl 30459 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
751, 74mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
76753adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž 𝑧) ∈ 𝐻)
7773, 76ovresd 7571 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦 Β·β„Ž 𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
7870, 77eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑦 Β·β„Ž 𝑧)))
7956, 65, 783eqtr4d 2783 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))𝑧)))
80 ax-hvdistr2 30250 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
8149, 80syl3an3 1166 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
82 addcl 11189 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„‚)
83 ovres 7570 . . . . 5 (((𝑦 + 𝑧) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
8482, 83stoic3 1779 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 + 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
85663adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž π‘₯))
86 ovres 7570 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑧 Β·β„Ž π‘₯))
87863adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑧 Β·β„Ž π‘₯))
8885, 87oveq12d 7424 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
89723adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
90 shmulcl 30459 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
911, 90mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
92913adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
9389, 92ovresd 7571 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
9488, 93eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) +β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
9581, 84, 943eqtr4d 2783 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 + 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)))
96 ax-hvmulass 30248 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
9749, 96syl3an3 1166 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
98 mulcl 11191 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ β„‚)
99 ovres 7570 . . . . 5 (((𝑦 Β· 𝑧) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
10098, 99stoic3 1779 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = ((𝑦 Β· 𝑧) Β·β„Ž π‘₯))
10187oveq2d 7422 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
102 ovres 7570 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
10391, 102sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻)) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
1041033impb 1116 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧 Β·β„Ž π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
105101, 104eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = (𝑦 Β·β„Ž (𝑧 Β·β„Ž π‘₯)))
10697, 100, 1053eqtr4d 2783 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧)( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯) = (𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))(𝑧( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)))
107 eqid 2733 . . 3 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ = ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩
1082, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107isvciOLD 29821 . 2 ⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩ ∈ CVecOLD
109 normf 30364 . . 3 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
110 fssres 6755 . . 3 ((normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„ ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ (normβ„Ž β†Ύ 𝐻):π»βŸΆβ„)
111109, 5, 110mp2an 691 . 2 (normβ„Ž β†Ύ 𝐻):π»βŸΆβ„
112 fvres 6908 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = (normβ„Žβ€˜π‘₯))
113112eqeq1d 2735 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0))
114 norm-i 30370 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
11549, 114syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
116113, 115bitrd 279 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
117116biimpa 478 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = 0) β†’ π‘₯ = 0β„Ž)
118 norm-iii 30381 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
11949, 118sylan2 594 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
12066fveq2d 6893 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
121 fvres 6908 . . . . 5 ((𝑦 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
12272, 121syl 17 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
123120, 122eqtrd 2773 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)))
124112adantl 483 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) = (normβ„Žβ€˜π‘₯))
125124oveq2d 7422 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((absβ€˜π‘¦) Β· ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
126119, 123, 1253eqtr4d 2783 . 2 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(𝑦( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯)))
1271sheli 30455 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
128 norm-ii 30379 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
12949, 127, 128syl2an 597 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
130 ovres 7570 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
131130fveq2d 6893 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)) = ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
132 shaddcl 30458 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
1331, 132mp3an1 1449 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
134 fvres 6908 . . . . 5 ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
135133, 134syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
136131, 135eqtrd 2773 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)) = (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)))
137 fvres 6908 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘¦) = (normβ„Žβ€˜π‘¦))
138112, 137oveqan12d 7425 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) + ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘¦)) = ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
139129, 136, 1383brtr4d 5180 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜(π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)) ≀ (((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘₯) + ((normβ„Ž β†Ύ 𝐻)β€˜π‘¦)))
140 hhssnvt.1 . 2 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
14113, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140isnvi 29854 1 π‘Š ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   ≀ cle 11246  abscabs 15178  GrpOpcgr 29730  GIdcgi 29731  AbelOpcablo 29785  NrmCVeccnv 29825   β„‹chba 30160   +β„Ž cva 30161   Β·β„Ž csm 30162  normβ„Žcno 30164  0β„Žc0v 30165   Sβ„‹ csh 30169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-nmcv 29841  df-hnorm 30209  df-hba 30210  df-hvsub 30212  df-sh 30448
This theorem is referenced by:  hhssnvt  30506  hhssvsf  30514  hhssims  30515  hhssmet  30517  hhssmetdval  30518  hhssbnOLD  30520
  Copyright terms: Public domain W3C validator