Theorem undomOLD 8847

Description: Obsolete version of undom 8846 as of 4-Dec-2024. (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
undomOLD	⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))

Proof of Theorem undomOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8739	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 8752	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 266	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	1	brrelex1i 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
7		difss 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶
8		ssdomg 8786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐶 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶)
10		domtr 8793	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷)
11	9, 10	mpancom 685	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → (𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷)
12	1	brrelex2i 5644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
13		domeng 8752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 ↔ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
15	14	ibi 266	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))
17	5, 16	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
19		exdistrv 1959	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) ↔ (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)))
20		simprll 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
21		simprrl 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦)
22		disjdif 4405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅)
24		ss2in 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
25	24	ad2ant2l 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
27		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
28		sseq0 4333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30		undif2 4410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐶)
31		unen 8836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
32	30, 31	eqbrtrrid 5110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ (𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
33	20, 21, 23, 29, 32	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦))
34	2	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐵 ∈ V)
35	1	brrelex2i 5644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
36	35	ad3antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → 𝐷 ∈ V)
37		unexg 7599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V)
39		unss12 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
40	39	ad2ant2l 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
41	40	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷))
42		ssdomg 8786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐷) ∈ V → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐷) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
43	38, 41, 42	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
44		endomtr 8798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ≈ (𝑥 ∪ 𝑦) ∧ (𝑥 ∪ 𝑦) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
45	33, 43, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) ∧ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷))) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))
46	45	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
47	46	exlimdvv 1937	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (∃𝑥∃𝑦((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
48	19, 47	syl5bir 242	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → ((∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑦((𝐶 ∖ 𝐴) ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐷)) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷)))
49	18, 48	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐶) ≼ (𝐵 ∪ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-en 8734  df-dom 8735

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