MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbunfip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbunfip 21886
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 8490 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
21notbid 307 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
3 3ioran 1095 . . . 4 (¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
4 df-3an 1073 . . . 4 ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
53, 4bitr2i 265 . . 3 (((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
62, 5syl6bbr 278 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
7 nesym 2999 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑥𝑦))
87ralbii 3129 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺) ¬ ∅ = (𝑥𝑦))
9 ralnex 3141 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺) ¬ ∅ = (𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
108, 9bitri 264 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
1110ralbii 3129 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
12 ralnex 3141 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
1311, 12bitri 264 . . 3 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
14 fbasfip 21885 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹))
15 fbasfip 21885 . . . . 5 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺))
1614, 15anim12i 600 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)))
1716biantrurd 522 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
1813, 17syl5rbb 273 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
19 ssfii 8479 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘𝐹))
20 ssralv 3815 . . . . 5 (𝐹 ⊆ (fi‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
22 ssfii 8479 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐺 ⊆ (fi‘𝐺))
23 ssralv 3815 . . . . . 6 (𝐺 ⊆ (fi‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2524ralimdv 3112 . . . 4 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → (∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2621, 25sylan9 497 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
27 ineq1 3958 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦) = (𝑧𝑦))
2827neeq1d 3002 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑦) ≠ ∅))
29 ineq2 3959 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑤))
3029neeq1d 3002 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑤) ≠ ∅))
3128, 30cbvral2v 3328 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅)
32 fbssfi 21854 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥)
33 fbssfi 21854 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺)) → ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦)
34 r19.29 3220 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐹 (∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥))
35 r19.29 3220 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → ∃𝑤𝐺 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦))
36 ss2in 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
37 sseq2 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝑦) = ∅ → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧𝑤) ⊆ ∅))
38 ss0 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝑤) ⊆ ∅ → (𝑧𝑤) = ∅)
3937, 38syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑦) = ∅ → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) → (𝑧𝑤) = ∅))
4036, 39syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑧𝑤) = ∅))
4140necon3d 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4241ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑥 → (𝑤𝑦 → ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅)))
4342com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑤𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅)))
4443imp 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4544rexlimivw 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑤𝐺 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4635, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4746impancom 439 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4847rexlimivw 3177 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐹 (∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4934, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5049expimpd 441 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5150com12 32 . . . . . . 7 ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5232, 33, 51syl2an 583 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (fi‘𝐹)) ∧ (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺))) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5352an4s 639 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺))) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5453ralrimdvva 3123 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
5531, 54syl5bi 232 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
5626, 55impbid 202 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
576, 18, 563bitrd 294 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  cfv 6029  ficfi 8470  fBascfbas 19942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-fin 8111  df-fi 8471  df-fbas 19951
This theorem is referenced by:  isufil2  21925  ufileu  21936  filufint  21937  fmfnfm  21975  hausflim  21998  flimclslem  22001  fclsfnflim  22044  flimfnfcls  22045
  Copyright terms: Public domain W3C validator