MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbunfip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbunfip 23220
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 9366 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
21notbid 317 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
3 3ioran 1106 . . . 4 (¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
4 df-3an 1089 . . . 4 ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
53, 4bitr2i 275 . . 3 (((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
62, 5bitr4di 288 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
7 nesym 3000 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑥𝑦))
87ralbii 3096 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺) ¬ ∅ = (𝑥𝑦))
9 ralnex 3075 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺) ¬ ∅ = (𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
108, 9bitri 274 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
1110ralbii 3096 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
12 ralnex 3075 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
1311, 12bitri 274 . . 3 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
14 fbasfip 23219 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹))
15 fbasfip 23219 . . . . 5 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺))
1614, 15anim12i 613 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)))
1716biantrurd 533 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
1813, 17bitr2id 283 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
19 ssfii 9355 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘𝐹))
20 ssralv 4010 . . . . 5 (𝐹 ⊆ (fi‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
22 ssfii 9355 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐺 ⊆ (fi‘𝐺))
23 ssralv 4010 . . . . . 6 (𝐺 ⊆ (fi‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2524ralimdv 3166 . . . 4 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → (∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2621, 25sylan9 508 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
27 ineq1 4165 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦) = (𝑧𝑦))
2827neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑦) ≠ ∅))
29 ineq2 4166 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑤))
3029neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑤) ≠ ∅))
3128, 30cbvral2vw 3227 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅)
32 fbssfi 23188 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥)
33 fbssfi 23188 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺)) → ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦)
34 r19.29 3117 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐹 (∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥))
35 r19.29 3117 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → ∃𝑤𝐺 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦))
36 ss2in 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
37 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝑦) = ∅ → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧𝑤) ⊆ ∅))
38 ss0 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝑤) ⊆ ∅ → (𝑧𝑤) = ∅)
3937, 38syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑦) = ∅ → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) → (𝑧𝑤) = ∅))
4036, 39syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑧𝑤) = ∅))
4140necon3d 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4241ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑥 → (𝑤𝑦 → ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅)))
4342com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑤𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅)))
4443imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4544rexlimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑤𝐺 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4635, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4746impancom 452 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4847rexlimivw 3148 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐹 (∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4934, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5049expimpd 454 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5150com12 32 . . . . . . 7 ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5232, 33, 51syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (fi‘𝐹)) ∧ (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺))) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5352an4s 658 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺))) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5453ralrimdvva 3203 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
5531, 54biimtrid 241 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
5626, 55impbid 211 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
576, 18, 563bitrd 304 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  cfv 6496  ficfi 9346  fBascfbas 20784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9347  df-fbas 20793
This theorem is referenced by:  isufil2  23259  ufileu  23270  filufint  23271  fmfnfm  23309  hausflim  23332  flimclslem  23335  fclsfnflim  23378  flimfnfcls  23379
  Copyright terms: Public domain W3C validator