Theorem disjxiun 5083

Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjxiun	⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4970	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
3	1, 2	nfdisjw 5065	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶
4		disjss1 5059	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
5		ssiun2 4991	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
6	4, 5	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
7	3, 6	ralrimi 3236	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
9		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
10		ssiun2 4991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
11		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
12		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
13		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
14	11, 12, 13	cbviun 4978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
15	10, 14	sseqtrrdi 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
18		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
19	18	sseq1d 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵))
20	19, 15	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
22	21	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
23	11, 12, 13	cbvdisj 5063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
24	18	disjor 5068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
25	23, 24	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
26		rsp2 3255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
29	28	ord 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
30	29	impr 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
31	30	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
32		disjiun 5074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
33	9, 17, 22, 31, 32	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
34	33	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
35	34	orrd 864	. . . . . . 7 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
36	35	ralrimivva 3181	. . . . . 6 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
37	18	iuneq1d 4962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
38	37	disjor 5068	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
39	36, 38	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
40		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
41	12, 2	nfiun 4966	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
42	13	iuneq1d 4962	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
43	40, 41, 42	cbvdisj 5063	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
44	39, 43	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
46	8, 45	jcad 512	. 2 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))
47	14	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
48		eliun 4938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
49	47, 48	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
50		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
51		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
52		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
53	50, 51, 52	cbviun 4978	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
54	53	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
55		eliun 4938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
56	54, 55	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
57	49, 56	anbi12i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
58		reeanv 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
59	57, 58	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
60	12, 2	nfdisjw 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
61	13	disjeq1d 5061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
62	60, 61	rspc 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
63	62	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
64		disjors 5069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
65	63, 64	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
66	65	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
68		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
69		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
70	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
71	69, 70	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
72	68, 71	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵))
73		rsp2 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
74	73	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
75	67, 72, 74	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
76	75	adantlrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
77		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
78	76, 77	orcnd 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
79		ssiun2 4991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
80		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑟𝐶
81		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
82		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → 𝐶 = ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
83	80, 81, 82	cbviun 4978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
84	79, 83	sseqtrrdi 3964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
85		ssiun2 4991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
86		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑠𝐶
87		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
88		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐶 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
89	86, 87, 88	cbviun 4978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
90	85, 89	sseqtrrdi 3964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
91		ss2in 4186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
92	84, 90, 91	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
93	92	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
94		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
95		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵
96	95, 2	nfiun 4966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶
97		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵)
98	97	iuneq1d 4962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
99	94, 96, 98	cbvdisj 5063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
100	99	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
101	100	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
102		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
103		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ≠ 𝑣 → 𝑢 ≠ 𝑣)
104		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
105	104	iuneq1d 4962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
106		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
107	106	iuneq1d 4962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
108	105, 107	disji2 5070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
109	101, 102, 103, 108	syl2an3an 1425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
110		sseq0 4344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) ∧ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
111	93, 109, 110	syl2an2r 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
112	78, 111	pm2.61dane 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
113	112	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
114	113	orrd 864	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
115	114	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
116	115	rexlimdvva 3195	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
117	59, 116	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
118	117	ralrimivv 3179	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
119		disjors 5069	. . 3 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
120	118, 119	sylibr 234	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
121	46, 120	impbid1 225	1 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ⦋csb 3838   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ ciun 4934  Disj wdisj 5053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-iun 4936  df-disj 5054

This theorem is referenced by: (None)