Theorem mayetes3i 31673

Description: Mayet's equation E^*₃, derived from E₃. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayetes3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayetes3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayetes3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayetes3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayetes3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayetes3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayetes3.r	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
mayetes3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx	⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayetes3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayetes3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayetes3i	⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mayetes3.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mayetes3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 31401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
4		mayetes3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	3, 4	chjcli 31401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
6		mayetes3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
7	5, 6	chjcomi 31412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
8	7	eqimssi 3996	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
9		mayetes3.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
10	1, 9	chjcli 31401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
11	10, 6	chub1i 31413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅)
12	1, 9, 6	chjassi 31430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
13	11, 12	sseqtri 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
14	9, 6	chjcli 31401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
15	1, 14	chjcli 31401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
16	15, 6	chub2i 31414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
17	13, 16	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
18		mayetes3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
19	2, 18	chjcli 31401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
20	19, 6	chub1i 31413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅)
21	2, 18, 6	chjassi 31430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
22	20, 21	sseqtri 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
23	18, 6	chjcli 31401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
24	2, 23	chjcli 31401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
25	24, 6	chub2i 31414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
26	22, 25	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
27		ss2in 4196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))))
28	17, 26, 27	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
29		mayetes3.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
30	4, 29	chjcli 31401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
31	30, 6	chub1i 31413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
32	4, 29, 6	chjassi 31430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
33	31, 32	sseqtri 3984	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
34	29, 6	chjcli 31401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
35	4, 34	chjcli 31401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
36	35, 6	chub2i 31414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
37	33, 36	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
38		ss2in 4196	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∧ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
39	28, 37, 38	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
40		ss2in 4196	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))))
41	8, 39, 40	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
42	15, 24	chincli 31404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
43	42, 35	chincli 31404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
44		mayetes3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
45	44, 5	eqeltri 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ Cℋ
46	45	choccli 31251	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ∈ Cℋ
47		mayetes3.rx	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
48	6, 46, 47	lecmii 31547	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋)
49	6, 45	cmcm2i 31537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 𝐶ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋))
50	48, 49	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ 𝑋
51	50, 44	breqtri 5117	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
52	6, 9	chub2i 31414	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)
53	14, 1	chub2i 31414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
54	52, 53	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
55	6, 15, 54	lecmii 31547	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
56	6, 18	chub2i 31414	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)
57	23, 2	chub2i 31414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
58	56, 57	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
59	6, 24, 58	lecmii 31547	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
60	6, 15, 24, 55, 59	cm2mi 31570	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
61	6, 29	chub2i 31414	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)
62	34, 4	chub2i 31414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
63	61, 62	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
64	6, 35, 63	lecmii 31547	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
65	6, 42, 35, 60, 64	cm2mi 31570	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
66	6, 5, 43, 51, 65	fh3i 31567	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
67	6, 42, 35, 60, 64	fh3i 31567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
68	6, 15, 24, 55, 59	fh3i 31567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
69	68	ineq1i 4167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
70	67, 69	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
71	70	ineq2i 4168	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
72	66, 71	eqtr2i 2753	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
73	41, 72	sseqtri 3984	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
74	9, 18	chjcli 31401	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
75	74, 29	chjcli 31401	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
76	6, 75	chub2i 31414	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
77		mayetes3.ac	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78		mayetes3.af	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79		mayetes3.cf	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80		mayetes3.ab	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
81	1, 2	chub1i 31413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
82	3, 4	chub1i 31413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
83	82, 44	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ 𝑋
84	81, 83	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
85	1, 45	chsscon3i 31405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
86	84, 85	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
87	47, 86	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
88	6, 1	chsscon2i 31407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
89	87, 88	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
90	80, 89	ssini 4191	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
91	9, 6	chdmj1i 31425	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
92	90, 91	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅))
93		mayetes3.cd	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
94	2, 1	chub2i 31414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
95	94, 83	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑋
96	2, 45	chsscon3i 31405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
97	95, 96	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
98	47, 97	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
99	6, 2	chsscon2i 31407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
100	98, 99	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
101	93, 100	ssini 4191	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
102	18, 6	chdmj1i 31425	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103	101, 102	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅))
104		mayetes3.fg	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
105	4, 3	chub2i 31414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
106	105, 44	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ⊆ 𝑋
107	4, 45	chsscon3i 31405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108	106, 107	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
109	47, 108	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
110	6, 4	chsscon2i 31407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111	109, 110	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112	104, 111	ssini 4191	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
113	29, 6	chdmj1i 31425	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114	112, 113	sseqtrri 3985	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅))
115		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
116		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) = (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
117	74, 29, 6	chjjdiri 31468	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
118	9, 18, 6	chjjdiri 31468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
119	118	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
120	117, 119	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
121	1, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120	mayete3i 31672	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
122	5, 43	chincli 31404	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ∈ Cℋ
123	75, 6	chjcli 31401	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
124	6, 122, 123	chlubii 31416	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)) → (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅))
125	76, 121, 124	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
126	73, 125	sstri 3945	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
127	44	oveq1i 7359	. . 3 ⊢ (𝑋 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅)
128		mayetes3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
129	127, 128	ineq12i 4169	. 2 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
130		mayetes3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
131	130	oveq1i 7359	. 2 ⊢ (𝑍 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
132	126, 129, 131	3sstr4i 3987	1 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   C_ℋ cch 30873  ⊥cort 30874   ∨_ℋ chj 30877   𝐶_ℋ ccm 30880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029  ax-hcompl 31146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-lm 23114  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-dip 30645  df-ssp 30666  df-ph 30757  df-cbn 30807  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-hlim 30916  df-hcau 30917  df-sh 31151  df-ch 31165  df-oc 31196  df-ch0 31197  df-shs 31252  df-chj 31254  df-pjh 31339  df-cm 31527

This theorem is referenced by: (None)