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Theorem dprdss 19947
Description: Create a direct product by finding subgroups inside each factor of another direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdss.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
dprdss.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
dprdss.3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
dprdss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
dprdss (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑇)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜   π‘˜,𝐼
Proof of Theorem dprdss
Dummy variables 𝑓 π‘Ž β„Ž π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
2 eqid 2731 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2731 . . 3 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
4 dprdss.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
5 dprdgrp 19923 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑇 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
7 dprdss.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
84, 7dprddomcld 19919 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
9 dprdss.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
10 dprdss.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
1110ralrimiva 3145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
12 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘₯))
13 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = (π‘‡β€˜π‘₯))
1412, 13sseq12d 4015 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) ↔ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯)))
1514rspcv 3608 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯)))
1611, 15mpan9 506 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯))
17163ad2antr1 1187 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯))
184adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
197adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
20 simpr1 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
21 simpr2 1194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
22 simpr3 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
2318, 19, 20, 21, 22, 1dprdcntz 19926 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
244, 7dprdf2 19925 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
2625, 21ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
27 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2827subgss 19050 . . . . . . 7 ((π‘‡β€˜π‘¦) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
30 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘¦))
31 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘‡β€˜π‘˜) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3230, 31sseq12d 4015 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) ↔ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘‡β€˜π‘¦)))
3311adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
3432, 33, 21rspcdva 3613 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘‡β€˜π‘¦))
3527, 1cntz2ss 19247 . . . . . 6 (((π‘‡β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† (π‘‡β€˜π‘¦)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
3629, 34, 35syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
3723, 36sstrd 3992 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
3817, 37sstrd 3992 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
396adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4027subgacs 19084 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
41 acsmre 17603 . . . . . . 7 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
43 difss 4131 . . . . . . . . 9 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
4411adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
45 ssralv 4050 . . . . . . . . 9 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜)))
4643, 44, 45mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜))
47 ss2iun 5015 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜))
499adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
50 ffun 6720 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ Fun 𝑆)
51 funiunfv 7250 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘†β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5324adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
54 ffun 6720 . . . . . . . 8 (𝑇:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ Fun 𝑇)
55 funiunfv 7250 . . . . . . . 8 (Fun 𝑇 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})(π‘‡β€˜π‘˜) = βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5748, 52, 563sstr3d 4028 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
58 imassrn 6070 . . . . . . . 8 (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† ran 𝑇
5953frnd 6725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑇 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
60 mresspw 17543 . . . . . . . . . 10 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
6142, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
6259, 61sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑇 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
6358, 62sstrid 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
64 sspwuni 5103 . . . . . . 7 ((𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6563, 64sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6642, 3, 57, 65mrcssd 17575 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
67 ss2in 4236 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘₯) βŠ† (π‘‡β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘‡β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
6816, 66, 67syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘‡β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
694adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
707adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ dom 𝑇 = 𝐼)
71 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
7269, 70, 71, 2, 3dprddisj 19927 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑇 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
7368, 72sseqtrd 4022 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† {(0gβ€˜πΊ)})
741, 2, 3, 6, 8, 9, 38, 73dmdprdd 19917 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
754a1d 25 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺dom DProd 𝑇))
76 ss2ixp 8910 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜))
7711, 76syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜))
78 rabss2 4075 . . . . . 6 (Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) β†’ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} βŠ† {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
79 ssrexv 4051 . . . . . 6 ({β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} βŠ† {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
8077, 78, 793syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
8175, 80anim12d 608 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β†’ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
82 fdm 6726 . . . . 5 (𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
83 eqid 2731 . . . . . 6 {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
842, 83eldprd 19922 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
859, 82, 843syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
86 eqid 2731 . . . . . 6 {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
872, 86eldprd 19922 . . . . 5 (dom 𝑇 = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
887, 87syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 (π‘‡β€˜π‘˜) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘Ž = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
8981, 85, 883imtr4d 294 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (𝐺 DProd 𝑇)))
9089ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑇))
9174, 90jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† (𝐺 DProd 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8897   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17151  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  Moorecmre 17533  mrClscmrc 17534  ACScacs 17536  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19043  Cntzccntz 19227   DProd cdprd 19911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-dprd 19913
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