MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1b 18913
Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1b (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1b
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2797 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2797 . 2 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 ablfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablgrp 18642 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 ablfac1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
8 prmex 15854 . . . 4 ℙ ∈ V
98ssex 5123 . . 3 (𝐴 ⊆ ℙ → 𝐴 ∈ V)
107, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
114adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
127sselda 3895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℙ)
13 prmnn 15851 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 ablfac1.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
1615grpbn0 17894 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
176, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
18 ablfac1.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
19 hashnncl 13581 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2117, 20mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2312, 22pccld 16020 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2414, 23nnexpcld 13460 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
2524nnzd 11940 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
26 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
2726, 15oddvdssubg 18702 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2811, 25, 27syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑝𝐴) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 ablfac1.s . . 3 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
3028, 29fmptd 6748 . 2 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
314adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ Abel)
3230adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
33 simpr1 1187 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑎𝐴)
3432, 33ffvelrnd 6724 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐺))
35 simpr2 1188 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑏𝐴)
3632, 35ffvelrnd 6724 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑏) ∈ (SubGrp‘𝐺))
371, 31, 34, 36ablcntzd 18704 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑎) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑏)))
38 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑎𝑝 = 𝑎)
39 oveq1 7030 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑎 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))
4038, 39oveq12d 7041 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑎 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))
4140breq2d 4980 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑎 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))
4241rabbidv 3428 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑎 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4315fvexi 6559 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
4443rabex 5133 . . . . . . 7 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
4542, 29, 44fvmpt3i 6647 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → (𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4645adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
47 eqimss 3950 . . . . 5 ((𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} → (𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4846, 47syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
494adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
50 eqid 2797 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5150subgacs 18072 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
52 acsmre 16756 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5349, 5, 51, 524syl 19 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
54 df-ima 5463 . . . . . . 7 (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) = ran (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎}))
557sselda 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℙ)
5655ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎 ∈ ℙ)
5721ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
58 pcdvds 16033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
607ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ⊆ ℙ)
61 eldifi 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) → 𝑝𝐴)
6261ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝐴)
6360, 62sseldd 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℙ)
64 pcdvds 16033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
6563, 57, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
66 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))
67 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))
6815, 26, 29, 4, 18, 7, 66, 67ablfac1lem 18911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝐴) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))))
6968simp1d 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
7069simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7170ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7271nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7363, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℕ)
7463, 57pccld 16020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
7573, 74nnexpcld 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7675nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7757nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
78 eldifsni 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) → 𝑝𝑎)
7978ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝑎)
8079necomd 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎𝑝)
81 prmrp 15889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑎𝑝))
8256, 63, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑎𝑝))
8380, 82mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎 gcd 𝑝) = 1)
84 prmz 15852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℙ → 𝑎 ∈ ℤ)
8556, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
86 prmz 15852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8763, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℤ)
8856, 57pccld 16020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
89 rpexp12i 15899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1))
9085, 87, 88, 74, 89syl112anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1))
9183, 90mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1)
92 coprmdvds2 15831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵)))
9372, 76, 77, 91, 92syl31anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵)))
9459, 65, 93mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵))
9568simp3d 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9695ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9794, 96breqtrd 4994 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9869simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
9998ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
10099nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ)
10171nnne0d 11541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ≠ 0)
102 dvdscmulr 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ≠ 0)) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10376, 100, 72, 101, 102syl112anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10497, 103mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))
10515, 26odcl 18399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
106105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
107106nn0zd 11939 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
108 dvdstr 15483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
109107, 76, 100, 108syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
110104, 109mpan2d 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
111110ss2rabdv 3979 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
11244elpw 4465 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ↔ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
113111, 112sylibr 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
11429reseq1i 5737 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎}))
115 difss 4035 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ {𝑎}) ⊆ 𝐴
116 resmpt 5793 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ {𝑎}) ⊆ 𝐴 → ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
118114, 117eqtri 2821 . . . . . . . . 9 (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
119113, 118fmptd 6748 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})):(𝐴 ∖ {𝑎})⟶𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
120119frnd 6396 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → ran (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12154, 120eqsstrid 3942 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
122 sspwuni 4927 . . . . . 6 ((𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ↔ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
123121, 122sylib 219 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12498nnzd 11940 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ)
12526, 15oddvdssubg 18702 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
12649, 124, 125syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
1273mrcsscl 16724 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12853, 123, 126, 127syl3anc 1364 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
129 ss2in 4139 . . . 4 (((𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}))
13048, 128, 129syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}))
131 eqid 2797 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))}
132 eqid 2797 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}
13368simp2d 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
134 eqid 2797 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
13515, 26, 131, 132, 49, 70, 98, 133, 95, 2, 134ablfacrp 18909 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → (({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = {(0g𝐺)} ∧ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} (LSSum‘𝐺){𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = 𝐵))
136135simpld 495 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = {(0g𝐺)})
137130, 136sseqtrd 3934 . 2 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ {(0g𝐺)})
1381, 2, 3, 6, 10, 30, 37, 137dmdprdd 18842 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  {crab 3111  Vcvv 3440  cdif 3862  cin 3864  wss 3865  c0 4217  𝒫 cpw 4459  {csn 4478   cuni 4751   class class class wbr 4968  cmpt 5047  dom cdm 5450  ran crn 5451  cres 5452  cima 5453  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395   / cdiv 11151  cn 11492  0cn0 11751  cz 11835  cexp 13283  chash 13544  cdvds 15444   gcd cgcd 15680  cprime 15848   pCnt cpc 16006  Basecbs 16316  0gc0g 16546  Moorecmre 16686  mrClscmrc 16687  ACScacs 16689  Grpcgrp 17865  SubGrpcsubg 18031  Cntzccntz 18190  odcod 18387  LSSumclsm 18493  Abelcabl 18638   DProd cdprd 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-ec 8148  df-qs 8152  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-pc 16007  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-eqg 18036  df-cntz 18192  df-od 18391  df-lsm 18495  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-dprd 18838
This theorem is referenced by:  ablfac1c  18914  ablfac1eu  18916  ablfaclem2  18929  ablfaclem3  18930
  Copyright terms: Public domain W3C validator