MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdun 29005
Description: The degree of a vertex in the union of two graphs on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 19-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdun.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdun.j 𝐽 = (iEdgβ€˜π»)
vtxdun.vg 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdun.vh (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
vtxdun.vu (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘ˆ) = 𝑉)
vtxdun.d (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = βˆ…)
vtxdun.fi (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
vtxdun.fj (πœ‘ β†’ Fun 𝐽)
vtxdun.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
vtxdun.u (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘ˆ) = (𝐼 βˆͺ 𝐽))
Assertion
Ref Expression
vtxdun (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) +𝑒 ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘)))

Proof of Theorem vtxdun
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3431 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))}
2 vtxdun.u . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘ˆ) = (𝐼 βˆͺ 𝐽))
32dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) = dom (𝐼 βˆͺ 𝐽))
4 dmun 5909 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝐼 βˆͺ 𝐽) = (dom 𝐼 βˆͺ dom 𝐽)
53, 4eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) = (dom 𝐼 βˆͺ dom 𝐽))
65eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ↔ π‘₯ ∈ (dom 𝐼 βˆͺ dom 𝐽)))
7 elun 4147 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (dom 𝐼 βˆͺ dom 𝐽) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∨ π‘₯ ∈ dom 𝐽))
86, 7bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∨ π‘₯ ∈ dom 𝐽)))
98anbi1d 628 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∨ π‘₯ ∈ dom 𝐽) ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
10 andir 1005 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∨ π‘₯ ∈ dom 𝐽) ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))))
119, 10bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))))
1211abbidv 2799 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))})
131, 12eqtrid 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))})
14 unab 4297 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))}) = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))}
1514eqcomi 2739 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))} = ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))})
1615a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)))} = ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))}))
17 df-rab 3431 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))}
182fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯))
20 vtxdun.fi . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
2120funfnd 6578 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
23 vtxdun.fj . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Fun 𝐽)
2423funfnd 6578 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn dom 𝐽)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ 𝐽 Fn dom 𝐽)
26 vtxdun.d . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = βˆ…)
2726anim1i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼))
28 fvun1 6981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ 𝐽 Fn dom 𝐽 ∧ ((dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼)) β†’ ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
2922, 25, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
3019, 29eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
3130eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ (𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)))
3231rabbidva 3437 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)})
3317, 32eqtr3id 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} = {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)})
34 df-rab 3431 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))}
3518adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯))
3621adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
3724adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ 𝐽 Fn dom 𝐽)
3826anim1i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ ((dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽))
39 fvun2 6982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ 𝐽 Fn dom 𝐽 ∧ ((dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽)) β†’ ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ ((𝐼 βˆͺ 𝐽)β€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4135, 40eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4241eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ (𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) ↔ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)))
4342rabbidva 3437 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})
4434, 43eqtr3id 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} = {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})
4533, 44uneq12d 4163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯))}) = ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}))
4613, 16, 453eqtrd 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)} = ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}))
4746fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})))
48 vtxdun.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4948fvexi 6904 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
5049dmex 7904 . . . . . . . 8 dom 𝐼 ∈ V
5150rabex 5331 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ V
5251a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ V)
53 vtxdun.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (iEdgβ€˜π»)
5453fvexi 6904 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ V
5554dmex 7904 . . . . . . . 8 dom 𝐽 ∈ V
5655rabex 5331 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)} ∈ V
5756a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)} ∈ V)
58 ssrab2 4076 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† dom 𝐼
59 ssrab2 4076 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)} βŠ† dom 𝐽
60 ss2in 4235 . . . . . . . . 9 (({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† dom 𝐼 ∧ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)} βŠ† dom 𝐽) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) βŠ† (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽))
6158, 59, 60mp2an 688 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) βŠ† (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽)
6261, 26sseqtrid 4033 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) βŠ† βˆ…)
63 ss0 4397 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) βŠ† βˆ… β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) = βˆ…)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) = βˆ…)
65 hashunx 14350 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ V ∧ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)} ∈ V ∧ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})))
6652, 57, 64, 65syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})))
6747, 66eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)}) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})))
68 df-rab 3431 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})}
698anbi1d 628 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ↔ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∨ π‘₯ ∈ dom 𝐽) ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})))
70 andir 1005 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∨ π‘₯ ∈ dom 𝐽) ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ↔ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})))
7169, 70bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ↔ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}))))
7271abbidv 2799 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}))})
7368, 72eqtrid 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}))})
74 unab 4297 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})}) = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}))}
7574eqcomi 2739 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}))} = ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})})
7675a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}) ∨ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}))} = ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})}))
77 df-rab 3431 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})}
7830eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ (((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁} ↔ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}))
7978rabbidva 3437 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})
8077, 79eqtr3id 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} = {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})
81 df-rab 3431 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})}
8241eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐽) β†’ (((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁} ↔ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}))
8382rabbidva 3437 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})
8481, 83eqtr3id 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} = {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})
8580, 84uneq12d 4163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})} βˆͺ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∧ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁})}) = ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))
8673, 76, 853eqtrd 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}} = ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))
8786fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}}) = (β™―β€˜({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
8850rabex 5331 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V
8988a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V)
9055rabex 5331 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V
9190a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V)
92 ssrab2 4076 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βŠ† dom 𝐼
93 ssrab2 4076 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}} βŠ† dom 𝐽
94 ss2in 4235 . . . . . . . . 9 (({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βŠ† dom 𝐼 ∧ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}} βŠ† dom 𝐽) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) βŠ† (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽))
9592, 93, 94mp2an 688 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) βŠ† (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽)
9695, 26sseqtrid 4033 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) βŠ† βˆ…)
97 ss0 4397 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) βŠ† βˆ… β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) = βˆ…)
9896, 97syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) = βˆ…)
99 hashunx 14350 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V ∧ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V ∧ ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∩ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
10089, 91, 98, 99syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} βˆͺ {π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
10187, 100eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}}) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
10267, 101oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}})) = (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})) +𝑒 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))))
103 hashxnn0 14303 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ β„•0*)
10452, 103syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ β„•0*)
105 hashxnn0 14303 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) ∈ β„•0*)
10657, 105syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) ∈ β„•0*)
107 hashxnn0 14303 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) ∈ β„•0*)
10889, 107syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) ∈ β„•0*)
109 hashxnn0 14303 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}} ∈ V β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) ∈ β„•0*)
11091, 109syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}) ∈ β„•0*)
111104, 106, 108, 110xnn0add4d 13287 . . 3 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)})) +𝑒 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))) = (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})) +𝑒 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))))
112102, 111eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}})) = (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})) +𝑒 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))))
113 vtxdun.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
114 vtxdun.vu . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘ˆ) = 𝑉)
115113, 114eleqtrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜π‘ˆ))
116 eqid 2730 . . . 4 (Vtxβ€˜π‘ˆ) = (Vtxβ€˜π‘ˆ)
117 eqid 2730 . . . 4 (iEdgβ€˜π‘ˆ) = (iEdgβ€˜π‘ˆ)
118 eqid 2730 . . . 4 dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) = dom (iEdgβ€˜π‘ˆ)
119116, 117, 118vtxdgval 28992 . . 3 (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜π‘ˆ) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
120115, 119syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜π‘ˆ) ∣ ((iEdgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
121 vtxdun.vg . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
122 eqid 2730 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
123121, 48, 122vtxdgval 28992 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})))
124113, 123syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})))
125 vtxdun.vh . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
126113, 125eleqtrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜π»))
127 eqid 2730 . . . . 5 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜π»)
128 eqid 2730 . . . . 5 dom 𝐽 = dom 𝐽
129127, 53, 128vtxdgval 28992 . . . 4 (𝑁 ∈ (Vtxβ€˜π») β†’ ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
130126, 129syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}})))
131124, 130oveq12d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) +𝑒 ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘)) = (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {𝑁}})) +𝑒 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ 𝑁 ∈ (π½β€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom 𝐽 ∣ (π½β€˜π‘₯) = {𝑁}}))))
132112, 120, 1313eqtr4d 2780 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) +𝑒 ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  dom cdm 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„•0*cxnn0 12548   +𝑒 cxad 13094  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  VtxDegcvtxdg 28989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-hash 14295  df-vtxdg 28990
This theorem is referenced by:  vtxdfiun  29006  vtxduhgrun  29007  p1evtxdeqlem  29036
  Copyright terms: Public domain W3C validator