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Theorem ablfac1b 19856
Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ablfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))})
ablfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
ablfac1.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„™)
Assertion
Ref Expression
ablfac1b (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑝,𝐡   πœ‘,𝑝,π‘₯   𝐴,𝑝,π‘₯   𝑂,𝑝,π‘₯   𝐺,𝑝,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1b
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
2 eqid 2737 . 2 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2737 . 2 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
4 ablfac1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
5 ablgrp 19574 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
7 ablfac1.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„™)
8 prmex 16560 . . . 4 β„™ ∈ V
98ssex 5283 . . 3 (𝐴 βŠ† β„™ β†’ 𝐴 ∈ V)
107, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
114adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
127sselda 3949 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
13 prmnn 16557 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
15 ablfac1.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
1615grpbn0 18786 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
176, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
18 ablfac1.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
19 hashnncl 14273 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
2117, 20mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
2312, 22pccld 16729 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
2414, 23nnexpcld 14155 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„•)
2524nnzd 12533 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€)
26 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
2726, 15oddvdssubg 19640 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
2811, 25, 27syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
29 ablfac1.s . . 3 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))})
3028, 29fmptd 7067 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
314adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3230adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑆:𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
33 simpr1 1195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
3432, 33ffvelcdmd 7041 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
35 simpr2 1196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
3632, 35ffvelcdmd 7041 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
371, 31, 34, 36ablcntzd 19642 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘)))
38 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘Ž β†’ 𝑝 = π‘Ž)
39 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘Ž β†’ (𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)) = (π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))
4038, 39oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (𝑝 = π‘Ž β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) = (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))
4140breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝑝 = π‘Ž β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ↔ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))))
4241rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑝 = π‘Ž β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))})
4315fvexi 6861 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
4443rabex 5294 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∈ V
4542, 29, 44fvmpt3i 6958 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))})
4645adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))})
47 eqimss 4005 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘Ž) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))})
4846, 47syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))})
494adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
50 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
5150subgacs 18970 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
52 acsmre 17539 . . . . . 6 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
5349, 5, 51, 524syl 19 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
54 df-ima 5651 . . . . . . 7 (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) = ran (𝑆 β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}))
557sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ β„™)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ β„™)
5721ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
58 pcdvds 16743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ β„™ ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•) β†’ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
5956, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
607ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† β„™)
61 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
6360, 62sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
64 pcdvds 16743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
6563, 57, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) = (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))
67 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) = ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))
6815, 26, 29, 4, 18, 7, 66, 67ablfac1lem 19854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„•) ∧ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))) = 1 ∧ (β™―β€˜π΅) = ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))))))
6968simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„•))
7069simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„•)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„•)
7271nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€)
7363, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
7463, 57pccld 16729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
7573, 74nnexpcld 14155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„•)
7675nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€)
7757nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€)
78 eldifsni 4755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}) β†’ 𝑝 β‰  π‘Ž)
7978ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 β‰  π‘Ž)
8079necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž β‰  𝑝)
81 prmrp 16595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž ∈ β„™ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((π‘Ž gcd 𝑝) = 1 ↔ π‘Ž β‰  𝑝))
8256, 63, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž gcd 𝑝) = 1 ↔ π‘Ž β‰  𝑝))
8380, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž gcd 𝑝) = 1)
84 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž ∈ β„™ β†’ π‘Ž ∈ β„€)
8556, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
86 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8763, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8856, 57pccld 16729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
89 rpexp12i 16607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑝 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0 ∧ (𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)) β†’ ((π‘Ž gcd 𝑝) = 1 β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) = 1))
9085, 87, 88, 74, 89syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž gcd 𝑝) = 1 β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) = 1))
9183, 90mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) = 1)
92 coprmdvds2 16537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€) ∧ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) = 1) β†’ (((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅)))
9372, 76, 77, 91, 92syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅)) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅)))
9459, 65, 93mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
9568simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (β™―β€˜π΅) = ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β™―β€˜π΅) = ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
9794, 96breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) βˆ₯ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
9869simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„•)
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„•)
10099nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„€)
10171nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) β‰  0)
102 dvdscmulr 16174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„€ ∧ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€ ∧ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) β‰  0)) β†’ (((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) βˆ₯ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
10376, 100, 72, 101, 102syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))) βˆ₯ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) Β· ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
10497, 103mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))))
10515, 26odcl 19325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
106105adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
107106nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„€)
108 dvdstr 16183 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„€ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„€) β†’ (((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
109107, 76, 100, 108syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
110104, 109mpan2d 693 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))))
111110ss2rabdv 4038 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
11244elpw 4569 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∈ 𝒫 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} ↔ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
113111, 112sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∈ 𝒫 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
11429reseq1i 5938 . . . . . . . . . 10 (𝑆 β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) = ((𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))}) β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}))
115 difss 4096 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βˆ– {π‘Ž}) βŠ† 𝐴
116 resmpt 5996 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βˆ– {π‘Ž}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))}) β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) = (𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}) ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))}))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))}) β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) = (𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}) ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))})
118114, 117eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (𝑆 β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) = (𝑝 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}) ↦ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (𝑝↑(𝑝 pCnt (β™―β€˜π΅)))})
119113, 118fmptd 7067 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})):(𝐴 βˆ– {π‘Ž})βŸΆπ’« {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
120119frnd 6681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑆 β†Ύ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) βŠ† 𝒫 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
12154, 120eqsstrid 3997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) βŠ† 𝒫 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
122 sspwuni 5065 . . . . . 6 ((𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) βŠ† 𝒫 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
123121, 122sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
12498nnzd 12533 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„€)
12526, 15oddvdssubg 19640 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))) ∈ β„€) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
12649, 124, 125syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1273mrcsscl 17507 . . . . 5 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}))) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
12853, 123, 126, 127syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}))) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))})
129 ss2in 4201 . . . 4 (((π‘†β€˜π‘Ž) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∧ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž}))) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})))) βŠ† ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}))
13048, 128, 129syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})))) βŠ† ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}))
131 eqid 2737 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))}
132 eqid 2737 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))} = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}
13368simp2d 1144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))) = 1)
134 eqid 2737 . . . . 5 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
13515, 26, 131, 132, 49, 70, 98, 133, 95, 2, 134ablfacrp 19852 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}) = {(0gβ€˜πΊ)} ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} (LSSumβ€˜πΊ){π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}) = 𝐡))
136135simpld 496 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅)))} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘‚β€˜π‘₯) βˆ₯ ((β™―β€˜π΅) / (π‘Žβ†‘(π‘Ž pCnt (β™―β€˜π΅))))}) = {(0gβ€˜πΊ)})
137130, 136sseqtrd 3989 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘Ž})))) βŠ† {(0gβ€˜πΊ)})
1381, 2, 3, 6, 10, 30, 37, 137dmdprdd 19785 1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237   βˆ₯ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Moorecmre 17469  mrClscmrc 17470  ACScacs 17472  Grpcgrp 18755  SubGrpcsubg 18929  Cntzccntz 19102  odcod 19313  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570   DProd cdprd 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-cntz 19104  df-od 19317  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-dprd 19781
This theorem is referenced by:  ablfac1c  19857  ablfac1eu  19859  ablfaclem2  19872  ablfaclem3  19873
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