MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undomOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undomOLD 9099
Description: Obsolete version of undom 9098 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
undomOLD (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem undomOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8990 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5746 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 9002 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 267 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
61brrelex1i 5745 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
7 difss 4146 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ⊆ 𝐶
8 ssdomg 9039 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ V → ((𝐶𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶))
96, 7, 8mpisyl 21 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶)
10 domtr 9046 . . . . . 6 (((𝐶𝐴) ≼ 𝐶𝐶𝐷) → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
119, 10mpancom 688 . . . . 5 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
121brrelex2i 5746 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷𝐷 ∈ V)
13 domeng 9002 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1514ibi 267 . . . . 5 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
1611, 15syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
175, 16anim12i 613 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1817adantr 480 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
19 exdistrv 1953 . . 3 (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
20 simprll 779 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐴𝑥)
21 simprrl 781 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐶𝐴) ≈ 𝑦)
22 disjdif 4478 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅)
24 ss2in 4253 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2524ad2ant2l 746 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
27 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) = ∅)
28 sseq0 4409 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝑥𝑦) = ∅)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) = ∅)
30 undif2 4483 . . . . . . . 8 (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = (𝐴𝐶)
31 unen 9085 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≈ (𝑥𝑦))
3230, 31eqbrtrrid 5184 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
3320, 21, 23, 29, 32syl22anc 839 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
342ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
351brrelex2i 5746 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
3635ad3antlr 731 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37 unexg 7762 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝐷) ∈ V)
3834, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) ∈ V)
39 unss12 4198 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4039ad2ant2l 746 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
42 ssdomg 9039 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷) ∈ V → ((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)))
4338, 41, 42sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷))
44 endomtr 9051 . . . . . 6 (((𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦) ∧ (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4533, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4645ex 412 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4746exlimdvv 1932 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4819, 47biimtrrid 243 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4918, 48mpd 15 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cen 8981  cdom 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-en 8985  df-dom 8986
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator