MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1b 18736
Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1b (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1b
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2765 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2765 . 2 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 ablfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablgrp 18464 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 ablfac1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
8 nnex 11281 . . . . 5 ℕ ∈ V
9 prmnn 15668 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
109ssriv 3765 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
118, 10ssexi 4964 . . . 4 ℙ ∈ V
1211ssex 4963 . . 3 (𝐴 ⊆ ℙ → 𝐴 ∈ V)
137, 12syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
144adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
157sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℙ)
1615, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
17 ablfac1.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
1817grpbn0 17718 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
196, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
20 ablfac1.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
21 hashnncl 13359 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2319, 22mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2423adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2515, 24pccld 15834 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2616, 25nnexpcld 13237 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
2726nnzd 11728 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐴) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
28 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
2928, 17oddvdssubg 18524 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3014, 27, 29syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑝𝐴) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
31 ablfac1.s . . 3 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
3230, 31fmptd 6574 . 2 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
334adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ Abel)
3432adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
35 simpr1 1248 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑎𝐴)
3634, 35ffvelrnd 6550 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑎) ∈ (SubGrp‘𝐺))
37 simpr2 1250 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → 𝑏𝐴)
3834, 37ffvelrnd 6550 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑏) ∈ (SubGrp‘𝐺))
391, 33, 36, 38ablcntzd 18526 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴𝑎𝑏)) → (𝑆𝑎) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑏)))
40 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑎𝑝 = 𝑎)
41 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑎 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))
4240, 41oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑎 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))
4342breq2d 4821 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑎 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))
4443rabbidv 3338 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑎 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4517fvexi 6389 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
4645rabex 4973 . . . . . . 7 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
4744, 31, 46fvmpt3i 6476 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → (𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
4847adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
49 eqimss 3817 . . . . 5 ((𝑆𝑎) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} → (𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
5048, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))})
514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
52 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5352subgacs 17893 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
54 acsmre 16578 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5551, 5, 53, 544syl 19 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
56 df-ima 5290 . . . . . . 7 (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) = ran (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎}))
577sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℙ)
5857ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎 ∈ ℙ)
5923ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
60 pcdvds 15847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
6158, 59, 60syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
627ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ⊆ ℙ)
63 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) → 𝑝𝐴)
6463ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝐴)
6562, 64sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℙ)
66 pcdvds 15847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
6765, 59, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
68 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))
69 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))
7017, 28, 31, 4, 20, 7, 68, 69ablfac1lem 18734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝐴) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))))
7170simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
7271simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7372ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7473nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7565, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℕ)
7665, 59pccld 15834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
7775, 76nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7877nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7959nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
80 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) → 𝑝𝑎)
8180ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝𝑎)
8281necomd 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎𝑝)
83 prmrp 15703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑎𝑝))
8458, 65, 83syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑎𝑝))
8582, 84mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎 gcd 𝑝) = 1)
86 prmz 15669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℙ → 𝑎 ∈ ℤ)
8758, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
88 prmz 15669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8965, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑝 ∈ ℤ)
9058, 59pccld 15834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
91 rpexp12i 15713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1))
9287, 89, 90, 76, 91syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1))
9385, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1)
94 coprmdvds2 15648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) = 1) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵)))
9574, 78, 79, 93, 94syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵)))
9661, 67, 95mp2and 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ (♯‘𝐵))
9770simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9897ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (♯‘𝐵) = ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
9996, 98breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10071simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
101100ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
102101nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ)
10373nnne0d 11322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ≠ 0)
104 dvdscmulr 15295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) ≠ 0)) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10578, 102, 74, 103, 104syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))) ∥ ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
10699, 105mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))))
10717, 28odcl 18219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
108107adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
109108nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
110 dvdstr 15303 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
111109, 78, 102, 110syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
112106, 111mpan2d 685 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) → (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))))
113112ss2rabdv 3843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
11446elpw 4321 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ↔ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
115113, 114sylibr 225 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎})) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
11631reseq1i 5561 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎}))
117 difss 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ {𝑎}) ⊆ 𝐴
118 resmpt 5626 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ {𝑎}) ⊆ 𝐴 → ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}))
119117, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
120116, 119eqtri 2787 . . . . . . . . 9 (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) = (𝑝 ∈ (𝐴 ∖ {𝑎}) ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
121115, 120fmptd 6574 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})):(𝐴 ∖ {𝑎})⟶𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
122121frnd 6230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → ran (𝑆 ↾ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
12356, 122syl5eqss 3809 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
124 sspwuni 4768 . . . . . 6 ((𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ 𝒫 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ↔ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
125123, 124sylib 209 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
126100nnzd 11728 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ)
12728, 17oddvdssubg 18524 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
12851, 126, 127syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺))
1293mrcsscl 16546 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
13055, 125, 128, 129syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))})
131 ss2in 4000 . . . 4 (((𝑆𝑎) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∧ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎}))) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}))
13250, 130, 131syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}))
133 eqid 2765 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))}
134 eqid 2765 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}
13570simp2d 1173 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
136 eqid 2765 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
13717, 28, 133, 134, 51, 72, 100, 135, 97, 2, 136ablfacrp 18732 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → (({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = {(0g𝐺)} ∧ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} (LSSum‘𝐺){𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = 𝐵))
138137simpld 488 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵)))} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑎↑(𝑎 pCnt (♯‘𝐵))))}) = {(0g𝐺)})
139132, 138sseqtrd 3801 . 2 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑆𝑎) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐴 ∖ {𝑎})))) ⊆ {(0g𝐺)})
1401, 2, 3, 6, 13, 32, 39, 139dmdprdd 18665 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   cuni 4594   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cexp 13067  chash 13321  cdvds 15265   gcd cgcd 15497  cprime 15665   pCnt cpc 15820  Basecbs 16130  0gc0g 16366  Moorecmre 16508  mrClscmrc 16509  ACScacs 16511  Grpcgrp 17689  SubGrpcsubg 17852  Cntzccntz 18011  odcod 18208  LSSumclsm 18313  Abelcabl 18460   DProd cdprd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-eqg 17857  df-cntz 18013  df-od 18212  df-lsm 18315  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-dprd 18661
This theorem is referenced by:  ablfac1c  18737  ablfac1eu  18739  ablfaclem2  18752  ablfaclem3  18753
  Copyright terms: Public domain W3C validator