MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgcl 22464
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl (𝐡 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
Proof of Theorem tgcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4916 . . . . . . . 8 (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜π΅))
21adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜π΅))
3 unitg 22462 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΅) = βˆͺ 𝐡)
43adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΅) = βˆͺ 𝐡)
52, 4sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡)
6 eluni2 4912 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑒 π‘₯ ∈ 𝑑)
7 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑑 ∈ 𝑒) β†’ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅))
8 eltg2b 22454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑)))
9 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑)))
108, 9syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))))
1110imp31 419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
1211an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
137, 12sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) ∧ (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑑 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
1413an42s 660 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
15 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ 𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑒)
16 sstr2 3989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
1715, 16syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
1817anim2d 613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
1918reximdv 3171 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
2221rexlimdvaa 3157 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑒 π‘₯ ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
236, 22biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2423ralrimiv 3146 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
255, 24jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2625ex 414 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ (βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))))
27 eltg2 22453 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))))
2826, 27sylibrd 259 . . 3 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2928alrimiv 1931 . 2 (𝐡 ∈ TopBases β†’ βˆ€π‘’(𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
30 inss1 4228 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† 𝑒
31 tg1 22459 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡)
3230, 31sstrid 3993 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡)
3332ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡)
34 eltg2 22453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))))
3534simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))
36 rsp 3245 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
38 eltg2 22453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
3938simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))
40 rsp 3245 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))
4237, 41im2anan9 621 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
43 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑣))
44 reeanv 3227 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))
4542, 43, 443imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
4645anandis 677 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
47 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ π‘₯ ∈ 𝑀))
4847biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))
49 ss2in 4236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))
5048, 49anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) ∧ (𝑧 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
5150an4s 659 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
52 basis2 22446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)))
5352adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)))
5453adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)))
55 sstr2 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀) β†’ ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
5756anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
5857reximdv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
6251, 61sylanr2 682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
6362rexlimdvaa 3157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6463rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6564ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
6665a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
6766imp 408 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6846, 67syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6968ralrimiv 3146 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
7033, 69jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
7170ex 414 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
72 eltg2 22453 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
7371, 72sylibrd 259 . . 3 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅)))
7473ralrimivv 3199 . 2 (𝐡 ∈ TopBases β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅))
75 fvex 6902 . . 3 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
76 istopg 22389 . . 3 ((topGenβ€˜π΅) ∈ V β†’ ((topGenβ€˜π΅) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘’(𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅))))
7775, 76ax-mp 5 . 2 ((topGenβ€˜π΅) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘’(𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅)))
7829, 74, 77sylanbrc 584 1 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6541  topGenctg 17380  Topctop 22387  TopBasesctb 22440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-topgen 17386  df-top 22388  df-bases 22441
This theorem is referenced by:  tgclb  22465  tgtopon  22466  bastop  22476  elcls3  22579  resttop  22656  leordtval2  22708  tgcmp  22897  2ndctop  22943  2ndcsb  22945  2ndcsep  22955  txtop  23065  pttop  23078  xkotop  23084  alexsubALT  23547  retop  24270  onsuctop  35307  kelac2lem  41792
  Copyright terms: Public domain W3C validator