Theorem mayetes3i 30671

Description: Mayet's equation E^*₃, derived from E₃. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayetes3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayetes3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayetes3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayetes3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayetes3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayetes3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayetes3.r	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
mayetes3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx	⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayetes3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayetes3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayetes3i	⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mayetes3.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mayetes3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 30399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
4		mayetes3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	3, 4	chjcli 30399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
6		mayetes3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
7	5, 6	chjcomi 30410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
8	7	eqimssi 4002	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
9		mayetes3.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
10	1, 9	chjcli 30399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
11	10, 6	chub1i 30411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅)
12	1, 9, 6	chjassi 30428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
13	11, 12	sseqtri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
14	9, 6	chjcli 30399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
15	1, 14	chjcli 30399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
16	15, 6	chub2i 30412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
17	13, 16	sstri 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
18		mayetes3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
19	2, 18	chjcli 30399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
20	19, 6	chub1i 30411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅)
21	2, 18, 6	chjassi 30428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
22	20, 21	sseqtri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
23	18, 6	chjcli 30399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
24	2, 23	chjcli 30399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
25	24, 6	chub2i 30412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
26	22, 25	sstri 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
27		ss2in 4196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))))
28	17, 26, 27	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
29		mayetes3.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
30	4, 29	chjcli 30399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
31	30, 6	chub1i 30411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
32	4, 29, 6	chjassi 30428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
33	31, 32	sseqtri 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
34	29, 6	chjcli 30399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
35	4, 34	chjcli 30399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
36	35, 6	chub2i 30412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
37	33, 36	sstri 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
38		ss2in 4196	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∧ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
39	28, 37, 38	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
40		ss2in 4196	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))))
41	8, 39, 40	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
42	15, 24	chincli 30402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
43	42, 35	chincli 30402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
44		mayetes3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
45	44, 5	eqeltri 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ Cℋ
46	45	choccli 30249	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ∈ Cℋ
47		mayetes3.rx	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
48	6, 46, 47	lecmii 30545	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋)
49	6, 45	cmcm2i 30535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 𝐶ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋))
50	48, 49	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ 𝑋
51	50, 44	breqtri 5130	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
52	6, 9	chub2i 30412	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)
53	14, 1	chub2i 30412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
54	52, 53	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
55	6, 15, 54	lecmii 30545	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
56	6, 18	chub2i 30412	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)
57	23, 2	chub2i 30412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
58	56, 57	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
59	6, 24, 58	lecmii 30545	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
60	6, 15, 24, 55, 59	cm2mi 30568	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
61	6, 29	chub2i 30412	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)
62	34, 4	chub2i 30412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
63	61, 62	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
64	6, 35, 63	lecmii 30545	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
65	6, 42, 35, 60, 64	cm2mi 30568	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
66	6, 5, 43, 51, 65	fh3i 30565	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
67	6, 42, 35, 60, 64	fh3i 30565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
68	6, 15, 24, 55, 59	fh3i 30565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
69	68	ineq1i 4168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
70	67, 69	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
71	70	ineq2i 4169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
72	66, 71	eqtr2i 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
73	41, 72	sseqtri 3980	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
74	9, 18	chjcli 30399	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
75	74, 29	chjcli 30399	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
76	6, 75	chub2i 30412	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
77		mayetes3.ac	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78		mayetes3.af	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79		mayetes3.cf	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80		mayetes3.ab	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
81	1, 2	chub1i 30411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
82	3, 4	chub1i 30411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
83	82, 44	sseqtrri 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ 𝑋
84	81, 83	sstri 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
85	1, 45	chsscon3i 30403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
86	84, 85	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
87	47, 86	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
88	6, 1	chsscon2i 30405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
89	87, 88	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
90	80, 89	ssini 4191	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
91	9, 6	chdmj1i 30423	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
92	90, 91	sseqtrri 3981	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅))
93		mayetes3.cd	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
94	2, 1	chub2i 30412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
95	94, 83	sstri 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑋
96	2, 45	chsscon3i 30403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
97	95, 96	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
98	47, 97	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
99	6, 2	chsscon2i 30405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
100	98, 99	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
101	93, 100	ssini 4191	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
102	18, 6	chdmj1i 30423	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103	101, 102	sseqtrri 3981	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅))
104		mayetes3.fg	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
105	4, 3	chub2i 30412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
106	105, 44	sseqtrri 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ⊆ 𝑋
107	4, 45	chsscon3i 30403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108	106, 107	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
109	47, 108	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
110	6, 4	chsscon2i 30405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111	109, 110	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112	104, 111	ssini 4191	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
113	29, 6	chdmj1i 30423	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114	112, 113	sseqtrri 3981	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅))
115		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
116		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) = (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
117	74, 29, 6	chjjdiri 30466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
118	9, 18, 6	chjjdiri 30466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
119	118	oveq1i 7367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
120	117, 119	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
121	1, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120	mayete3i 30670	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
122	5, 43	chincli 30402	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ∈ Cℋ
123	75, 6	chjcli 30399	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
124	6, 122, 123	chlubii 30414	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)) → (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅))
125	76, 121, 124	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
126	73, 125	sstri 3953	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
127	44	oveq1i 7367	. . 3 ⊢ (𝑋 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅)
128		mayetes3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
129	127, 128	ineq12i 4170	. 2 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
130		mayetes3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
131	130	oveq1i 7367	. 2 ⊢ (𝑍 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
132	126, 129, 131	3sstr4i 3987	1 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   C_ℋ cch 29871  ⊥cort 29872   ∨_ℋ chj 29875   𝐶_ℋ ccm 29878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-chj 30252  df-pjh 30337  df-cm 30525

This theorem is referenced by: (None)