HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayetes3i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mayetes3i 30960
Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a 𝐴 ∈ Cβ„‹
mayetes3.b 𝐡 ∈ Cβ„‹
mayetes3.c 𝐢 ∈ Cβ„‹
mayetes3.d 𝐷 ∈ Cβ„‹
mayetes3.f 𝐹 ∈ Cβ„‹
mayetes3.g 𝐺 ∈ Cβ„‹
mayetes3.r 𝑅 ∈ Cβ„‹
mayetes3.ac 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
mayetes3.af 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
mayetes3.cf 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
mayetes3.ab 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π΅)
mayetes3.cd 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π·)
mayetes3.fg 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜πΊ)
mayetes3.rx 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘‹)
mayetes3.x 𝑋 = ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
mayetes3.y π‘Œ = (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))
mayetes3.z 𝑍 = ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i ((𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑍 βˆ¨β„‹ 𝑅)
Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Cβ„‹
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9 𝐢 ∈ Cβ„‹
31, 2chjcli 30688 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∈ Cβ„‹
4 mayetes3.f . . . . . . . 8 𝐹 ∈ Cβ„‹
53, 4chjcli 30688 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∈ Cβ„‹
6 mayetes3.r . . . . . . 7 𝑅 ∈ Cβ„‹
75, 6chjcomi 30699 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹))
87eqimssi 4041 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹))
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ Cβ„‹
101, 9chjcli 30688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
1110, 6chub1i 30700 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βˆ¨β„‹ 𝑅)
121, 9, 6chjassi 30717 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
1311, 12sseqtri 4017 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
149, 6chjcli 30688 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
151, 14chjcli 30688 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∈ Cβ„‹
1615, 6chub2i 30701 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
1713, 16sstri 3990 . . . . . . 7 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ Cβ„‹
192, 18chjcli 30688 . . . . . . . . . 10 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) ∈ Cβ„‹
2019, 6chub1i 30700 . . . . . . . . 9 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† ((𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅)
212, 18, 6chjassi 30717 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
2220, 21sseqtri 4017 . . . . . . . 8 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
2318, 6chjcli 30688 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
242, 23chjcli 30688 . . . . . . . . 9 (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∈ Cβ„‹
2524, 6chub2i 30701 . . . . . . . 8 (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
2622, 25sstri 3990 . . . . . . 7 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
27 ss2in 4235 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∧ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) β†’ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
2817, 26, 27mp2an 691 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ Cβ„‹
304, 29chjcli 30688 . . . . . . . . 9 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) ∈ Cβ„‹
3130, 6chub1i 30700 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† ((𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
324, 29, 6chjassi 30717 . . . . . . . 8 ((𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
3331, 32sseqtri 4017 . . . . . . 7 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
3429, 6chjcli 30688 . . . . . . . . 9 (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
354, 34chjcli 30688 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∈ Cβ„‹
3635, 6chub2i 30701 . . . . . . 7 (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
3733, 36sstri 3990 . . . . . 6 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
38 ss2in 4235 . . . . . 6 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∧ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) β†’ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
3928, 37, 38mp2an 691 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
40 ss2in 4235 . . . . 5 (((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∧ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) β†’ ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))))
418, 39, 40mp2an 691 . . . 4 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
4215, 24chincli 30691 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∈ Cβ„‹
4342, 35chincli 30691 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∈ Cβ„‹
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
4544, 5eqeltri 2830 . . . . . . . . . 10 𝑋 ∈ Cβ„‹
4645choccli 30538 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) ∈ Cβ„‹
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘‹)
486, 46, 47lecmii 30834 . . . . . . . 8 𝑅 𝐢ℋ (βŠ₯β€˜π‘‹)
496, 45cmcm2i 30824 . . . . . . . 8 (𝑅 𝐢ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐢ℋ (βŠ₯β€˜π‘‹))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . 7 𝑅 𝐢ℋ 𝑋
5150, 44breqtri 5172 . . . . . 6 𝑅 𝐢ℋ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
526, 9chub2i 30701 . . . . . . . . . 10 𝑅 βŠ† (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)
5314, 1chub2i 30701 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
5452, 53sstri 3990 . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
556, 15, 54lecmii 30834 . . . . . . . 8 𝑅 𝐢ℋ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
566, 18chub2i 30701 . . . . . . . . . 10 𝑅 βŠ† (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)
5723, 2chub2i 30701 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
5856, 57sstri 3990 . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
596, 24, 58lecmii 30834 . . . . . . . 8 𝑅 𝐢ℋ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 30857 . . . . . . 7 𝑅 𝐢ℋ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
616, 29chub2i 30701 . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)
6234, 4chub2i 30701 . . . . . . . . 9 (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
6361, 62sstri 3990 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
646, 35, 63lecmii 30834 . . . . . . 7 𝑅 𝐢ℋ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 30857 . . . . . 6 𝑅 𝐢ℋ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
666, 5, 43, 51, 65fh3i 30854 . . . . 5 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
676, 42, 35, 60, 64fh3i 30854 . . . . . . 7 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
686, 15, 24, 55, 59fh3i 30854 . . . . . . . 8 (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
6968ineq1i 4207 . . . . . . 7 ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
7067, 69eqtri 2761 . . . . . 6 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
7170ineq2i 4208 . . . . 5 ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
7266, 71eqtr2i 2762 . . . 4 ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) = (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
7341, 72sseqtri 4017 . . 3 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
749, 18chjcli 30688 . . . . . 6 (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) ∈ Cβ„‹
7574, 29chjcli 30688 . . . . 5 ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) ∈ Cβ„‹
766, 75chub2i 30701 . . . 4 𝑅 βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
77 mayetes3.ac . . . . 5 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
78 mayetes3.af . . . . 5 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
79 mayetes3.cf . . . . 5 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
80 mayetes3.ab . . . . . . 7 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π΅)
811, 2chub1i 30700 . . . . . . . . . . 11 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢)
823, 4chub1i 30700 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
8382, 44sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† 𝑋
8481, 83sstri 3990 . . . . . . . . . 10 𝐴 βŠ† 𝑋
851, 45chsscon3i 30692 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜π΄))
8684, 85mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜π΄)
8747, 86sstri 3990 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π΄)
886, 1chsscon2i 30694 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π΄) ↔ 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…))
8987, 88mpbi 229 . . . . . . 7 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…)
9080, 89ssini 4230 . . . . . 6 𝐴 βŠ† ((βŠ₯β€˜π΅) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
919, 6chdmj1i 30712 . . . . . 6 (βŠ₯β€˜(𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = ((βŠ₯β€˜π΅) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
9290, 91sseqtrri 4018 . . . . 5 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜(𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
93 mayetes3.cd . . . . . . 7 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π·)
942, 1chub2i 30701 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢)
9594, 83sstri 3990 . . . . . . . . . 10 𝐢 βŠ† 𝑋
962, 45chsscon3i 30692 . . . . . . . . . 10 (𝐢 βŠ† 𝑋 ↔ (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ))
9795, 96mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
9847, 97sstri 3990 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
996, 2chsscon2i 30694 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ) ↔ 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…))
10098, 99mpbi 229 . . . . . . 7 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…)
10193, 100ssini 4230 . . . . . 6 𝐢 βŠ† ((βŠ₯β€˜π·) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
10218, 6chdmj1i 30712 . . . . . 6 (βŠ₯β€˜(𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = ((βŠ₯β€˜π·) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
103101, 102sseqtrri 4018 . . . . 5 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜(𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
104 mayetes3.fg . . . . . . 7 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜πΊ)
1054, 3chub2i 30701 . . . . . . . . . . 11 𝐹 βŠ† ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
106105, 44sseqtrri 4018 . . . . . . . . . 10 𝐹 βŠ† 𝑋
1074, 45chsscon3i 30692 . . . . . . . . . 10 (𝐹 βŠ† 𝑋 ↔ (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ))
108106, 107mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
10947, 108sstri 3990 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
1106, 4chsscon2i 30694 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ) ↔ 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…))
111109, 110mpbi 229 . . . . . . 7 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…)
112104, 111ssini 4230 . . . . . 6 𝐹 βŠ† ((βŠ₯β€˜πΊ) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
11329, 6chdmj1i 30712 . . . . . 6 (βŠ₯β€˜(𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = ((βŠ₯β€˜πΊ) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
114112, 113sseqtrri 4018 . . . . 5 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜(𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
115 eqid 2733 . . . . 5 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) = ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
116 eqid 2733 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))) = (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
11774, 29, 6chjjdiri 30755 . . . . . 6 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
1189, 18, 6chjjdiri 30755 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) = ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
119118oveq1i 7414 . . . . . 6 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
120117, 119eqtri 2761 . . . . 5 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 30959 . . . 4 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
1225, 43chincli 30691 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∈ Cβ„‹
12375, 6chjcli 30688 . . . . 5 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
1246, 122, 123chlubii 30703 . . . 4 ((𝑅 βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∧ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅))
12576, 121, 124mp2an 691 . . 3 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
12673, 125sstri 3990 . 2 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
12744oveq1i 7414 . . 3 (𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅)
128 mayetes3.y . . 3 π‘Œ = (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))
129127, 128ineq12i 4209 . 2 ((𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ π‘Œ) = ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)))
130 mayetes3.z . . 3 𝑍 = ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺)
131130oveq1i 7414 . 2 (𝑍 βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
132126, 129, 1313sstr4i 4024 1 ((𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑍 βˆ¨β„‹ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   Cβ„‹ cch 30160  βŠ₯cort 30161   βˆ¨β„‹ chj 30164   𝐢ℋ ccm 30167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-chj 30541  df-pjh 30626  df-cm 30814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator