MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgcl 22472
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl (𝐡 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
Proof of Theorem tgcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4917 . . . . . . . 8 (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜π΅))
21adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜π΅))
3 unitg 22470 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΅) = βˆͺ 𝐡)
43adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π΅) = βˆͺ 𝐡)
52, 4sseqtrd 4023 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡)
6 eluni2 4913 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑒 π‘₯ ∈ 𝑑)
7 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑑 ∈ 𝑒) β†’ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅))
8 eltg2b 22462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑)))
9 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑)))
108, 9syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))))
1110imp31 419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
1211an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
137, 12sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) ∧ (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑑 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
1413an42s 660 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑))
15 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ 𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑒)
16 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑑 βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
1715, 16syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
1817anim2d 613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
1918reximdv 3171 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑑) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
2221rexlimdvaa 3157 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑒 π‘₯ ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
236, 22biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2423ralrimiv 3146 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))
255, 24jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒)))
2625ex 414 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ (βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))))
27 eltg2 22461 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (βˆͺ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π‘’βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑒))))
2826, 27sylibrd 259 . . 3 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2928alrimiv 1931 . 2 (𝐡 ∈ TopBases β†’ βˆ€π‘’(𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
30 inss1 4229 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† 𝑒
31 tg1 22467 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡)
3230, 31sstrid 3994 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡)
3332ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡)
34 eltg2 22461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (𝑒 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))))
3534simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒))
36 rsp 3245 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒)))
38 eltg2 22461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
3938simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))
40 rsp 3245 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))
4237, 41im2anan9 621 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
43 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑣))
44 reeanv 3227 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))
4542, 43, 443imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ (𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
4645anandis 677 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))))
47 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ π‘₯ ∈ 𝑀))
4847biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))
49 ss2in 4237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))
5048, 49anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) ∧ (𝑧 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
5150an4s 659 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
52 basis2 22454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)))
5352adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)))
5453adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)))
55 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀) β†’ ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
5756anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
5857reximdv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑧 ∩ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (𝑧 ∩ 𝑀) ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
6251, 61sylanr2 682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
6362rexlimdvaa 3157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6463rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6564ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
6665a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
6766imp 408 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑒) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6846, 67syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
6968ralrimiv 3146 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))
7033, 69jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅))) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣))))
7170ex 414 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
72 eltg2 22461 . . . 4 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ ((𝑒 ∩ 𝑣) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ 𝑣)βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑒 ∩ 𝑣)))))
7371, 72sylibrd 259 . . 3 (𝐡 ∈ TopBases β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅)))
7473ralrimivv 3199 . 2 (𝐡 ∈ TopBases β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅))
75 fvex 6905 . . 3 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
76 istopg 22397 . . 3 ((topGenβ€˜π΅) ∈ V β†’ ((topGenβ€˜π΅) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘’(𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅))))
7775, 76ax-mp 5 . 2 ((topGenβ€˜π΅) ∈ Top ↔ (βˆ€π‘’(𝑒 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝑒 ∩ 𝑣) ∈ (topGenβ€˜π΅)))
7829, 74, 77sylanbrc 584 1 (𝐡 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  tgclb  22473  tgtopon  22474  bastop  22484  elcls3  22587  resttop  22664  leordtval2  22716  tgcmp  22905  2ndctop  22951  2ndcsb  22953  2ndcsep  22963  txtop  23073  pttop  23086  xkotop  23092  alexsubALT  23555  retop  24278  onsuctop  35318  kelac2lem  41806
  Copyright terms: Public domain W3C validator