Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42lem2N 37980
Description: Lemma for pl42N 37983. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l = (le‘𝐾)
pl42lem.j = (join‘𝐾)
pl42lem.m = (meet‘𝐾)
pl42lem.o = (oc‘𝐾)
pl42lem.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pl42lem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42lem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑌𝐵)
5 pl42lem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 pl42lem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
75, 6latjcl 18145 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
9 eqid 2738 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10 pl42lem.f . . . . . 6 𝐹 = (pmap‘𝐾)
115, 9, 10pmapssat 37759 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
121, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13 simpr2 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑊𝐵)
145, 6latjcl 18145 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
152, 3, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
16 simpr3 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑉𝐵)
175, 6latjcl 18145 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑉𝐵) → (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵)
182, 4, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵)
19 pl42lem.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
205, 19latmcl 18146 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵)
212, 15, 18, 20syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵)
225, 9, 10pmapssat 37759 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
231, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
241, 12, 233jca 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
25 pl42lem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
265, 6, 10, 25pmapjoin 37852 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)))
272, 3, 4, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)))
285, 6, 10, 25pmapjoin 37852 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑊)))
292, 3, 13, 28syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑊)))
305, 6, 10, 25pmapjoin 37852 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑉𝐵) → ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 𝑉)))
312, 4, 16, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 𝑉)))
32 ss2in 4171 . . . . . 6 ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 𝑉))) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
3329, 31, 32syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
345, 19, 9, 10pmapmeet 37773 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
351, 15, 18, 34syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
3633, 35sseqtrrd 3962 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))
3727, 36jca 512 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∧ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
389, 25paddss12 37819 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∧ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))
3924, 37, 38sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
405, 6, 10, 25pmapjoin 37852 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
412, 8, 21, 40syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
4239, 41sstrd 3931 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cin 3886  wss 3887  cfv 6427  (class class class)co 7268  Basecbs 16900  lecple 16957  occoc 16958  joincjn 18017  meetcmee 18018  Latclat 18137  Atomscatm 37263  HLchlt 37350  pmapcpmap 37497  +𝑃cpadd 37795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-poset 18019  df-lub 18052  df-glb 18053  df-join 18054  df-meet 18055  df-lat 18138  df-clat 18205  df-ats 37267  df-atl 37298  df-cvlat 37322  df-hlat 37351  df-pmap 37504  df-padd 37796
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  37982
  Copyright terms: Public domain W3C validator