Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayetes3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayetes3i 29611
 Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a 𝐴C
mayetes3.b 𝐵C
mayetes3.c 𝐶C
mayetes3.d 𝐷C
mayetes3.f 𝐹C
mayetes3.g 𝐺C
mayetes3.r 𝑅C
mayetes3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayetes3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayetes3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9 𝐴C
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9 𝐶C
31, 2chjcli 29339 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ C
4 mayetes3.f . . . . . . . 8 𝐹C
53, 4chjcli 29339 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
6 mayetes3.r . . . . . . 7 𝑅C
75, 6chjcomi 29350 . . . . . 6 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) = (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
87eqimssi 3950 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵C
101, 9chjcli 29339 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
1110, 6chub1i 29351 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅)
121, 9, 6chjassi 29368 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅) = (𝐴 (𝐵 𝑅))
1311, 12sseqtri 3928 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
149, 6chjcli 29339 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ∈ C
151, 14chjcli 29339 . . . . . . . . 9 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ∈ C
1615, 6chub2i 29352 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
1713, 16sstri 3901 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷C
192, 18chjcli 29339 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐷) ∈ C
2019, 6chub1i 29351 . . . . . . . . 9 (𝐶 𝐷) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅)
212, 18, 6chjassi 29368 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅) = (𝐶 (𝐷 𝑅))
2220, 21sseqtri 3928 . . . . . . . 8 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
2318, 6chjcli 29339 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ∈ C
242, 23chjcli 29339 . . . . . . . . 9 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ∈ C
2524, 6chub2i 29352 . . . . . . . 8 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
2622, 25sstri 3901 . . . . . . 7 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
27 ss2in 4141 . . . . . . 7 (((𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) → ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))))
2817, 26, 27mp2an 691 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10 𝐺C
304, 29chjcli 29339 . . . . . . . . 9 (𝐹 𝐺) ∈ C
3130, 6chub1i 29351 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐺) ⊆ ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅)
324, 29, 6chjassi 29368 . . . . . . . 8 ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅) = (𝐹 (𝐺 𝑅))
3331, 32sseqtri 3928 . . . . . . 7 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
3429, 6chjcli 29339 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ∈ C
354, 34chjcli 29339 . . . . . . . 8 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ∈ C
3635, 6chub2i 29352 . . . . . . 7 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
3733, 36sstri 3901 . . . . . 6 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
38 ss2in 4141 . . . . . 6 ((((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∧ (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) → (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
3928, 37, 38mp2an 691 . . . . 5 (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
40 ss2in 4141 . . . . 5 (((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∧ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) → ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))))
418, 39, 40mp2an 691 . . . 4 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
4215, 24chincli 29342 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∈ C
4342, 35chincli 29342 . . . . . 6 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) ∈ C
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
4544, 5eqeltri 2848 . . . . . . . . . 10 𝑋C
4645choccli 29189 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ∈ C
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
486, 46, 47lecmii 29485 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋)
496, 45cmcm2i 29475 . . . . . . . 8 (𝑅 𝐶 𝑋𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋))
5048, 49mpbir 234 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 𝑋
5150, 44breqtri 5057 . . . . . 6 𝑅 𝐶 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
526, 9chub2i 29352 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐵 𝑅)
5314, 1chub2i 29352 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
5452, 53sstri 3901 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
556, 15, 54lecmii 29485 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐴 (𝐵 𝑅))
566, 18chub2i 29352 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐷 𝑅)
5723, 2chub2i 29352 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
5856, 57sstri 3901 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
596, 24, 58lecmii 29485 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐶 (𝐷 𝑅))
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 29508 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))
616, 29chub2i 29352 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐺 𝑅)
6234, 4chub2i 29352 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
6361, 62sstri 3901 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
646, 35, 63lecmii 29485 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 (𝐹 (𝐺 𝑅))
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 29508 . . . . . 6 𝑅 𝐶 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
666, 5, 43, 51, 65fh3i 29505 . . . . 5 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
676, 42, 35, 60, 64fh3i 29505 . . . . . . 7 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
686, 15, 24, 55, 59fh3i 29505 . . . . . . . 8 (𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) = ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
6968ineq1i 4113 . . . . . . 7 ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7067, 69eqtri 2781 . . . . . 6 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7170ineq2i 4114 . . . . 5 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7266, 71eqtr2i 2782 . . . 4 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7341, 72sseqtri 3928 . . 3 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
749, 18chjcli 29339 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ C
7574, 29chjcli 29339 . . . . 5 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∈ C
766, 75chub2i 29352 . . . 4 𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
77 mayetes3.ac . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78 mayetes3.af . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79 mayetes3.cf . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80 mayetes3.ab . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
811, 2chub1i 29351 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶)
823, 4chub1i 29351 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
8382, 44sseqtrri 3929 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐶) ⊆ 𝑋
8481, 83sstri 3901 . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
851, 45chsscon3i 29343 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
8684, 85mpbi 233 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
8747, 86sstri 3901 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
886, 1chsscon2i 29345 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
8987, 88mpbi 233 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
9080, 89ssini 4136 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
919, 6chdmj1i 29363 . . . . . 6 (⊥‘(𝐵 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
9290, 91sseqtrri 3929 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 𝑅))
93 mayetes3.cd . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
942, 1chub2i 29352 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶)
9594, 83sstri 3901 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑋
962, 45chsscon3i 29343 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
9795, 96mpbi 233 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
9847, 97sstri 3901 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
996, 2chsscon2i 29345 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
10098, 99mpbi 233 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
10193, 100ssini 4136 . . . . . 6 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
10218, 6chdmj1i 29363 . . . . . 6 (⊥‘(𝐷 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103101, 102sseqtrri 3929 . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 𝑅))
104 mayetes3.fg . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
1054, 3chub2i 29352 . . . . . . . . . . 11 𝐹 ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
106105, 44sseqtrri 3929 . . . . . . . . . 10 𝐹𝑋
1074, 45chsscon3i 29343 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108106, 107mpbi 233 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
10947, 108sstri 3901 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
1106, 4chsscon2i 29345 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111109, 110mpbi 233 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112104, 111ssini 4136 . . . . . 6 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
11329, 6chdmj1i 29363 . . . . . 6 (⊥‘(𝐺 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114112, 113sseqtrri 3929 . . . . 5 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 𝑅))
115 eqid 2758 . . . . 5 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
116 eqid 2758 . . . . 5 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) = (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
11774, 29, 6chjjdiri 29406 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅))
1189, 18, 6chjjdiri 29406 . . . . . . 7 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) = ((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅))
119118oveq1i 7160 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅)) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
120117, 119eqtri 2781 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 29610 . . . 4 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
1225, 43chincli 29342 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ∈ C
12375, 6chjcli 29339 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∈ C
1246, 122, 123chlubii 29354 . . . 4 ((𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∧ (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)) → (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅))
12576, 121, 124mp2an 691 . . 3 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12673, 125sstri 3901 . 2 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12744oveq1i 7160 . . 3 (𝑋 𝑅) = (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅)
128 mayetes3.y . . 3 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
129127, 128ineq12i 4115 . 2 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)))
130 mayetes3.z . . 3 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
131130oveq1i 7160 . 2 (𝑍 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
132126, 129, 1313sstr4i 3935 1 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   Cℋ cch 28811  ⊥cort 28812   ∨ℋ chj 28815   𝐶ℋ ccm 28818 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cc 9895  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655  ax-hilex 28881  ax-hfvadd 28882  ax-hvcom 28883  ax-hvass 28884  ax-hv0cl 28885  ax-hvaddid 28886  ax-hfvmul 28887  ax-hvmulid 28888  ax-hvmulass 28889  ax-hvdistr1 28890  ax-hvdistr2 28891  ax-hvmul0 28892  ax-hfi 28961  ax-his1 28964  ax-his2 28965  ax-his3 28966  ax-his4 28967  ax-hcompl 29084 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-acn 9404  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-lm 21929  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cfil 23955  df-cau 23956  df-cmet 23957  df-grpo 28375  df-gid 28376  df-ginv 28377  df-gdiv 28378  df-ablo 28427  df-vc 28441  df-nv 28474  df-va 28477  df-ba 28478  df-sm 28479  df-0v 28480  df-vs 28481  df-nmcv 28482  df-ims 28483  df-dip 28583  df-ssp 28604  df-ph 28695  df-cbn 28745  df-hnorm 28850  df-hba 28851  df-hvsub 28853  df-hlim 28854  df-hcau 28855  df-sh 29089  df-ch 29103  df-oc 29134  df-ch0 29135  df-shs 29190  df-chj 29192  df-pjh 29277  df-cm 29465 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator