MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdss 19416
Description: Create a direct product by finding subgroups inside each factor of another direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdss.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
dprdss.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
dprdss.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdss.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
Assertion
Ref Expression
dprdss (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝐼

Proof of Theorem dprdss
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2737 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2737 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdss.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
5 dprdgrp 19392 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑇𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdss.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
84, 7dprddomcld 19388 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
9 dprdss.3 . . 3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10 dprdss.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
1110ralrimiva 3105 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
12 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑥))
13 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
1412, 13sseq12d 3934 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1514rspcv 3532 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1611, 15mpan9 510 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
17163ad2antr1 1190 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
184adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
197adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → dom 𝑇 = 𝐼)
20 simpr1 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝐼)
21 simpr2 1197 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑦𝐼)
22 simpr3 1198 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
2318, 19, 20, 21, 22, 1dprdcntz 19395 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)))
244, 7dprdf2 19394 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2524adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2625, 21ffvelrnd 6905 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2827subgss 18544 . . . . . . 7 ((𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
30 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑦))
31 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
3230, 31sseq12d 3934 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)))
3311adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
3432, 33, 21rspcdva 3539 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦))
3527, 1cntz2ss 18727 . . . . . 6 (((𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3629, 34, 35syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3723, 36sstrd 3911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3817, 37sstrd 3911 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
396adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
4027subgacs 18577 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
41 acsmre 17155 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
43 difss 4046 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
4411adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
45 ssralv 3967 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘)))
4643, 44, 45mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
47 ss2iun 4922 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
499adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
50 ffun 6548 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
51 funiunfv 7061 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5324adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
54 ffun 6548 . . . . . . . 8 (𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑇)
55 funiunfv 7061 . . . . . . . 8 (Fun 𝑇 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5748, 52, 563sstr3d 3947 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
58 imassrn 5940 . . . . . . . 8 (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑇
5953frnd 6553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
60 mresspw 17095 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6142, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6259, 61sstrd 3911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6358, 62sstrid 3912 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
64 sspwuni 5008 . . . . . . 7 ((𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6563, 64sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6642, 3, 57, 65mrcssd 17127 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
67 ss2in 4151 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥) ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
6816, 66, 67syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
694adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑇)
707adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → dom 𝑇 = 𝐼)
71 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
7269, 70, 71, 2, 3dprddisj 19396 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
7368, 72sseqtrd 3941 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
741, 2, 3, 6, 8, 9, 38, 73dmdprdd 19386 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
754a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑇))
76 ss2ixp 8591 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
7711, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
78 rabss2 3991 . . . . . 6 (X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) → {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)})
79 ssrexv 3968 . . . . . 6 ({X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8077, 78, 793syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8175, 80anim12d 612 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
82 fdm 6554 . . . . 5 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
83 eqid 2737 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
842, 83eldprd 19391 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
859, 82, 843syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
86 eqid 2737 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
872, 86eldprd 19391 . . . . 5 (dom 𝑇 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
887, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
8981, 85, 883imtr4d 297 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇)))
9089ssrdv 3907 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇))
9174, 90jca 515 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  cdif 3863  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   cuni 4819   ciun 4904   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ran crn 5552  cima 5554  Fun wfun 6374  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  Xcixp 8578   finSupp cfsupp 8985  Basecbs 16760  0gc0g 16944   Σg cgsu 16945  Moorecmre 17085  mrClscmrc 17086  ACScacs 17088  Grpcgrp 18365  SubGrpcsubg 18537  Cntzccntz 18709   DProd cdprd 19380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-dprd 19382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator