MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1b 20020
Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1b (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1b
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2727 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2727 . 2 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 ablfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablgrp 19733 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 ablfac1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
8 prmex 16641 . . . 4 ℙ ∈ V
98ssex 5315 . . 3 (𝐴 ⊆ ℙ → 𝐴 ∈ V)
107, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
114adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
127sselda 3978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℙ)
13 prmnn 16638 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 ablfac1.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
1615grpbn0 18916 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
176, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
18 ablfac1.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
19 hashnncl 14351 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2117, 20mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2312, 22pccld 16812 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2414, 23nnexpcld 14233 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12609 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
26 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
2726, 15oddvdssubg 19803 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2811, 25, 27syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑝𝐴) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 ablfac1.s . . 3 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
3028, 29fmptd 7118 . 2 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
314adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ Abel)
3230adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
33 simpr1 1192 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑎𝐴)
3432, 33ffvelcdmd 7089 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐺))
35 simpr2 1193 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑏𝐴)
3632, 35ffvelcdmd 7089 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑏) ∈ (SubGrp‘𝐺))
371, 31, 34, 36ablcntzd 19805 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑎) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑏)))
38 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑎𝑝 = 𝑎)
39 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑎 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))
4038, 39oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑎 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))
4140breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑎 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))
4241rabbidv 3435 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑎 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4315fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
4443rabex 5328 . . . . . . 7 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
4542, 29, 44fvmpt3i 7004 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → (𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4645adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
47 eqimss 4036 . . . . 5 ((𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} → (𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4846, 47syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
494adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
50 eqid 2727 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5150subgacs 19109 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
52 acsmre 17625 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5349, 5, 51, 524syl 19 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
54 df-ima 5685 . . . . . . 7 (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) = ran (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎}))
557sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℙ)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎 ∈ ℙ)
5721ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
58 pcdvds 16826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
607ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ⊆ ℙ)
61 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) → 𝑝𝐴)
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝐴)
6360, 62sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℙ)
64 pcdvds 16826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
6563, 57, 64syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
66 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))
67 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))
6815, 26, 29, 4, 18, 7, 66, 67ablfac1lem 20018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝐴) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))))
6968simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
7069simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7271nnzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7363, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℕ)
7463, 57pccld 16812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
7573, 74nnexpcld 14233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7675nnzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7757nnzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
78 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) → 𝑝𝑎)
7978ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝑎)
8079necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎𝑝)
81 prmrp 16676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑎𝑝))
8256, 63, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑎𝑝))
8380, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎 gcd 𝑝) = 1)
84 prmz 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℙ → 𝑎 ∈ ℤ)
8556, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
86 prmz 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8763, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℤ)
8856, 57pccld 16812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
89 rpexp12i 16689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1))
9085, 87, 88, 74, 89syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1))
9183, 90mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1)
92 coprmdvds2 16618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵)))
9372, 76, 77, 91, 92syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵)))
9459, 65, 93mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵))
9568simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9794, 96breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9869simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
10099nnzd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ)
10171nnne0d 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ≠ 0)
102 dvdscmulr 16255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ≠ 0)) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10376, 100, 72, 101, 102syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10497, 103mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))
10515, 26odcl 19484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
107106nn0zd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
108 dvdstr 16264 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
109107, 76, 100, 108syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
110104, 109mpan2d 693 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
111110ss2rabdv 4069 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
11244elpw 4602 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ↔ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
113111, 112sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
11429reseq1i 5975 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎}))
115 difss 4127 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ {𝑎}) ⊆ 𝐴
116 resmpt 6035 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ {𝑎}) ⊆ 𝐴 → ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
118114, 117eqtri 2755 . . . . . . . . 9 (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
119113, 118fmptd 7118 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})):(𝐴 ∖ {𝑎})⟶𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
120119frnd 6724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → ran (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12154, 120eqsstrid 4026 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
122 sspwuni 5097 . . . . . 6 ((𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ↔ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
123121, 122sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12498nnzd 12609 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ)
12526, 15oddvdssubg 19803 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
12649, 124, 125syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
1273mrcsscl 17593 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12853, 123, 126, 127syl3anc 1369 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
129 ss2in 4232 . . . 4 (((𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}))
13048, 128, 129syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}))
131 eqid 2727 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))}
132 eqid 2727 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}
13368simp2d 1141 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
134 eqid 2727 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
13515, 26, 131, 132, 49, 70, 98, 133, 95, 2, 134ablfacrp 20016 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → (({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = {(0g𝐺)} ∧ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} (LSSum‘𝐺){𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = 𝐵))
136135simpld 494 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = {(0g𝐺)})
137130, 136sseqtrd 4018 . 2 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ {(0g𝐺)})
1381, 2, 3, 6, 10, 30, 37, 137dmdprdd 19949 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  {crab 3427  Vcvv 3469  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   cuni 4903   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  cres 5674  cima 5675  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  0cc0 11132  1c1 11133   · cmul 11137   / cdiv 11895  cn 12236  0cn0 12496  cz 12582  cexp 14052  chash 14315  cdvds 16224   gcd cgcd 16462  cprime 16635   pCnt cpc 16798  Basecbs 17173  0gc0g 17414  Moorecmre 17555  mrClscmrc 17556  ACScacs 17558  Grpcgrp 18883  SubGrpcsubg 19068  Cntzccntz 19259  odcod 19472  LSSumclsm 19582  Abelcabl 19729   DProd cdprd 19943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-eqg 19073  df-cntz 19261  df-od 19476  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-dprd 19945
This theorem is referenced by:  ablfac1c  20021  ablfac1eu  20023  ablfaclem2  20036  ablfaclem3  20037
  Copyright terms: Public domain W3C validator