MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undomOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undomOLD 9056
Description: Obsolete version of undom 9055 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
undomOLD (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem undomOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8941 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5731 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 8954 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 266 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
61brrelex1i 5730 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
7 difss 4130 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ⊆ 𝐶
8 ssdomg 8992 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ V → ((𝐶𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶))
96, 7, 8mpisyl 21 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶)
10 domtr 8999 . . . . . 6 (((𝐶𝐴) ≼ 𝐶𝐶𝐷) → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
119, 10mpancom 686 . . . . 5 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
121brrelex2i 5731 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷𝐷 ∈ V)
13 domeng 8954 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1514ibi 266 . . . . 5 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
1611, 15syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
175, 16anim12i 613 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1817adantr 481 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
19 exdistrv 1959 . . 3 (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
20 simprll 777 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐴𝑥)
21 simprrl 779 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐶𝐴) ≈ 𝑦)
22 disjdif 4470 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅)
24 ss2in 4235 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2524ad2ant2l 744 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
27 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) = ∅)
28 sseq0 4398 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝑥𝑦) = ∅)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) = ∅)
30 undif2 4475 . . . . . . . 8 (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = (𝐴𝐶)
31 unen 9042 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≈ (𝑥𝑦))
3230, 31eqbrtrrid 5183 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
3320, 21, 23, 29, 32syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
342ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
351brrelex2i 5731 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
3635ad3antlr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37 unexg 7732 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝐷) ∈ V)
3834, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) ∈ V)
39 unss12 4181 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4039ad2ant2l 744 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4140adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
42 ssdomg 8992 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷) ∈ V → ((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)))
4338, 41, 42sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷))
44 endomtr 9004 . . . . . 6 (((𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦) ∧ (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4533, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4645ex 413 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4746exlimdvv 1937 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4819, 47biimtrrid 242 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4918, 48mpd 15 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3474  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147  cen 8932  cdom 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8936  df-dom 8937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator