Theorem ss2in 4185

Description: Intersection of subclasses. (Contributed by NM, 5-May-2000.)

Assertion

Ref	Expression
ss2in	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))

Proof of Theorem ss2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4182	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		sslin 4183	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
3	1, 2	sylan9ss 3935	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-in 3896  df-ss 3906

This theorem is referenced by:  disjxiun  5082  f1un  6800  strleun  17127  dprdss  20006  dprd2da  20019  ablfac1b  20047  tgcl  22934  innei  23090  hausnei2  23318  bwth  23375  fbssfi  23802  fbunfip  23834  fgcl  23843  blin2  24394  vtxdun  29550  vtxdginducedm1  29612  5oai  31732  mayetes3i  31800  mdsl0  32381  neibastop1  36541  ismblfin  37982  heibor1lem  38130  pl42lem2N  40426  pl42lem3N  40427  ntrk2imkb  44464  ssin0  45486  iscnrm3llem2  49425