Theorem pl42lem2N 40481

Description: Lemma for pl42N 40484. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42lem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpl3 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		pl42lem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		pl42lem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latjcl 18397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10		pl42lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
11	5, 9, 10	pmapssat 40260	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 8, 11	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpr2 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	5, 6	latjcl 18397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16		simpr3 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 18397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
19		pl42lem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	5, 19	latmcl 18398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
21	2, 15, 18, 20	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
22	5, 9, 10	pmapssat 40260	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
23	1, 21, 22	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
24	1, 12, 23	3jca 1134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
25		pl42lem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
26	5, 6, 10, 25	pmapjoin 40353	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
27	2, 3, 4, 26	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	5, 6, 10, 25	pmapjoin 40353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
29	2, 3, 13, 28	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
30	5, 6, 10, 25	pmapjoin 40353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
31	2, 4, 16, 30	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
32		ss2in 4174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∧ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
33	29, 31, 32	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
34	5, 19, 9, 10	pmapmeet 40274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
35	1, 15, 18, 34	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
36	33, 35	sseqtrrd 3952	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))
37	27, 36	jca 516	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
38	9, 25	paddss12 40320	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))
39	24, 37, 38	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
40	5, 6, 10, 25	pmapjoin 40353	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
41	2, 8, 21, 40	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
42	39, 41	sstrd 3925	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  lecple 17219  occoc 17220  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  Atomscatm 39764  HLchlt 39851  pmapcpmap 39998  +_𝑃cpadd 40296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-poset 18271  df-lub 18302  df-glb 18303  df-join 18304  df-meet 18305  df-lat 18390  df-clat 18457  df-ats 39768  df-atl 39799  df-cvlat 39823  df-hlat 39852  df-pmap 40005  df-padd 40297

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  40483