Theorem ss2in 4144

Description: Intersection of subclasses. (Contributed by NM, 5-May-2000.)

Assertion

Ref	Expression
ss2in	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))

Proof of Theorem ss2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4141	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		sslin 4142	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
3	1, 2	sylan9ss 3926	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-in 4094

This theorem is used by:  disjxiun  5105  f1un  6875  strleun  17379  dprdss  20296  dprd2da  20309  ablfac1b  20337  tgcl  23342  innei  23498  hausnei2  23726  bwth  23783  fbssfi  24211  fbunfip  24243  fgcl  24252  blin2  24803  vtxdun  30119  vtxdginducedm1  30181  5oai  32320  mayetes3i  32388  mdsl0  32969  neibastop1  37362  ismblfin  38847  heibor1lem  39009  pl42lem2N  41303  pl42lem3N  41304  ntrk2imkb  45298  ssin0  46346  iscnrm3llem2  50395