Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42lem2N 39155
Description: Lemma for pl42N 39158. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
Proof of Theorem pl42lem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38538 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 pl42lem.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 pl42lem.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
75, 6latjcl 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
82, 3, 4, 7syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 eqid 2731 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
10 pl42lem.f . . . . . 6 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
115, 9, 10pmapssat 38934 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
121, 8, 11syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
13 simpr2 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
145, 6latjcl 18397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
152, 3, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
16 simpr3 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
175, 6latjcl 18397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡)
182, 4, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡)
19 pl42lem.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
205, 19latmcl 18398 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡)
212, 15, 18, 20syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡)
225, 9, 10pmapssat 38934 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
231, 21, 22syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
241, 12, 233jca 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)))
25 pl42lem.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
265, 6, 10, 25pmapjoin 39027 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
272, 3, 4, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
285, 6, 10, 25pmapjoin 39027 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)))
292, 3, 13, 28syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)))
305, 6, 10, 25pmapjoin 39027 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉)))
312, 4, 16, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉)))
32 ss2in 4237 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰))) βŠ† ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉))))
3329, 31, 32syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰))) βŠ† ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉))))
345, 19, 9, 10pmapmeet 38948 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉))))
351, 15, 18, 34syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜(π‘Œ ∨ 𝑉))))
3633, 35sseqtrrd 4024 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))
3727, 36jca 511 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
389, 25paddss12 38994 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))) βŠ† ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) + (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))))
3924, 37, 38sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))) βŠ† ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) + (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
405, 6, 10, 25pmapjoin 39027 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) + (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
412, 8, 21, 40syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) + (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
4239, 41sstrd 3993 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  pmapcpmap 38672  +𝑃cpadd 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-clat 18457  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-pmap 38679  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  39157
  Copyright terms: Public domain W3C validator