Theorem pl42lem3N 36056

Description: Lemma for pl42N 36058. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))

Proof of Theorem pl42lem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1248	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		pl42lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		pl42lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
6	3, 4, 5	pmapssat 35834	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		simpl3 1252	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5	pmapssat 35834	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
10	1, 8, 9	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
11		pl42lem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	4, 11	paddssat 35889	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13	1, 7, 10, 12	syl3anc 1496	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14		simpr2 1256	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 5	pmapssat 35834	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾))
16	1, 14, 15	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17		inss1 4057	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) ⊆ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))
18	4, 11	paddss1 35892	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) ⊆ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊))))
19	17, 18	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑊) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)))
20	1, 13, 16, 19	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)))
21		simpr3 1258	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	pmapssat 35834	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (Atoms‘𝐾))
23	1, 21, 22	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (Atoms‘𝐾))
24	4, 11	sspadd2 35891	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑉) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉)))
25	1, 23, 13, 24	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉)))
26		ss2in 4065	. 2 ⊢ ((((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑉) ⊆ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))
27	20, 25, 26	syl2anc 581	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  lecple 16312  occoc 16313  joincjn 17297  meetcmee 17298  Atomscatm 35338  HLchlt 35425  pmapcpmap 35572  +_𝑃cpadd 35870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-pmap 35579  df-padd 35871

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  36057