MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcl 21144
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4681 . . . . . . . 8 (𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑢 (topGen‘𝐵))
21adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑢 (topGen‘𝐵))
3 unitg 21142 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
43adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
52, 4sseqtrd 3866 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑢 𝐵)
6 eluni2 4662 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑢 ↔ ∃𝑡𝑢 𝑥𝑡)
7 ssel2 3822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡 ∈ (topGen‘𝐵))
8 eltg2b 21134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑡 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝑡𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡)))
9 rsp 3138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑡𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡) → (𝑥𝑡 → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡)))
108, 9syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑡 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑥𝑡 → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡))))
1110imp31 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑡 ∈ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑡) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡))
1211an32s 644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (topGen‘𝐵)) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡))
137, 12sylan2 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥𝑡) ∧ (𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑡𝑢)) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡))
1413an42s 653 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ (𝑡𝑢𝑥𝑡)) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡))
15 elssuni 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝑢𝑡 𝑢)
16 sstr2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑡 → (𝑡 𝑢𝑦 𝑢))
1715, 16syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝑢 → (𝑦𝑡𝑦 𝑢))
1817anim2d 607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡𝑢 → ((𝑥𝑦𝑦𝑡) → (𝑥𝑦𝑦 𝑢)))
1918reximdv 3224 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝑢 → (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢)))
2019ad2antrl 721 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ (𝑡𝑢𝑥𝑡)) → (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝑡) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢)))
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ (𝑡𝑢𝑥𝑡)) → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢))
2221rexlimdvaa 3241 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (∃𝑡𝑢 𝑥𝑡 → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢)))
236, 22syl5bi 234 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 𝑢 → ∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢)))
2423ralrimiv 3174 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∀𝑥 𝑢𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢))
255, 24jca 509 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ( 𝑢 𝐵 ∧ ∀𝑥 𝑢𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢)))
2625ex 403 . . . 4 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) → ( 𝑢 𝐵 ∧ ∀𝑥 𝑢𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢))))
27 eltg2 21133 . . . 4 (𝐵 ∈ TopBases → ( 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ( 𝑢 𝐵 ∧ ∀𝑥 𝑢𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦 𝑢))))
2826, 27sylibrd 251 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)))
2928alrimiv 2028 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → ∀𝑢(𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)))
30 inss1 4057 . . . . . . . 8 (𝑢𝑣) ⊆ 𝑢
31 tg1 21139 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑢 𝐵)
3230, 31syl5ss 3838 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑢𝑣) ⊆ 𝐵)
3332ad2antrl 721 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑢𝑣) ⊆ 𝐵)
34 eltg2 21133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝑢 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑢𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢))))
3534simplbda 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) → ∀𝑥𝑢𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢))
36 rsp 3138 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑢𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢) → (𝑥𝑢 → ∃𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑢 → ∃𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢)))
38 eltg2 21133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑣 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝑣 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑣𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣))))
3938simplbda 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)) → ∀𝑥𝑣𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣))
40 rsp 3138 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑣𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣) → (𝑥𝑣 → ∃𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑣 → ∃𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣)))
4237, 41im2anan9 615 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → ((𝑥𝑢𝑥𝑣) → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ ∃𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣))))
43 elin 4023 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑣))
44 reeanv 3317 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)) ↔ (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ ∃𝑤𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑣)))
4542, 43, 443imtr4g 288 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣))))
4645anandis 670 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣))))
47 elin 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ↔ (𝑥𝑧𝑥𝑤))
4847biimpri 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑧𝑥𝑤) → 𝑥 ∈ (𝑧𝑤))
49 ss2in 4065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣))
5048, 49anim12i 608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝑧𝑥𝑤) ∧ (𝑧𝑢𝑤𝑣)) → (𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ∧ (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣)))
5150an4s 652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)) → (𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ∧ (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣)))
52 basis2 21126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑤𝐵𝑥 ∈ (𝑧𝑤))) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)))
5352adantllr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑤𝐵𝑥 ∈ (𝑧𝑤))) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)))
5453adantrrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ∧ (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣)))) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)))
55 sstr2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → 𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (𝑡 ⊆ (𝑧𝑤) → 𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))
5756anim2d 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → ((𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)) → (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
5857reximdv 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
5958adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ∧ (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣)) → (∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
6059ad2antll 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ∧ (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣)))) → (∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑧𝑤)) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (𝑧𝑤) ∧ (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣)))) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))
6251, 61sylanr2 675 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑤𝐵 ∧ ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)))) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))
6362rexlimdvaa 3241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ∧ 𝑧𝐵) → (∃𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
6463rexlimdva 3240 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → (∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
6564ex 403 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → (∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))))
6665a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ TopBases → ((𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣))) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))))
6766imp 397 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑧𝐵𝑤𝐵 ((𝑥𝑧𝑧𝑢) ∧ (𝑥𝑤𝑤𝑣)))) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
6846, 67syldan 587 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) → ∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
6968ralrimiv 3174 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → ∀𝑥 ∈ (𝑢𝑣)∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))
7033, 69jca 509 . . . . 5 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵))) → ((𝑢𝑣) ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑢𝑣)∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣))))
7170ex 403 . . . 4 (𝐵 ∈ TopBases → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)) → ((𝑢𝑣) ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑢𝑣)∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))))
72 eltg2 21133 . . . 4 (𝐵 ∈ TopBases → ((𝑢𝑣) ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ((𝑢𝑣) ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑢𝑣)∃𝑡𝐵 (𝑥𝑡𝑡 ⊆ (𝑢𝑣)))))
7371, 72sylibrd 251 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑢𝑣) ∈ (topGen‘𝐵)))
7473ralrimivv 3179 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)(𝑢𝑣) ∈ (topGen‘𝐵))
75 fvex 6446 . . 3 (topGen‘𝐵) ∈ V
76 istopg 21070 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ V → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ (∀𝑢(𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)(𝑢𝑣) ∈ (topGen‘𝐵))))
7775, 76ax-mp 5 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ (∀𝑢(𝑢 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝐵)(𝑢𝑣) ∈ (topGen‘𝐵)))
7829, 74, 77sylanbrc 580 1 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wal 1656   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  wrex 3118  Vcvv 3414  cin 3797  wss 3798   cuni 4658  cfv 6123  topGenctg 16451  Topctop 21068  TopBasesctb 21120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fv 6131  df-topgen 16457  df-top 21069  df-bases 21121
This theorem is referenced by:  tgclb  21145  tgtopon  21146  bastop  21156  elcls3  21258  resttop  21335  leordtval2  21387  tgcmp  21575  2ndctop  21621  2ndcsb  21623  2ndcsep  21633  txtop  21743  pttop  21756  xkotop  21762  alexsubALT  22225  retop  22935  onsuctop  32965  kelac2lem  38477
  Copyright terms: Public domain W3C validator