Theorem undomOLD 9100

Description: Obsolete version of undom 9099 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
undomOLD	⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem undomOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8991	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5742	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 9003	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	1	brrelex1i 5741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
7		difss 4136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶
8		ssdomg 9040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶)
10		domtr 9047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷)
11	9, 10	mpancom 688	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷)
12	1	brrelex2i 5742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		domeng 9003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
15	14	ibi 267	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))
17	5, 16	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
19		exdistrv 1955	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
20		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
21		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦)
22		disjdif 4472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅)
24		ss2in 4245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
25	24	ad2ant2l 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
27		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
28		sseq0 4403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30		undif2 4477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐶)
31		unen 9086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
32	30, 31	eqbrtrrid 5179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
33	20, 21, 23, 29, 32	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
34	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
35	1	brrelex2i 5742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
36	35	ad3antlr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37		unexg 7763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V)
39		unss12 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
40	39	ad2ant2l 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
42		ssdomg 9040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
43	38, 41, 42	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
44		endomtr 9052	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
45	33, 43, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
46	45	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
47	46	exlimdvv 1934	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
48	19, 47	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
49	18, 48	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-dom 8987

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