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Theorem disjxiun 5144
Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjxiun (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 5031 . . . . . 6 𝑦 𝑦𝐴 𝐵
2 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑦𝐶
31, 2nfdisjw 5126 . . . . 5 𝑦Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶
4 disjss1 5120 . . . . . 6 (𝐵 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑥𝐵 𝐶))
5 ssiun2 5051 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
64, 5syl11 33 . . . . 5 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦𝐴Disj 𝑥𝐵 𝐶))
73, 6ralrimi 3254 . . . 4 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶)
87a1i 11 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶))
9 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
10 ssiun2 5051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
11 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢𝐵
12 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑢 / 𝑦𝐵
13 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
1411, 12, 13cbviun 5040 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵
1510, 14sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1716ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
18 csbeq1 3910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑣𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
1918sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵))
2019, 15vtoclga 3576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝐴𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2221ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2311, 12, 13cbvdisj 5124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
2418disjor 5129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2523, 24sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
26 rsp2 3274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2827imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2928ord 864 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
3029impr 454 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
3130adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
32 disjiun 5135 . . . . . . . . . 10 ((Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
339, 17, 22, 31, 32syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
3433expr 456 . . . . . . . 8 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3534orrd 863 . . . . . . 7 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3635ralrimivva 3199 . . . . . 6 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3718iuneq1d 5023 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑣 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
3837disjor 5129 . . . . . 6 (Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3936, 38sylibr 234 . . . . 5 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
40 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑢 𝑥𝐵 𝐶
4112, 2nfiun 5027 . . . . . 6 𝑦 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
4213iuneq1d 5023 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑢 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4340, 41, 42cbvdisj 5124 . . . . 5 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4439, 43sylibr 234 . . . 4 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)
4544ex 412 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶))
468, 45jcad 512 . 2 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
4714eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
48 eliun 4999 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
4947, 48bitri 275 . . . . . . 7 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
50 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑣𝐵
51 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑣 / 𝑦𝐵
52 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
5350, 51, 52cbviun 5040 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵
5453eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵)
55 eliun 4999 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5654, 55bitri 275 . . . . . . 7 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5749, 56anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
58 reeanv 3226 . . . . . 6 (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
5957, 58bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
60 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
6112, 2nfdisjw 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
6213disjeq1d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6361, 62rspc 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐴 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6463impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
65 disjors 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6664, 65sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6766ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
69 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
70 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
7118adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
7270, 71eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)
7369, 72jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵))
74 rsp2 3274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
7574imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7668, 73, 75syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7776adantlrr 721 . . . . . . . . . . . 12 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7877ord 864 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7960, 78mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
80 ssiun2 5051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟𝐶
82 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑟 / 𝑥𝐶
83 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑟𝐶 = 𝑟 / 𝑥𝐶)
8481, 82, 83cbviun 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶
8580, 84sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
86 ssiun2 5051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶)
87 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑠𝐶
88 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑠 / 𝑥𝐶
89 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠𝐶 = 𝑠 / 𝑥𝐶)
9087, 88, 89cbviun 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶
9186, 90sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
92 ss2in 4252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9385, 91, 92syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9493ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
95 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 𝑥𝐵 𝐶
96 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 / 𝑦𝐵
9796, 2nfiun 5027 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶
98 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑦𝐵)
9998iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
10095, 97, 99cbvdisj 5124 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
101100biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
102101ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
103 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
104 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
105 csbeq1 3910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑢𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
106105iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑢 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
107 csbeq1 3910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑣𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
108107iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
109106, 108disji2 5131 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
110102, 103, 104, 109syl2an3an 1421 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
111 sseq0 4408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) ∧ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11294, 110, 111syl2an2r 685 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11379, 112pm2.61dane 3026 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
114113expr 456 . . . . . . . 8 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
115114orrd 863 . . . . . . 7 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
116115ex 412 . . . . . 6 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
117116rexlimdvva 3210 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
11859, 117biimtrid 242 . . . 4 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
119118ralrimivv 3197 . . 3 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
120 disjors 5130 . . 3 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
121119, 120sylibr 234 . 2 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
12246, 121impbid1 225 1 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  csb 3907  cin 3961  wss 3962  c0 4338   ciun 4995  Disj wdisj 5114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-iun 4997  df-disj 5115
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