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Theorem disjxiun 5054
Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjxiun (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4944 . . . . . 6 𝑦 𝑦𝐴 𝐵
2 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑦𝐶
31, 2nfdisjw 5034 . . . . 5 𝑦Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶
4 disjss1 5028 . . . . . 6 (𝐵 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑥𝐵 𝐶))
5 ssiun2 4962 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
64, 5syl11 33 . . . . 5 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦𝐴Disj 𝑥𝐵 𝐶))
73, 6ralrimi 3213 . . . 4 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶)
87a1i 11 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶))
9 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
10 ssiun2 4962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
11 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢𝐵
12 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑢 / 𝑦𝐵
13 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
1411, 12, 13cbviun 4952 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵
1510, 14sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1716ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
18 csbeq1 3883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑣𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
1918sseq1d 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵))
2019, 15vtoclga 3571 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝐴𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2221ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2311, 12, 13cbvdisj 5032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
2418disjor 5037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2523, 24sylbb 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
26 rsp2 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2827imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2928ord 858 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
3029impr 455 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
3130adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
32 disjiun 5044 . . . . . . . . . 10 ((Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
339, 17, 22, 31, 32syl13anc 1364 . . . . . . . . 9 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
3433expr 457 . . . . . . . 8 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3534orrd 857 . . . . . . 7 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3635ralrimivva 3188 . . . . . 6 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3718iuneq1d 4937 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑣 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
3837disjor 5037 . . . . . 6 (Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3936, 38sylibr 235 . . . . 5 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
40 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑢 𝑥𝐵 𝐶
4112, 2nfiun 4940 . . . . . 6 𝑦 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
4213iuneq1d 4937 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑢 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4340, 41, 42cbvdisj 5032 . . . . 5 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4439, 43sylibr 235 . . . 4 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)
4544ex 413 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶))
468, 45jcad 513 . 2 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
4714eleq2i 2901 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
48 eliun 4914 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
4947, 48bitri 276 . . . . . . 7 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
50 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑣𝐵
51 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑣 / 𝑦𝐵
52 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
5350, 51, 52cbviun 4952 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵
5453eleq2i 2901 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵)
55 eliun 4914 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5654, 55bitri 276 . . . . . . 7 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5749, 56anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
58 reeanv 3365 . . . . . 6 (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
5957, 58bitr4i 279 . . . . 5 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
60 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
6112, 2nfdisjw 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
6213disjeq1d 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6361, 62rspc 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐴 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6463impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
65 disjors 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6664, 65sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6766ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
69 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
70 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
7118adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
7270, 71eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)
7369, 72jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵))
74 rsp2 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
7574imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7668, 73, 75syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . 13 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7776adantlrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7877ord 858 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7960, 78mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
80 ssiun2 4962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶)
81 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟𝐶
82 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑟 / 𝑥𝐶
83 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑟𝐶 = 𝑟 / 𝑥𝐶)
8481, 82, 83cbviun 4952 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶
8580, 84sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
86 ssiun2 4962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶)
87 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑠𝐶
88 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑠 / 𝑥𝐶
89 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠𝐶 = 𝑠 / 𝑥𝐶)
9087, 88, 89cbviun 4952 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶
9186, 90sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
92 ss2in 4210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9385, 91, 92syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9493ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
95 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 𝑥𝐵 𝐶
96 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 / 𝑦𝐵
9796, 2nfiun 4940 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶
98 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑦𝐵)
9998iuneq1d 4937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
10095, 97, 99cbvdisj 5032 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
101100biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
102101ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
103 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
104 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
105 csbeq1 3883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑢𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
106105iuneq1d 4937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑢 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
107 csbeq1 3883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑣𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
108107iuneq1d 4937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
109106, 108disji2 5039 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
110102, 103, 104, 109syl2an3an 1414 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
111 sseq0 4350 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) ∧ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11294, 110, 111syl2an2r 681 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11379, 112pm2.61dane 3101 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
114113expr 457 . . . . . . . 8 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
115114orrd 857 . . . . . . 7 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
116115ex 413 . . . . . 6 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
117116rexlimdvva 3291 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
11859, 117syl5bi 243 . . . 4 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
119118ralrimivv 3187 . . 3 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
120 disjors 5038 . . 3 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
121119, 120sylibr 235 . 2 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
12246, 121impbid1 226 1 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  csb 3880  cin 3932  wss 3933  c0 4288   ciun 4910  Disj wdisj 5022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-iun 4912  df-disj 5023
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