Theorem disjxiun 5067

Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxiun	⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
3	1, 2	nfdisjw 5047	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶
4		disjss1 5041	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
5		ssiun2 4973	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
7	3, 6	ralrimi 3139	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
9		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
10		ssiun2 4973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
11		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
12		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
13		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
14	11, 12, 13	cbviun 4962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
15	10, 14	sseqtrrdi 3968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
18		csbeq1 3831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
19	18	sseq1d 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵))
20	19, 15	vtoclga 3503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
22	21	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
23	11, 12, 13	cbvdisj 5045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
24	18	disjor 5050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
25	23, 24	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
26		rsp2 3136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
29	28	ord 860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
30	29	impr 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
31	30	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
32		disjiun 5057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
33	9, 17, 22, 31, 32	syl13anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
34	33	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
35	34	orrd 859	. . . . . . 7 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
36	35	ralrimivva 3114	. . . . . 6 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
37	18	iuneq1d 4948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
38	37	disjor 5050	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
39	36, 38	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
40		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
41	12, 2	nfiun 4951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
42	13	iuneq1d 4948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
43	40, 41, 42	cbvdisj 5045	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
44	39, 43	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
46	8, 45	jcad 512	. 2 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))
47	14	eleq2i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
48		eliun 4925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
49	47, 48	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
50		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
51		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
52		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
53	50, 51, 52	cbviun 4962	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
54	53	eleq2i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
55		eliun 4925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
56	54, 55	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
57	49, 56	anbi12i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
58		reeanv 3292	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
59	57, 58	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
60		simplrr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
61	12, 2	nfdisjw 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
62	13	disjeq1d 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
63	61, 62	rspc 3539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
64	63	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
65		disjors 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
66	64, 65	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
67	66	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
69		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
70		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
71	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
72	70, 71	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
73	69, 72	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵))
74		rsp2 3136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
75	74	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
76	68, 73, 75	syl2an2r 681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
77	76	adantlrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
78	77	ord 860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
79	60, 78	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
80		ssiun2 4973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
81		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑟𝐶
82		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
83		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → 𝐶 = ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
84	81, 82, 83	cbviun 4962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
85	80, 84	sseqtrrdi 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
86		ssiun2 4973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
87		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑠𝐶
88		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
89		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐶 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
90	87, 88, 89	cbviun 4962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
91	86, 90	sseqtrrdi 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
92		ss2in 4167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
93	85, 91, 92	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
94	93	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
95		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
96		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵
97	96, 2	nfiun 4951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶
98		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵)
99	98	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
100	95, 97, 99	cbvdisj 5045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
101	100	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
102	101	ad3antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
103		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
104		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝑢 ≠ 𝑣)
105		csbeq1 3831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
106	105	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
107		csbeq1 3831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
108	107	iuneq1d 4948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
109	106, 108	disji2 5052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
110	102, 103, 104, 109	syl2an3an 1420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
111		sseq0 4330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) ∧ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
112	94, 110, 111	syl2an2r 681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
113	79, 112	pm2.61dane 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
114	113	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
115	114	orrd 859	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
116	115	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
117	116	rexlimdvva 3222	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
118	59, 117	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
119	118	ralrimivv 3113	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
120		disjors 5051	. . 3 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
121	119, 120	sylibr 233	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
122	46, 121	impbid1 224	1 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ⦋csb 3828   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-iun 4923  df-disj 5036

This theorem is referenced by: (None)