HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayetes3i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mayetes3i 31417
Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a 𝐴 ∈ Cβ„‹
mayetes3.b 𝐡 ∈ Cβ„‹
mayetes3.c 𝐢 ∈ Cβ„‹
mayetes3.d 𝐷 ∈ Cβ„‹
mayetes3.f 𝐹 ∈ Cβ„‹
mayetes3.g 𝐺 ∈ Cβ„‹
mayetes3.r 𝑅 ∈ Cβ„‹
mayetes3.ac 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
mayetes3.af 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
mayetes3.cf 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
mayetes3.ab 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π΅)
mayetes3.cd 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π·)
mayetes3.fg 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜πΊ)
mayetes3.rx 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘‹)
mayetes3.x 𝑋 = ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
mayetes3.y π‘Œ = (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))
mayetes3.z 𝑍 = ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i ((𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑍 βˆ¨β„‹ 𝑅)
Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Cβ„‹
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9 𝐢 ∈ Cβ„‹
31, 2chjcli 31145 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) ∈ Cβ„‹
4 mayetes3.f . . . . . . . 8 𝐹 ∈ Cβ„‹
53, 4chjcli 31145 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∈ Cβ„‹
6 mayetes3.r . . . . . . 7 𝑅 ∈ Cβ„‹
75, 6chjcomi 31156 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹))
87eqimssi 4034 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹))
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ Cβ„‹
101, 9chjcli 31145 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
1110, 6chub1i 31157 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βˆ¨β„‹ 𝑅)
121, 9, 6chjassi 31174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
1311, 12sseqtri 4010 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
149, 6chjcli 31145 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
151, 14chjcli 31145 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∈ Cβ„‹
1615, 6chub2i 31158 . . . . . . . 8 (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
1713, 16sstri 3983 . . . . . . 7 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ Cβ„‹
192, 18chjcli 31145 . . . . . . . . . 10 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) ∈ Cβ„‹
2019, 6chub1i 31157 . . . . . . . . 9 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† ((𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅)
212, 18, 6chjassi 31174 . . . . . . . . 9 ((𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
2220, 21sseqtri 4010 . . . . . . . 8 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
2318, 6chjcli 31145 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
242, 23chjcli 31145 . . . . . . . . 9 (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∈ Cβ„‹
2524, 6chub2i 31158 . . . . . . . 8 (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
2622, 25sstri 3983 . . . . . . 7 (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
27 ss2in 4228 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∧ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) β†’ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
2817, 26, 27mp2an 689 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ Cβ„‹
304, 29chjcli 31145 . . . . . . . . 9 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) ∈ Cβ„‹
3130, 6chub1i 31157 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† ((𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
324, 29, 6chjassi 31174 . . . . . . . 8 ((𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
3331, 32sseqtri 4010 . . . . . . 7 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
3429, 6chjcli 31145 . . . . . . . . 9 (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
354, 34chjcli 31145 . . . . . . . 8 (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∈ Cβ„‹
3635, 6chub2i 31158 . . . . . . 7 (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
3733, 36sstri 3983 . . . . . 6 (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
38 ss2in 4228 . . . . . 6 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∧ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) β†’ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
3928, 37, 38mp2an 689 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
40 ss2in 4228 . . . . 5 (((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∧ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) βŠ† (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) β†’ ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))))
418, 39, 40mp2an 689 . . . 4 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
4215, 24chincli 31148 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∈ Cβ„‹
4342, 35chincli 31148 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∈ Cβ„‹
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
4544, 5eqeltri 2821 . . . . . . . . . 10 𝑋 ∈ Cβ„‹
4645choccli 30995 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) ∈ Cβ„‹
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘‹)
486, 46, 47lecmii 31291 . . . . . . . 8 𝑅 𝐢ℋ (βŠ₯β€˜π‘‹)
496, 45cmcm2i 31281 . . . . . . . 8 (𝑅 𝐢ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐢ℋ (βŠ₯β€˜π‘‹))
5048, 49mpbir 230 . . . . . . 7 𝑅 𝐢ℋ 𝑋
5150, 44breqtri 5163 . . . . . 6 𝑅 𝐢ℋ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
526, 9chub2i 31158 . . . . . . . . . 10 𝑅 βŠ† (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)
5314, 1chub2i 31158 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
5452, 53sstri 3983 . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
556, 15, 54lecmii 31291 . . . . . . . 8 𝑅 𝐢ℋ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
566, 18chub2i 31158 . . . . . . . . . 10 𝑅 βŠ† (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)
5723, 2chub2i 31158 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
5856, 57sstri 3983 . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
596, 24, 58lecmii 31291 . . . . . . . 8 𝑅 𝐢ℋ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 31314 . . . . . . 7 𝑅 𝐢ℋ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
616, 29chub2i 31158 . . . . . . . . 9 𝑅 βŠ† (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)
6234, 4chub2i 31158 . . . . . . . . 9 (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅) βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
6361, 62sstri 3983 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
646, 35, 63lecmii 31291 . . . . . . 7 𝑅 𝐢ℋ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 31314 . . . . . 6 𝑅 𝐢ℋ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
666, 5, 43, 51, 65fh3i 31311 . . . . 5 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
676, 42, 35, 60, 64fh3i 31311 . . . . . . 7 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
686, 15, 24, 55, 59fh3i 31311 . . . . . . . 8 (𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
6968ineq1i 4200 . . . . . . 7 ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
7067, 69eqtri 2752 . . . . . 6 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) = (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))
7170ineq2i 4201 . . . . 5 ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) = ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
7266, 71eqtr2i 2753 . . . 4 ((𝑅 βˆ¨β„‹ ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)) ∩ (((𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∩ (𝑅 βˆ¨β„‹ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) = (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
7341, 72sseqtri 4010 . . 3 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))))
749, 18chjcli 31145 . . . . . 6 (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) ∈ Cβ„‹
7574, 29chjcli 31145 . . . . 5 ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) ∈ Cβ„‹
766, 75chub2i 31158 . . . 4 𝑅 βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
77 mayetes3.ac . . . . 5 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
78 mayetes3.af . . . . 5 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
79 mayetes3.cf . . . . 5 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
80 mayetes3.ab . . . . . . 7 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π΅)
811, 2chub1i 31157 . . . . . . . . . . 11 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢)
823, 4chub1i 31157 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
8382, 44sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βŠ† 𝑋
8481, 83sstri 3983 . . . . . . . . . 10 𝐴 βŠ† 𝑋
851, 45chsscon3i 31149 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜π΄))
8684, 85mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜π΄)
8747, 86sstri 3983 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π΄)
886, 1chsscon2i 31151 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜π΄) ↔ 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…))
8987, 88mpbi 229 . . . . . . 7 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…)
9080, 89ssini 4223 . . . . . 6 𝐴 βŠ† ((βŠ₯β€˜π΅) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
919, 6chdmj1i 31169 . . . . . 6 (βŠ₯β€˜(𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = ((βŠ₯β€˜π΅) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
9290, 91sseqtrri 4011 . . . . 5 𝐴 βŠ† (βŠ₯β€˜(𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅))
93 mayetes3.cd . . . . . . 7 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π·)
942, 1chub2i 31158 . . . . . . . . . . 11 𝐢 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢)
9594, 83sstri 3983 . . . . . . . . . 10 𝐢 βŠ† 𝑋
962, 45chsscon3i 31149 . . . . . . . . . 10 (𝐢 βŠ† 𝑋 ↔ (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ))
9795, 96mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
9847, 97sstri 3983 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ)
996, 2chsscon2i 31151 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΆ) ↔ 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…))
10098, 99mpbi 229 . . . . . . 7 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…)
10193, 100ssini 4223 . . . . . 6 𝐢 βŠ† ((βŠ₯β€˜π·) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
10218, 6chdmj1i 31169 . . . . . 6 (βŠ₯β€˜(𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = ((βŠ₯β€˜π·) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
103101, 102sseqtrri 4011 . . . . 5 𝐢 βŠ† (βŠ₯β€˜(𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
104 mayetes3.fg . . . . . . 7 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜πΊ)
1054, 3chub2i 31158 . . . . . . . . . . 11 𝐹 βŠ† ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
106105, 44sseqtrri 4011 . . . . . . . . . 10 𝐹 βŠ† 𝑋
1074, 45chsscon3i 31149 . . . . . . . . . 10 (𝐹 βŠ† 𝑋 ↔ (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ))
108106, 107mpbi 229 . . . . . . . . 9 (βŠ₯β€˜π‘‹) βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
10947, 108sstri 3983 . . . . . . . 8 𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ)
1106, 4chsscon2i 31151 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† (βŠ₯β€˜πΉ) ↔ 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…))
111109, 110mpbi 229 . . . . . . 7 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜π‘…)
112104, 111ssini 4223 . . . . . 6 𝐹 βŠ† ((βŠ₯β€˜πΊ) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
11329, 6chdmj1i 31169 . . . . . 6 (βŠ₯β€˜(𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = ((βŠ₯β€˜πΊ) ∩ (βŠ₯β€˜π‘…))
114112, 113sseqtrri 4011 . . . . 5 𝐹 βŠ† (βŠ₯β€˜(𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
115 eqid 2724 . . . . 5 ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) = ((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹)
116 eqid 2724 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))) = (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))
11774, 29, 6chjjdiri 31212 . . . . . 6 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
1189, 18, 6chjjdiri 31212 . . . . . . 7 ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) = ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))
119118oveq1i 7411 . . . . . 6 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
120117, 119eqtri 2752 . . . . 5 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅) βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅)) βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 31416 . . . 4 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
1225, 43chincli 31148 . . . . 5 (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) ∈ Cβ„‹
12375, 6chjcli 31145 . . . . 5 (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∈ Cβ„‹
1246, 122, 123chlubii 31160 . . . 4 ((𝑅 βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∧ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅)))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)) β†’ (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅))
12576, 121, 124mp2an 689 . . 3 (𝑅 βˆ¨β„‹ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ (𝐡 βˆ¨β„‹ 𝑅)) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ (𝐷 βˆ¨β„‹ 𝑅))) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ (𝐺 βˆ¨β„‹ 𝑅))))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
12673, 125sstri 3983 . 2 ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))) βŠ† (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
12744oveq1i 7411 . . 3 (𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅)
128 mayetes3.y . . 3 π‘Œ = (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))
129127, 128ineq12i 4202 . 2 ((𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ π‘Œ) = ((((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐢) βˆ¨β„‹ 𝐹) βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ (((𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐢 βˆ¨β„‹ 𝐷)) ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)))
130 mayetes3.z . . 3 𝑍 = ((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺)
131130oveq1i 7411 . 2 (𝑍 βˆ¨β„‹ 𝑅) = (((𝐡 βˆ¨β„‹ 𝐷) βˆ¨β„‹ 𝐺) βˆ¨β„‹ 𝑅)
132126, 129, 1313sstr4i 4017 1 ((𝑋 βˆ¨β„‹ 𝑅) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑍 βˆ¨β„‹ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   Cβ„‹ cch 30617  βŠ₯cort 30618   βˆ¨β„‹ chj 30621   𝐢ℋ ccm 30624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30687  ax-hfvadd 30688  ax-hvcom 30689  ax-hvass 30690  ax-hv0cl 30691  ax-hvaddid 30692  ax-hfvmul 30693  ax-hvmulid 30694  ax-hvmulass 30695  ax-hvdistr1 30696  ax-hvdistr2 30697  ax-hvmul0 30698  ax-hfi 30767  ax-his1 30770  ax-his2 30771  ax-his3 30772  ax-his4 30773  ax-hcompl 30890
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-lm 23054  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cfil 25104  df-cau 25105  df-cmet 25106  df-grpo 30181  df-gid 30182  df-ginv 30183  df-gdiv 30184  df-ablo 30233  df-vc 30247  df-nv 30280  df-va 30283  df-ba 30284  df-sm 30285  df-0v 30286  df-vs 30287  df-nmcv 30288  df-ims 30289  df-dip 30389  df-ssp 30410  df-ph 30501  df-cbn 30551  df-hnorm 30656  df-hba 30657  df-hvsub 30659  df-hlim 30660  df-hcau 30661  df-sh 30895  df-ch 30909  df-oc 30940  df-ch0 30941  df-shs 30996  df-chj 30998  df-pjh 31083  df-cm 31271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator