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Theorem dprdss 19894
Description: Create a direct product by finding subgroups inside each factor of another direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdss.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
dprdss.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
dprdss.3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
dprdss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
dprdss (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑇)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜   π‘˜,𝐼
Proof of Theorem dprdss
Dummy variables 𝑓 π‘Ž β„Ž π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . 3 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
4 dprdss.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
5 dprdgrp 19870 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑇 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
7 dprdss.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
84, 7dprddomcld 19866 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
9 dprdss.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
10 dprdss.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
1110ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
12 fveq2 6889 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘₯))
13 fveq2 6889 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = (π‘‡β€˜π‘₯))
1412, 13sseq12d 4015 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) ↔ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯)))
1514rspcv 3609 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯)))
1611, 15mpan9 508 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯))
17163ad2antr1 1189 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯))
184adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
197adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
20 simpr1 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
21 simpr2 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
22 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
2318, 19, 20, 21, 22, 1dprdcntz 19873 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
244, 7dprdf2 19872 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
2625, 21ffvelcdmd 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
27 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2827subgss 19002 . . . . . . 7 ((π‘‡β€˜π‘¦) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
30 fveq2 6889 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘¦))
31 fveq2 6889 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3230, 31sseq12d 4015 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) ↔ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘‡β€˜π‘¦)))
3311adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
3432, 33, 21rspcdva 3614 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘‡β€˜π‘¦))
3527, 1cntz2ss 19194 . . . . . 6 (((π‘‡β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘‡β€˜π‘¦)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
3629, 34, 35syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
3723, 36sstrd 3992 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
3817, 37sstrd 3992 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
396adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4027subgacs 19036 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
41 acsmre 17593 . . . . . . 7 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
43 difss 4131 . . . . . . . . 9 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
4411adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
45 ssralv 4050 . . . . . . . . 9 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜)))
4643, 44, 45mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
47 ss2iun 5015 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜))
499adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
50 ffun 6718 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ Fun 𝑆)
51 funiunfv 7244 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5324adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
54 ffun 6718 . . . . . . . 8 (𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ Fun 𝑇)
55 funiunfv 7244 . . . . . . . 8 (Fun 𝑇 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5748, 52, 563sstr3d 4028 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
58 imassrn 6069 . . . . . . . 8 (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† ran 𝑇
5953frnd 6723 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑇 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
60 mresspw 17533 . . . . . . . . . 10 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
6142, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
6259, 61sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑇 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
6358, 62sstrid 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
64 sspwuni 5103 . . . . . . 7 ((𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6563, 64sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6642, 3, 57, 65mrcssd 17565 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
67 ss2in 4236 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘‡β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
6816, 66, 67syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘‡β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
694adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
707adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
71 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
7269, 70, 71, 2, 3dprddisj 19874 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
7368, 72sseqtrd 4022 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† {(0gβ€˜πΊ)})
741, 2, 3, 6, 8, 9, 38, 73dmdprdd 19864 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
754a1d 25 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺dom DProd 𝑇))
76 ss2ixp 8901 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜))
7711, 76syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜))
78 rabss2 4075 . . . . . 6 (Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} βŠ† {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
79 ssrexv 4051 . . . . . 6 ({β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} βŠ† {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
8077, 78, 793syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
8175, 80anim12d 610 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β†’ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
82 fdm 6724 . . . . 5 (𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
83 eqid 2733 . . . . . 6 {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
842, 83eldprd 19869 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
859, 82, 843syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
86 eqid 2733 . . . . . 6 {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
872, 86eldprd 19869 . . . . 5 (dom 𝑇 = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
887, 87syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
8981, 85, 883imtr4d 294 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑇)))
9089ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑇))
9174, 90jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Xcixp 8888   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17141  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  Moorecmre 17523  mrClscmrc 17524  ACScacs 17526  Grpcgrp 18816  SubGrpcsubg 18995  Cntzccntz 19174   DProd cdprd 19858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-dprd 19860
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