Theorem ssrind 4185

Description: Add right intersection to subclass relation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrind.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ssrind	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem ssrind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrind.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssrin 4183	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-v 3432  df-in 3897  df-ss 3907

This theorem is referenced by:  fictb  10157  isacs1i  17614  rescabs  17791  lsmdisj  19647  dmdprdsplit2lem  20013  rhmsscrnghm  20633  rngcresringcat  20637  acsfn1p  20767  obselocv  21718  restbas  23133  neitr  23155  restcls  23156  restntr  23157  nrmsep  23332  cldllycmp  23470  fclsneii  23992  tsmsres  24119  trcfilu  24268  metdseq0  24830  iundisj2  25526  uniioombllem3  25562  ppisval  27081  ppisval2  27082  chtwordi  27133  ppiwordi  27139  chpub  27197  chebbnd1lem1  27446  mdbr2  32382  mdslj1i  32405  mdsl2i  32408  mdslmd1lem1  32411  mdslmd3i  32418  mdexchi  32421  sumdmdlem  32504  iundisj2f  32675  iundisj2fi  32885  cycpmco2f1  33200  tocyccntz  33220  esumrnmpt2  34228  bnj1177  35164  sstotbnd2  38109  lcvexchlem5  39498  pnonsingN  40393  dochnoncon  41851  eldioph2lem2  43207  limsupres  46151  limsupresxr  46212  liminfresxr  46213  liminflelimsuplem  46221  ssdisjd  49295