MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1 29272
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐸(𝑣)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
2 vtxdginducedm1.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
31, 2elnelun 4382 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐼) = dom 𝐸
43eqcomi 2733 . . . . . . . . . 10 dom 𝐸 = (𝐽𝐼)
54rabeqi 3437 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
6 rabun2 4306 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
75, 6eqtri 2752 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
87fveq2i 6885 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = (♯‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
9 vtxdginducedm1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
109fvexi 6896 . . . . . . . . . 10 𝐸 ∈ V
1110dmex 7896 . . . . . . . . 9 dom 𝐸 ∈ V
121, 11rab2ex 5326 . . . . . . . 8 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V
132, 11rab2ex 5326 . . . . . . . 8 {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V
14 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐽
15 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐼
16 ss2in 4229 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐼) → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼))
1714, 15, 16mp2an 689 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼)
181, 2elneldisj 4381 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐼) = ∅
1918sseq2i 4004 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼) ↔ ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ ∅)
20 ss0 4391 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ ∅ → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅)
2119, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼) → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅)
2217, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅
23 hashunx 14344 . . . . . . . 8 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V ∧ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V ∧ ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅) → (♯‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})))
2412, 13, 22, 23mp3an 1457 . . . . . . 7 (♯‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
258, 24eqtri 2752 . . . . . 6 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
264rabeqi 3437 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
27 rabun2 4306 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
2826, 27eqtri 2752 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
2928fveq2i 6885 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = (♯‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
301, 11rab2ex 5326 . . . . . . . 8 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V
312, 11rab2ex 5326 . . . . . . . 8 {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V
32 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐽
33 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐼
34 ss2in 4229 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐼) → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼))
3532, 33, 34mp2an 689 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼)
3618sseq2i 4004 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼) ↔ ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ ∅)
37 ss0 4391 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ ∅ → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅)
3836, 37sylbi 216 . . . . . . . . 9 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼) → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅)
3935, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅
40 hashunx 14344 . . . . . . . 8 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V ∧ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V ∧ ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅) → (♯‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
4130, 31, 39, 40mp3an 1457 . . . . . . 7 (♯‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
4229, 41eqtri 2752 . . . . . 6 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
4325, 42oveq12i 7414 . . . . 5 ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
44 hashxnn0 14297 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
4512, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
47 hashxnn0 14297 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
4813, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
50 hashxnn0 14297 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5130, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*
5251a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
53 hashxnn0 14297 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5431, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5646, 49, 52, 55xnn0add4d 13281 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))))
57 xnn0xaddcl 13212 . . . . . . . . . 10 (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*)
5845, 51, 57mp2an 689 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*
59 xnn0xr 12547 . . . . . . . . 9 (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0* → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*
61 xnn0xaddcl 13212 . . . . . . . . . 10 (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*) → ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*)
6248, 54, 61mp2an 689 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*
63 xnn0xr 12547 . . . . . . . . 9 (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0* → ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*
65 xaddcom 13217 . . . . . . . 8 ((((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ* ∧ ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))))
6660, 64, 65mp2an 689 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
67 vtxdginducedm1.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
68 vtxdginducedm1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
69 vtxdginducedm1.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐸𝐼)
70 vtxdginducedm1.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7167, 9, 68, 2, 69, 70, 1vtxdginducedm1lem4 29271 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = 0)
7271oveq2d 7418 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0))
73 xnn0xr 12547 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ*)
7445, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ*
75 xaddrid 13218 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
7772, 76eqtrdi 2780 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
78 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑙))
7978eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 ∈ (𝐸𝑘) ↔ 𝑣 ∈ (𝐸𝑙)))
8079cbvrabv 3434 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}
8180fveq2i 6885 . . . . . . . . 9 (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})
8277, 81eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
8382oveq2d 7418 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8466, 83eqtrid 2776 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8556, 84eqtrd 2764 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8643, 85eqtrid 2776 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8767, 9, 68, 2, 69, 70vtxdginducedm1lem2 29269 . . . . . . . . . 10 dom (iEdg‘𝑆) = 𝐼
8887rabeqi 3437 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}
8967, 9, 68, 2, 69, 70vtxdginducedm1lem3 29270 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐼 → ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = (𝐸𝑘))
9089eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐼 → (𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) ↔ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)))
9190rabbiia 3428 . . . . . . . . 9 {𝑘𝐼𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
9288, 91eqtri 2752 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
9392fveq2i 6885 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) = (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
9487rabeqi 3437 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}
9589eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐼 → (((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣} ↔ (𝐸𝑘) = {𝑣}))
9695rabbiia 3428 . . . . . . . . 9 {𝑘𝐼 ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
9794, 96eqtri 2752 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
9897fveq2i 6885 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}) = (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
9993, 98oveq12i 7414 . . . . . 6 ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
10099eqcomi 2733 . . . . 5 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}))
101100oveq1i 7412 . . . 4 (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
10286, 101eqtrdi 2780 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
103 eldifi 4119 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝑉)
104 eqid 2724 . . . . 5 dom 𝐸 = dom 𝐸
10567, 9, 104vtxdgval 29197 . . . 4 (𝑣𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
106103, 105syl 17 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
10770fveq2i 6885 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
10867fvexi 6896 . . . . . . . . . 10 𝑉 ∈ V
109 difexg 5318 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
11068, 109eqeltrid 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
111108, 110ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
112 resexg 6018 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ V → (𝐸𝐼) ∈ V)
11369, 112eqeltrid 2829 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ V → 𝑃 ∈ V)
11410, 113ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ V
115111, 114opvtxfvi 28741 . . . . . . . 8 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
116107, 115eqtri 2752 . . . . . . 7 (Vtx‘𝑆) = 𝐾
117116eleq2i 2817 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆) ↔ 𝑣𝐾)
11868eleq2i 2817 . . . . . 6 (𝑣𝐾𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
119117, 118sylbbr 235 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆))
120 eqid 2724 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
121 eqid 2724 . . . . . 6 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
122 eqid 2724 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝑆) = dom (iEdg‘𝑆)
123120, 121, 122vtxdgval 29197 . . . . 5 (𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})))
124119, 123syl 17 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})))
125124oveq1d 7417 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
126102, 106, 1253eqtr4d 2774 . 2 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
127126rgen 3055 1 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3038  wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3938  cun 3939  cin 3940  wss 3941  c0 4315  {csn 4621  cop 4627  dom cdm 5667  cres 5669  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  *cxr 11245  0*cxnn0 12542   +𝑒 cxad 13088  chash 14288  Vtxcvtx 28728  iEdgciedg 28729  VtxDegcvtxdg 29194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-uz 12821  df-xadd 13091  df-fz 13483  df-hash 14289  df-vtx 28730  df-iedg 28731  df-vtxdg 29195
This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1fi  29273
  Copyright terms: Public domain W3C validator