Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42lem3N 39155
Description: Lemma for pl42N 39157. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
Proof of Theorem pl42lem3N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 pl42lem.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2730 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
5 pl42lem.f . . . . . 6 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
63, 4, 5pmapssat 38933 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
8 simpl3 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
93, 4, 5pmapssat 38933 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
101, 8, 9syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
11 pl42lem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
124, 11paddssat 38988 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
131, 7, 10, 12syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
14 simpr2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
153, 4, 5pmapssat 38933 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
161, 14, 15syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
17 inss1 4227 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))
184, 11paddss1 38991 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š))))
1917, 18mpi 20 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
201, 13, 16, 19syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
21 simpr3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
223, 4, 5pmapssat 38933 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
231, 21, 22syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
244, 11sspadd2 38990 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰)))
251, 23, 13, 24syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰)))
26 ss2in 4235 . 2 ((((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
2720, 25, 26syl2anc 582 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  occoc 17209  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  pmapcpmap 38671  +𝑃cpadd 38969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-pmap 38678  df-padd 38970
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  39156
  Copyright terms: Public domain W3C validator