Theorem mayetes3i 32051

Description: Mayet's equation E^*₃, derived from E₃. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayetes3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayetes3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayetes3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayetes3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayetes3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayetes3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayetes3.r	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
mayetes3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx	⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayetes3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayetes3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayetes3i	⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mayetes3.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mayetes3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 31779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
4		mayetes3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	3, 4	chjcli 31779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
6		mayetes3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
7	5, 6	chjcomi 31790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
8	7	eqimssi 4005	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
9		mayetes3.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
10	1, 9	chjcli 31779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
11	10, 6	chub1i 31791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅)
12	1, 9, 6	chjassi 31808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
13	11, 12	sseqtri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
14	9, 6	chjcli 31779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
15	1, 14	chjcli 31779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
16	15, 6	chub2i 31792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
17	13, 16	sstri 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
18		mayetes3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
19	2, 18	chjcli 31779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
20	19, 6	chub1i 31791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅)
21	2, 18, 6	chjassi 31808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
22	20, 21	sseqtri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
23	18, 6	chjcli 31779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
24	2, 23	chjcli 31779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
25	24, 6	chub2i 31792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
26	22, 25	sstri 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
27		ss2in 4205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))))
28	17, 26, 27	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
29		mayetes3.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
30	4, 29	chjcli 31779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
31	30, 6	chub1i 31791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
32	4, 29, 6	chjassi 31808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
33	31, 32	sseqtri 3993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
34	29, 6	chjcli 31779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
35	4, 34	chjcli 31779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
36	35, 6	chub2i 31792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
37	33, 36	sstri 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
38		ss2in 4205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∧ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
39	28, 37, 38	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
40		ss2in 4205	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))))
41	8, 39, 40	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
42	15, 24	chincli 31782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
43	42, 35	chincli 31782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
44		mayetes3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
45	44, 5	eqeltri 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ Cℋ
46	45	choccli 31629	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ∈ Cℋ
47		mayetes3.rx	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
48	6, 46, 47	lecmii 31925	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋)
49	6, 45	cmcm2i 31915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 𝐶ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋))
50	48, 49	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ 𝑋
51	50, 44	breqtri 5141	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
52	6, 9	chub2i 31792	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)
53	14, 1	chub2i 31792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
54	52, 53	sstri 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
55	6, 15, 54	lecmii 31925	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
56	6, 18	chub2i 31792	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)
57	23, 2	chub2i 31792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
58	56, 57	sstri 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
59	6, 24, 58	lecmii 31925	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
60	6, 15, 24, 55, 59	cm2mi 31948	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
61	6, 29	chub2i 31792	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)
62	34, 4	chub2i 31792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
63	61, 62	sstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
64	6, 35, 63	lecmii 31925	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
65	6, 42, 35, 60, 64	cm2mi 31948	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
66	6, 5, 43, 51, 65	fh3i 31945	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
67	6, 42, 35, 60, 64	fh3i 31945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
68	6, 15, 24, 55, 59	fh3i 31945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
69	68	ineq1i 4177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
70	67, 69	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
71	70	ineq2i 4178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
72	66, 71	eqtr2i 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
73	41, 72	sseqtri 3993	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
74	9, 18	chjcli 31779	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
75	74, 29	chjcli 31779	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
76	6, 75	chub2i 31792	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
77		mayetes3.ac	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78		mayetes3.af	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79		mayetes3.cf	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80		mayetes3.ab	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
81	1, 2	chub1i 31791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
82	3, 4	chub1i 31791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
83	82, 44	sseqtrri 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ 𝑋
84	81, 83	sstri 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
85	1, 45	chsscon3i 31783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
86	84, 85	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
87	47, 86	sstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
88	6, 1	chsscon2i 31785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
89	87, 88	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
90	80, 89	ssini 4200	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
91	9, 6	chdmj1i 31803	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
92	90, 91	sseqtrri 3994	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅))
93		mayetes3.cd	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
94	2, 1	chub2i 31792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
95	94, 83	sstri 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑋
96	2, 45	chsscon3i 31783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
97	95, 96	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
98	47, 97	sstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
99	6, 2	chsscon2i 31785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
100	98, 99	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
101	93, 100	ssini 4200	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
102	18, 6	chdmj1i 31803	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103	101, 102	sseqtrri 3994	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅))
104		mayetes3.fg	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
105	4, 3	chub2i 31792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
106	105, 44	sseqtrri 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ⊆ 𝑋
107	4, 45	chsscon3i 31783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108	106, 107	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
109	47, 108	sstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
110	6, 4	chsscon2i 31785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111	109, 110	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112	104, 111	ssini 4200	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
113	29, 6	chdmj1i 31803	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114	112, 113	sseqtrri 3994	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅))
115		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
116		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) = (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
117	74, 29, 6	chjjdiri 31846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
118	9, 18, 6	chjjdiri 31846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
119	118	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
120	117, 119	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
121	1, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120	mayete3i 32050	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
122	5, 43	chincli 31782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ∈ Cℋ
123	75, 6	chjcli 31779	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
124	6, 122, 123	chlubii 31794	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)) → (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅))
125	76, 121, 124	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
126	73, 125	sstri 3954	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
127	44	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅)
128		mayetes3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
129	127, 128	ineq12i 4179	. 2 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
130		mayetes3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
131	130	oveq1i 7424	. 2 ⊢ (𝑍 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
132	126, 129, 131	3sstr4i 3996	1 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   C_ℋ cch 31251  ⊥cort 31252   ∨_ℋ chj 31255   𝐶_ℋ ccm 31258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cc 10422  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-addf 11182  ax-mulf 11183  ax-hilex 31321  ax-hfvadd 31322  ax-hvcom 31323  ax-hvass 31324  ax-hv0cl 31325  ax-hvaddid 31326  ax-hfvmul 31327  ax-hvmulid 31328  ax-hvmulass 31329  ax-hvdistr1 31330  ax-hvdistr2 31331  ax-hvmul0 31332  ax-hfi 31401  ax-his1 31404  ax-his2 31405  ax-his3 31406  ax-his4 31407  ax-hcompl 31524

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-acn 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13379  df-ico 13381  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-fl 13828  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-rlim 15543  df-sum 15741  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17559  df-qtop 17564  df-imas 17565  df-xps 17567  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-mulg 19137  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-met 21499  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-fbas 21502  df-fg 21503  df-cnfld 21506  df-top 23034  df-topon 23051  df-topsp 23073  df-bases 23086  df-cld 23159  df-ntr 23160  df-cls 23161  df-nei 23238  df-cn 23367  df-cnp 23368  df-lm 23369  df-haus 23455  df-tx 23702  df-hmeo 23895  df-fil 23986  df-fm 24078  df-flim 24079  df-flf 24080  df-xms 24460  df-ms 24461  df-tms 24462  df-cfil 25397  df-cau 25398  df-cmet 25399  df-grpo 30815  df-gid 30816  df-ginv 30817  df-gdiv 30818  df-ablo 30867  df-vc 30881  df-nv 30914  df-va 30917  df-ba 30918  df-sm 30919  df-0v 30920  df-vs 30921  df-nmcv 30922  df-ims 30923  df-dip 31023  df-ssp 31044  df-ph 31135  df-cbn 31185  df-hnorm 31290  df-hba 31291  df-hvsub 31293  df-hlim 31294  df-hcau 31295  df-sh 31529  df-ch 31543  df-oc 31574  df-ch0 31575  df-shs 31630  df-chj 31632  df-pjh 31717  df-cm 31905

This theorem is referenced by: (None)