MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  undomOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem undomOLD 9011
Description: Obsolete version of undom 9010 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
undomOLD (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem undomOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8896 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5694 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 8909 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 267 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
61brrelex1i 5693 . . . . . . 7 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
7 difss 4096 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ⊆ 𝐶
8 ssdomg 8947 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ V → ((𝐶𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶))
96, 7, 8mpisyl 21 . . . . . 6 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐶)
10 domtr 8954 . . . . . 6 (((𝐶𝐴) ≼ 𝐶𝐶𝐷) → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
119, 10mpancom 687 . . . . 5 (𝐶𝐷 → (𝐶𝐴) ≼ 𝐷)
121brrelex2i 5694 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷𝐷 ∈ V)
13 domeng 8909 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1514ibi 267 . . . . 5 ((𝐶𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
1611, 15syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷 → ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))
175, 16anim12i 614 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
1817adantr 482 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
19 exdistrv 1960 . . 3 (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)))
20 simprll 778 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐴𝑥)
21 simprrl 780 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐶𝐴) ≈ 𝑦)
22 disjdif 4436 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅)
24 ss2in 4201 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2524ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
2625adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
27 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) = ∅)
28 sseq0 4364 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝑥𝑦) = ∅)
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) = ∅)
30 undif2 4441 . . . . . . . 8 (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = (𝐴𝐶)
31 unen 8997 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) ≈ (𝑥𝑦))
3230, 31eqbrtrrid 5146 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐶𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
3320, 21, 23, 29, 32syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦))
342ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
351brrelex2i 5694 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
3635ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37 unexg 7688 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝐷) ∈ V)
3834, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐵𝐷) ∈ V)
39 unss12 4147 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑦𝐷) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4039ad2ant2l 745 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
4140adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷))
42 ssdomg 8947 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷) ∈ V → ((𝑥𝑦) ⊆ (𝐵𝐷) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)))
4338, 41, 42sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷))
44 endomtr 8959 . . . . . 6 (((𝐴𝐶) ≈ (𝑥𝑦) ∧ (𝑥𝑦) ≼ (𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4533, 43, 44syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷))) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
4645ex 414 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4746exlimdvv 1938 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (∃𝑥𝑦((𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4819, 47biimtrrid 242 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶𝐴) ≈ 𝑦𝑦𝐷)) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷)))
4918, 48mpd 15 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3448  cdif 3912  cun 3913  cin 3914  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110  cen 8887  cdom 8888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-en 8891  df-dom 8892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator