Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42lem3N 39156
Description: Lemma for pl42N 39158. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
Proof of Theorem pl42lem3N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 pl42lem.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2731 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
5 pl42lem.f . . . . . 6 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
63, 4, 5pmapssat 38934 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
8 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
93, 4, 5pmapssat 38934 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
101, 8, 9syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
11 pl42lem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
124, 11paddssat 38989 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
131, 7, 10, 12syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
14 simpr2 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
153, 4, 5pmapssat 38934 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
161, 14, 15syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
17 inss1 4228 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))
184, 11paddss1 38992 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š))))
1917, 18mpi 20 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
201, 13, 16, 19syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
21 simpr3 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
223, 4, 5pmapssat 38934 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
231, 21, 22syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
244, 11sspadd2 38991 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰)))
251, 23, 13, 24syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰)))
26 ss2in 4236 . 2 ((((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
2720, 25, 26syl2anc 583 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  pmapcpmap 38672  +𝑃cpadd 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-pmap 38679  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  39157
  Copyright terms: Public domain W3C validator