Theorem pl42lem3N 39975

Description: Lemma for pl42N 39977. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))

Proof of Theorem pl42lem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		pl42lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		pl42lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
6	3, 4, 5	pmapssat 39753	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5	pmapssat 39753	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
11		pl42lem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	4, 11	paddssat 39808	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13	1, 7, 10, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 5	pmapssat 39753	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾))
16	1, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17		inss1 4200	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) ⊆ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))
18	4, 11	paddss1 39811	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) ⊆ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊))))
19	17, 18	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)))
20	1, 13, 16, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)))
21		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	pmapssat 39753	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (Atoms‘𝐾))
23	1, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (Atoms‘𝐾))
24	4, 11	sspadd2 39810	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑉) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉)))
25	1, 23, 13, 24	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉)))
26		ss2in 4208	. 2 ⊢ ((((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑉) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))
27	20, 25, 26	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  occoc 17228  joincjn 18272  meetcmee 18273  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  pmapcpmap 39491  +_𝑃cpadd 39789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-pmap 39498  df-padd 39790

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  39976