Theorem sslin 4142

Description: Add left intersection to subclass relation. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
sslin	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐵))

Proof of Theorem sslin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4141	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		incom 4109	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
3		incom 4109	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐶)
4	1, 2, 3	3sstr4g 3966	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∩ 𝐴) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-in 4094

This theorem is used by:  ss2in  4144  inxpssres  5673  ssres2  6007  predrelss  6361  sbthlem7  9143  kmlem5  10263  canthnum  10764  ioodisj  13643  hashun3  14558  dprdres  20277  dprd2da  20291  dmdprdsplit2lem  20294  srhmsubc  20965  rhmsubclem3  20972  fldc  21074  fldhmsubc  21075  cnprest  23640  isnrm3  23710  regsep2  23727  llycmpkgen2  23902  kqdisj  24084  regr1lem  24091  fclsbas  24373  fclscf  24377  flimfnfcls  24380  isfcf  24386  metdstri  25204  nulmbl2  25890  uniioombllem4  25940  volsup2  25959  volcn  25960  itg1climres  26068  limcresi  26238  limciun  26247  rlimcnp2  27327  rplogsum  27887  chssoc  32131  cmbr4i  32236  5oai  32296  3oalem6  32302  mdslmd4i  32968  atcvat4i  33032  imadifxp  33270  swrdrndisj  33591  1arithufdlem4  34163  crefss  34564  pnfneige0  34666  cldbnd  37305  neibastop1  37338  neibastop2  37340  onint1  37428  oninhaus  37429  bj-idres  38286  cntotbnd  38933  polcon3N  41177  osumcllem4N  41219  lcfrlem2  42803  mapfzcons1  43932  coeq0i  43968  eldioph4b  44022  icccncfext  47112  rhmsubcALTVlem4  49596  srhmsubcALTV  49637  fldcALTV  49644  fldhmsubcALTV  49645  ssdisjdr  50134  sepnsepolem2  50252