MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcl 21889
Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcl (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem fgcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfg 21882 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑧)))
2 elfvex 6435 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 fbasne0 21841 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4 n0 4126 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐹)
53, 4sylib 209 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦 𝑦𝐹)
6 fbelss 21844 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
76ex 399 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦𝐹𝑦𝑋))
87ancld 542 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦𝐹𝑦𝑋)))
98eximdv 2008 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∃𝑦 𝑦𝐹 → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋)))
105, 9mpd 15 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋))
11 df-rex 3098 . . . 4 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑋 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋))
1210, 11sylibr 225 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋)
13 elfvdm 6434 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
14 sseq2 3818 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (𝑦𝑧𝑦𝑋))
1514rexbidv 3236 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1615sbcieg 3660 . . . 4 (𝑋 ∈ dom fBas → ([𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1713, 16syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ([𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1812, 17mpbird 248 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → [𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧)
19 0nelfb 21842 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
20 0ex 4978 . . . . 5 ∅ ∈ V
21 sseq2 3818 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧𝑦 ⊆ ∅))
2221rexbidv 3236 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅))
2320, 22sbcie 3662 . . . 4 ([∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅)
24 ss0 4166 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ∅ → 𝑦 = ∅)
2524eleq1d 2866 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ∅ → (𝑦𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
2625biimpac 466 . . . . 5 ((𝑦𝐹𝑦 ⊆ ∅) → ∅ ∈ 𝐹)
2726rexlimiva 3212 . . . 4 (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅ → ∅ ∈ 𝐹)
2823, 27sylbi 208 . . 3 ([∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 → ∅ ∈ 𝐹)
2919, 28nsyl 137 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ [∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧)
30 sstr 3800 . . . . . 6 ((𝑦𝑣𝑣𝑢) → 𝑦𝑢)
3130expcom 400 . . . . 5 (𝑣𝑢 → (𝑦𝑣𝑦𝑢))
3231reximdv 3199 . . . 4 (𝑣𝑢 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
33323ad2ant3 1158 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑢) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
34 vex 3390 . . . 4 𝑣 ∈ V
35 sseq2 3818 . . . . 5 (𝑧 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑦𝑣))
3635rexbidv 3236 . . . 4 (𝑧 = 𝑣 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑣))
3734, 36sbcie 3662 . . 3 ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑣)
38 vex 3390 . . . 4 𝑢 ∈ V
39 sseq2 3818 . . . . 5 (𝑧 = 𝑢 → (𝑦𝑧𝑦𝑢))
4039rexbidv 3236 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
4138, 40sbcie 3662 . . 3 ([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢)
4233, 37, 413imtr4g 287 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑢) → ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧))
43 fbasssin 21847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤))
44433expib 1145 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤)))
45 sstr2 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
4746reximdv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
48 ss2in 4031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣))
4947, 48syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
5044, 49syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝑧𝐹𝑤𝐹) → ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5150exp5c 433 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑧𝐹 → (𝑤𝐹 → (𝑧𝑢 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))))
5251imp31 406 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑧𝑢 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5352impancom 441 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑧𝑢) → (𝑤𝐹 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5453rexlimdv 3214 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑧𝑢) → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
5554ex 399 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝑢 → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5655rexlimdva 3215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5756impd 398 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
58573ad2ant1 1156 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
59 sseq1 3817 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑢𝑧𝑢))
6059cbvrexv 3357 . . . . 5 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑢 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑢)
6141, 60bitri 266 . . . 4 ([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑢)
62 sseq1 3817 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑣𝑤𝑣))
6362cbvrexv 3357 . . . . 5 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 ↔ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣)
6437, 63bitri 266 . . . 4 ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣)
6561, 64anbi12i 614 . . 3 (([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧) ↔ (∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣))
6638inex1 4988 . . . 4 (𝑢𝑣) ∈ V
67 sseq2 3818 . . . . 5 (𝑧 = (𝑢𝑣) → (𝑦𝑧𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
6867rexbidv 3236 . . . 4 (𝑧 = (𝑢𝑣) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
6966, 68sbcie 3662 . . 3 ([(𝑢𝑣) / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))
7058, 65, 693imtr4g 287 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → (([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧) → [(𝑢𝑣) / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧))
711, 2, 18, 29, 42, 70isfild 21869 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2155  wne 2974  wrex 3093  [wsbc 3627  cin 3762  wss 3763  c0 4110  dom cdm 5305  cfv 6095  (class class class)co 6868  fBascfbas 19936  filGencfg 19937  Filcfil 21856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fv 6103  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-fil 21857
This theorem is referenced by:  fgabs  21890  trfg  21902  isufil2  21919  ssufl  21929  ufileu  21930  filufint  21931  fixufil  21933  uffixfr  21934  fmfil  21955  fmfg  21960  elfm3  21961  rnelfm  21964  fmfnfmlem2  21966  fmfnfm  21969  fbflim  21987  hausflim  21992  flimclslem  21995  flffbas  22006  fclsbas  22032  fclsfnflim  22038  flimfnfcls  22039  fclscmp  22041  haustsms  22146  tsmscls  22148  tsmsmhm  22156  tsmsadd  22157  cfilufg  22304  metust  22570  fgcfil  23275  cmetcaulem  23292  cmetss  23319  minveclem4a  23407  minveclem4  23409
  Copyright terms: Public domain W3C validator