MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undomOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undomOLD 9100
Description: Obsolete version of undom 9099 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
undomOLD (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem undomOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8991 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5742 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 9003 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 267 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
61brrelex1i 5741 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
7 difss 4136 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ⊆ 𝐶
8 ssdomg 9040 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ V → ((𝐶𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶))
96, 7, 8mpisyl 21 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶)
10 domtr 9047 . . . . . 6 (((𝐶𝐴) ≼ 𝐶𝐶𝐷) → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
119, 10mpancom 688 . . . . 5 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
121brrelex2i 5742 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷𝐷 ∈ V)
13 domeng 9003 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1514ibi 267 . . . . 5 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
1611, 15syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
175, 16anim12i 613 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1817adantr 480 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
19 exdistrv 1955 . . 3 (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
20 simprll 779 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐴𝑥)
21 simprrl 781 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐶𝐴) ≈ 𝑦)
22 disjdif 4472 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅)
24 ss2in 4245 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2524ad2ant2l 746 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
27 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) = ∅)
28 sseq0 4403 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝑥𝑦) = ∅)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) = ∅)
30 undif2 4477 . . . . . . . 8 (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = (𝐴𝐶)
31 unen 9086 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≈ (𝑥𝑦))
3230, 31eqbrtrrid 5179 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
3320, 21, 23, 29, 32syl22anc 839 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
342ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
351brrelex2i 5742 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
3635ad3antlr 731 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37 unexg 7763 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝐷) ∈ V)
3834, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) ∈ V)
39 unss12 4188 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4039ad2ant2l 746 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
42 ssdomg 9040 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷) ∈ V → ((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)))
4338, 41, 42sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷))
44 endomtr 9052 . . . . . 6 (((𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦) ∧ (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4533, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4645ex 412 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4746exlimdvv 1934 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4819, 47biimtrrid 243 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4918, 48mpd 15 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cen 8982  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-dom 8987
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator