Theorem pl42lem2N 39937

Description: Lemma for pl42N 39940. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42lem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39320	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		pl42lem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		pl42lem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latjcl 18509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10		pl42lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
11	5, 9, 10	pmapssat 39716	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 8, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpr2 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	5, 6	latjcl 18509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 18509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
18	2, 4, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
19		pl42lem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	5, 19	latmcl 18510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
21	2, 15, 18, 20	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
22	5, 9, 10	pmapssat 39716	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
23	1, 21, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
24	1, 12, 23	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
25		pl42lem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
26	5, 6, 10, 25	pmapjoin 39809	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
27	2, 3, 4, 26	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	5, 6, 10, 25	pmapjoin 39809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
29	2, 3, 13, 28	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
30	5, 6, 10, 25	pmapjoin 39809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
31	2, 4, 16, 30	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
32		ss2in 4266	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∧ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
33	29, 31, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
34	5, 19, 9, 10	pmapmeet 39730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
35	1, 15, 18, 34	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
36	33, 35	sseqtrrd 4050	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))
37	27, 36	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
38	9, 25	paddss12 39776	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))
39	24, 37, 38	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
40	5, 6, 10, 25	pmapjoin 39809	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
41	2, 8, 21, 40	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
42	39, 41	sstrd 4019	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  occoc 17319  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  pmapcpmap 39454  +_𝑃cpadd 39752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502  df-clat 18569  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-pmap 39461  df-padd 39753

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  39939