Theorem pl42lem2N 37118

Description: Lemma for pl42N 37121. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42lem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 36502	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpl3 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		pl42lem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		pl42lem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latjcl 17663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10		pl42lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
11	5, 9, 10	pmapssat 36897	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 8, 11	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpr2 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	5, 6	latjcl 17663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16		simpr3 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 17663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
19		pl42lem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	5, 19	latmcl 17664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
21	2, 15, 18, 20	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
22	5, 9, 10	pmapssat 36897	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
23	1, 21, 22	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
24	1, 12, 23	3jca 1124	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
25		pl42lem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
26	5, 6, 10, 25	pmapjoin 36990	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
27	2, 3, 4, 26	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	5, 6, 10, 25	pmapjoin 36990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
29	2, 3, 13, 28	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
30	5, 6, 10, 25	pmapjoin 36990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
31	2, 4, 16, 30	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
32		ss2in 4215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∧ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
33	29, 31, 32	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
34	5, 19, 9, 10	pmapmeet 36911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
35	1, 15, 18, 34	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
36	33, 35	sseqtrrd 4010	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))
37	27, 36	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
38	9, 25	paddss12 36957	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))
39	24, 37, 38	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
40	5, 6, 10, 25	pmapjoin 36990	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
41	2, 8, 21, 40	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
42	39, 41	sstrd 3979	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  lecple 16574  occoc 16575  joincjn 17556  meetcmee 17557  Latclat 17657  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  pmapcpmap 36635  +_𝑃cpadd 36933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-poset 17558  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-lat 17658  df-clat 17720  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-pmap 36642  df-padd 36934

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  37120