Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdss 19165
 Description: Create a direct product by finding subgroups inside each factor of another direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdss.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
dprdss.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
dprdss.3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdss.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
Assertion
Ref Expression
dprdss (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝐼

Proof of Theorem dprdss
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2798 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2798 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdss.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
5 dprdgrp 19141 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑇𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdss.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐼)
84, 7dprddomcld 19137 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
9 dprdss.3 . . 3 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10 dprdss.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
1110ralrimiva 3149 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
12 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑥))
13 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
1412, 13sseq12d 3950 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1514rspcv 3567 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥)))
1611, 15mpan9 510 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
17163ad2antr1 1185 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥))
184adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
197adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → dom 𝑇 = 𝐼)
20 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝐼)
21 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑦𝐼)
22 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
2318, 19, 20, 21, 22, 1dprdcntz 19144 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)))
244, 7dprdf2 19143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2524adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2625, 21ffvelrnd 6839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2827subgss 18293 . . . . . . 7 ((𝑇𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺))
30 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑦))
31 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
3230, 31sseq12d 3950 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) ↔ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)))
3311adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
3432, 33, 21rspcdva 3574 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦))
3527, 1cntz2ss 18476 . . . . . 6 (((𝑇𝑦) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑆𝑦) ⊆ (𝑇𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3629, 34, 35syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑇𝑦)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3723, 36sstrd 3927 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑇𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
3817, 37sstrd 3927 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)))
396adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
4027subgacs 18326 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
41 acsmre 16935 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
43 difss 4062 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
4411adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
45 ssralv 3983 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘)))
4643, 44, 45mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘))
47 ss2iun 4903 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) ⊆ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘))
499adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
50 ffun 6498 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑆)
51 funiunfv 6995 . . . . . . . 8 (Fun 𝑆 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑆𝑘) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5324adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
54 ffun 6498 . . . . . . . 8 (𝑇:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → Fun 𝑇)
55 funiunfv 6995 . . . . . . . 8 (Fun 𝑇 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})(𝑇𝑘) = (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5748, 52, 563sstr3d 3963 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
58 imassrn 5911 . . . . . . . 8 (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝑇
5953frnd 6502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
60 mresspw 16875 . . . . . . . . . 10 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6142, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6259, 61sstrd 3927 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ran 𝑇 ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
6358, 62sstrid 3928 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
64 sspwuni 4989 . . . . . . 7 ((𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6563, 64sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (Base‘𝐺))
6642, 3, 57, 65mrcssd 16907 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
67 ss2in 4166 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ⊆ (𝑇𝑥) ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
6816, 66, 67syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
694adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑇)
707adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → dom 𝑇 = 𝐼)
71 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
7269, 70, 71, 2, 3dprddisj 19145 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑇𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑇 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
7368, 72sseqtrd 3957 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
741, 2, 3, 6, 8, 9, 38, 73dmdprdd 19135 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
754a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑇))
76 ss2ixp 8475 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ (𝑇𝑘) → X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
7711, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘))
78 rabss2 4007 . . . . . 6 (X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ⊆ X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) → {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)})
79 ssrexv 3984 . . . . . 6 ({X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} ⊆ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8077, 78, 793syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8175, 80anim12d 611 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
82 fdm 6503 . . . . 5 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
83 eqid 2798 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
842, 83eldprd 19140 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
859, 82, 843syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑆𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
86 eqid 2798 . . . . . 6 {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}
872, 86eldprd 19140 . . . . 5 (dom 𝑇 = 𝐼 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
887, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑘𝐼 (𝑇𝑘) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑎 = (𝐺 Σg 𝑓))))
8981, 85, 883imtr4d 297 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝐺 DProd 𝑇)))
9089ssrdv 3923 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇))
9174, 90jca 515 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3442   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  ∪ cuni 4804  ∪ ciun 4885   class class class wbr 5034  dom cdm 5523  ran crn 5524   “ cima 5526  Fun wfun 6326  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Xcixp 8462   finSupp cfsupp 8835  Basecbs 16495  0gc0g 16725   Σg cgsu 16726  Moorecmre 16865  mrClscmrc 16866  ACScacs 16868  Grpcgrp 18115  SubGrpcsubg 18286  Cntzccntz 18458   DProd cdprd 19129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-subg 18289  df-cntz 18460  df-dprd 19131 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator