Theorem mayetes3i 32331

Description: Mayet's equation E^*₃, derived from E₃. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayetes3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayetes3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayetes3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayetes3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayetes3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayetes3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayetes3.r	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
mayetes3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx	⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayetes3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayetes3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayetes3i	⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mayetes3.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mayetes3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 32059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
4		mayetes3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	3, 4	chjcli 32059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
6		mayetes3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
7	5, 6	chjcomi 32070	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
8	7	eqimssi 3968	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
9		mayetes3.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
10	1, 9	chjcli 32059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
11	10, 6	chub1i 32071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅)
12	1, 9, 6	chjassi 32088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
13	11, 12	sseqtri 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
14	9, 6	chjcli 32059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
15	1, 14	chjcli 32059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
16	15, 6	chub2i 32072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
17	13, 16	sstri 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
18		mayetes3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
19	2, 18	chjcli 32059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
20	19, 6	chub1i 32071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅)
21	2, 18, 6	chjassi 32088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
22	20, 21	sseqtri 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
23	18, 6	chjcli 32059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
24	2, 23	chjcli 32059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
25	24, 6	chub2i 32072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
26	22, 25	sstri 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
27		ss2in 4141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))))
28	17, 26, 27	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
29		mayetes3.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
30	4, 29	chjcli 32059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
31	30, 6	chub1i 32071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
32	4, 29, 6	chjassi 32088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
33	31, 32	sseqtri 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
34	29, 6	chjcli 32059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
35	4, 34	chjcli 32059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
36	35, 6	chub2i 32072	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
37	33, 36	sstri 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
38		ss2in 4141	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∧ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
39	28, 37, 38	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
40		ss2in 4141	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))))
41	8, 39, 40	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
42	15, 24	chincli 32062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
43	42, 35	chincli 32062	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
44		mayetes3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
45	44, 5	eqeltri 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ Cℋ
46	45	choccli 31909	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ∈ Cℋ
47		mayetes3.rx	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
48	6, 46, 47	lecmii 32205	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋)
49	6, 45	cmcm2i 32195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 𝐶ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋))
50	48, 49	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ 𝑋
51	50, 44	breqtri 5129	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
52	6, 9	chub2i 32072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)
53	14, 1	chub2i 32072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
54	52, 53	sstri 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
55	6, 15, 54	lecmii 32205	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
56	6, 18	chub2i 32072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)
57	23, 2	chub2i 32072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
58	56, 57	sstri 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
59	6, 24, 58	lecmii 32205	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
60	6, 15, 24, 55, 59	cm2mi 32228	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
61	6, 29	chub2i 32072	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)
62	34, 4	chub2i 32072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
63	61, 62	sstri 3917	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
64	6, 35, 63	lecmii 32205	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
65	6, 42, 35, 60, 64	cm2mi 32228	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
66	6, 5, 43, 51, 65	fh3i 32225	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
67	6, 42, 35, 60, 64	fh3i 32225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
68	6, 15, 24, 55, 59	fh3i 32225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
69	68	ineq1i 4113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
70	67, 69	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
71	70	ineq2i 4114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
72	66, 71	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
73	41, 72	sseqtri 3956	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
74	9, 18	chjcli 32059	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
75	74, 29	chjcli 32059	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
76	6, 75	chub2i 32072	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
77		mayetes3.ac	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78		mayetes3.af	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79		mayetes3.cf	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80		mayetes3.ab	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
81	1, 2	chub1i 32071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
82	3, 4	chub1i 32071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
83	82, 44	sseqtrri 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ 𝑋
84	81, 83	sstri 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
85	1, 45	chsscon3i 32063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
86	84, 85	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
87	47, 86	sstri 3917	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
88	6, 1	chsscon2i 32065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
89	87, 88	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
90	80, 89	ssini 4136	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
91	9, 6	chdmj1i 32083	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
92	90, 91	sseqtrri 3957	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅))
93		mayetes3.cd	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
94	2, 1	chub2i 32072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
95	94, 83	sstri 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑋
96	2, 45	chsscon3i 32063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
97	95, 96	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
98	47, 97	sstri 3917	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
99	6, 2	chsscon2i 32065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
100	98, 99	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
101	93, 100	ssini 4136	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
102	18, 6	chdmj1i 32083	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103	101, 102	sseqtrri 3957	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅))
104		mayetes3.fg	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
105	4, 3	chub2i 32072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
106	105, 44	sseqtrri 3957	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ⊆ 𝑋
107	4, 45	chsscon3i 32063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108	106, 107	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
109	47, 108	sstri 3917	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
110	6, 4	chsscon2i 32065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111	109, 110	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112	104, 111	ssini 4136	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
113	29, 6	chdmj1i 32083	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114	112, 113	sseqtrri 3957	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅))
115		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
116		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) = (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
117	74, 29, 6	chjjdiri 32126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
118	9, 18, 6	chjjdiri 32126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
119	118	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
120	117, 119	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
121	1, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120	mayete3i 32330	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
122	5, 43	chincli 32062	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ∈ Cℋ
123	75, 6	chjcli 32059	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
124	6, 122, 123	chlubii 32074	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)) → (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅))
125	76, 121, 124	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
126	73, 125	sstri 3917	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
127	44	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ (𝑋 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅)
128		mayetes3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
129	127, 128	ineq12i 4115	. 2 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
130		mayetes3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
131	130	oveq1i 7430	. 2 ⊢ (𝑍 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
132	126, 129, 131	3sstr4i 3959	1 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532   ∨_ℋ chj 31535   𝐶_ℋ ccm 31538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-chj 31912  df-pjh 31997  df-cm 32185

This theorem is used by: (None)