Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42lem3N 38852
Description: Lemma for pl42N 38854. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
Proof of Theorem pl42lem3N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 pl42lem.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
5 pl42lem.f . . . . . 6 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
63, 4, 5pmapssat 38630 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
8 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
93, 4, 5pmapssat 38630 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
101, 8, 9syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
11 pl42lem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
124, 11paddssat 38685 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
131, 7, 10, 12syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
14 simpr2 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
153, 4, 5pmapssat 38630 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
161, 14, 15syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
17 inss1 4229 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))
184, 11paddss1 38688 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š))))
1917, 18mpi 20 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Š) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
201, 13, 16, 19syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)))
21 simpr3 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
223, 4, 5pmapssat 38630 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
231, 21, 22syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
244, 11sspadd2 38687 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰)))
251, 23, 13, 24syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰)))
26 ss2in 4237 . 2 ((((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) βŠ† (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
2720, 25, 26syl2anc 585 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  pmapcpmap 38368  +𝑃cpadd 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-pmap 38375  df-padd 38667
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  38853
  Copyright terms: Public domain W3C validator