MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdss 20064
Description: Create a direct product by finding subgroups inside each factor of another direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdss.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
dprdss.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
dprdss.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdss.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
Assertion
Ref Expression
dprdss (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝐼

Proof of Theorem dprdss
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2735 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdss.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
5 dprdgrp 20040 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑇𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdss.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
84, 7dprddomcld 20036 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
9 dprdss.3 . . 3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10 dprdss.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
1110ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
12 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑥))
13 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
1412, 13sseq12d 4029 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1514rspcv 3618 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1611, 15mpan9 506 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
17163ad2antr1 1187 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
184adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
197adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → dom 𝑇 = 𝐼)
20 simpr1 1193 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝐼)
21 simpr2 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑦𝐼)
22 simpr3 1195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
2318, 19, 20, 21, 22, 1dprdcntz 20043 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)))
244, 7dprdf2 20042 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2625, 21ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2827subgss 19158 . . . . . . 7 ((𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
30 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑦))
31 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
3230, 31sseq12d 4029 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)))
3311adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
3432, 33, 21rspcdva 3623 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦))
3527, 1cntz2ss 19366 . . . . . 6 (((𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3629, 34, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3723, 36sstrd 4006 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3817, 37sstrd 4006 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
396adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
4027subgacs 19192 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
41 acsmre 17697 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
43 difss 4146 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
4411adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
45 ssralv 4064 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘)))
4643, 44, 45mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
47 ss2iun 5015 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
499adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
50 ffun 6740 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
51 funiunfv 7268 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5324adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
54 ffun 6740 . . . . . . . 8 (𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑇)
55 funiunfv 7268 . . . . . . . 8 (Fun 𝑇 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5748, 52, 563sstr3d 4042 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
58 imassrn 6091 . . . . . . . 8 (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑇
5953frnd 6745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
60 mresspw 17637 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6142, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6259, 61sstrd 4006 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6358, 62sstrid 4007 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
64 sspwuni 5105 . . . . . . 7 ((𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6563, 64sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6642, 3, 57, 65mrcssd 17669 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
67 ss2in 4253 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥) ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
6816, 66, 67syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
694adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑇)
707adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → dom 𝑇 = 𝐼)
71 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
7269, 70, 71, 2, 3dprddisj 20044 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
7368, 72sseqtrd 4036 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
741, 2, 3, 6, 8, 9, 38, 73dmdprdd 20034 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
754a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑇))
76 ss2ixp 8949 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
7711, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
78 rabss2 4088 . . . . . 6 (X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) → {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)})
79 ssrexv 4065 . . . . . 6 ({X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8077, 78, 793syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8175, 80anim12d 609 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
82 fdm 6746 . . . . 5 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
83 eqid 2735 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
842, 83eldprd 20039 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
859, 82, 843syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
86 eqid 2735 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
872, 86eldprd 20039 . . . . 5 (dom 𝑇 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
887, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
8981, 85, 883imtr4d 294 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇)))
9089ssrdv 4001 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇))
9174, 90jca 511 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628  ACScacs 17630  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346   DProd cdprd 20028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-dprd 20030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator