MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdss 20050
Description: Create a direct product by finding subgroups inside each factor of another direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdss.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
dprdss.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
dprdss.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdss.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
Assertion
Ref Expression
dprdss (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝐼

Proof of Theorem dprdss
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2736 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2736 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdss.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
5 dprdgrp 20026 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑇𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdss.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
84, 7dprddomcld 20022 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
9 dprdss.3 . . 3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10 dprdss.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
1110ralrimiva 3145 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
12 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑥))
13 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
1412, 13sseq12d 4016 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1514rspcv 3617 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1611, 15mpan9 506 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
17163ad2antr1 1188 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
184adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
197adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → dom 𝑇 = 𝐼)
20 simpr1 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝐼)
21 simpr2 1195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑦𝐼)
22 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
2318, 19, 20, 21, 22, 1dprdcntz 20029 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)))
244, 7dprdf2 20028 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2625, 21ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2827subgss 19146 . . . . . . 7 ((𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
30 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑦))
31 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
3230, 31sseq12d 4016 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)))
3311adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
3432, 33, 21rspcdva 3622 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦))
3527, 1cntz2ss 19354 . . . . . 6 (((𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3629, 34, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3723, 36sstrd 3993 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3817, 37sstrd 3993 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
396adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
4027subgacs 19180 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
41 acsmre 17696 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
43 difss 4135 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
4411adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
45 ssralv 4051 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘)))
4643, 44, 45mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
47 ss2iun 5009 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
499adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
50 ffun 6738 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
51 funiunfv 7269 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5324adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
54 ffun 6738 . . . . . . . 8 (𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑇)
55 funiunfv 7269 . . . . . . . 8 (Fun 𝑇 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5748, 52, 563sstr3d 4037 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
58 imassrn 6088 . . . . . . . 8 (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑇
5953frnd 6743 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
60 mresspw 17636 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6142, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6259, 61sstrd 3993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6358, 62sstrid 3994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
64 sspwuni 5099 . . . . . . 7 ((𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6563, 64sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6642, 3, 57, 65mrcssd 17668 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
67 ss2in 4244 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥) ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
6816, 66, 67syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
694adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑇)
707adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → dom 𝑇 = 𝐼)
71 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
7269, 70, 71, 2, 3dprddisj 20030 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
7368, 72sseqtrd 4019 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
741, 2, 3, 6, 8, 9, 38, 73dmdprdd 20020 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
754a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑇))
76 ss2ixp 8951 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
7711, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
78 rabss2 4077 . . . . . 6 (X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) → {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)})
79 ssrexv 4052 . . . . . 6 ({X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8077, 78, 793syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8175, 80anim12d 609 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
82 fdm 6744 . . . . 5 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
83 eqid 2736 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
842, 83eldprd 20025 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
859, 82, 843syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
86 eqid 2736 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
872, 86eldprd 20025 . . . . 5 (dom 𝑇 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
887, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
8981, 85, 883imtr4d 294 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇)))
9089ssrdv 3988 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇))
9174, 90jca 511 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   cuni 4906   ciun 4990   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ran crn 5685  cima 5687  Fun wfun 6554  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Xcixp 8938   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Moorecmre 17626  mrClscmrc 17627  ACScacs 17629  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  Cntzccntz 19334   DProd cdprd 20014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-dprd 20016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator