MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strleun 17090
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
strleun.g 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
strleun.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
strleun (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
2 isstruct 17085 . . . . . 6 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
31, 2mpbi 229 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
43simp1i 1140 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵)
54simp1i 1140 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
6 strleun.g . . . . . 6 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
7 isstruct 17085 . . . . . 6 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
86, 7mpbi 229 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
98simp1i 1140 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷)
109simp2i 1141 . . 3 𝐷 ∈ ℕ
114simp3i 1142 . . . . 5 𝐴𝐵
124simp2i 1141 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ
1312nnrei 12221 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
149simp1i 1140 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ
1514nnrei 12221 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
16 strleun.l . . . . . 6 𝐵 < 𝐶
1713, 15, 16ltleii 11337 . . . . 5 𝐵𝐶
185nnrei 12221 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
1918, 13, 15letri 11343 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
2011, 17, 19mp2an 691 . . . 4 𝐴𝐶
219simp3i 1142 . . . 4 𝐶𝐷
2210nnrei 12221 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2318, 15, 22letri 11343 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐷) → 𝐴𝐷)
2420, 21, 23mp2an 691 . . 3 𝐴𝐷
255, 10, 243pm3.2i 1340 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷)
263simp2i 1141 . . . . 5 Fun (𝐹 ∖ {∅})
278simp2i 1141 . . . . 5 Fun (𝐺 ∖ {∅})
2826, 27pm3.2i 472 . . . 4 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29 difss 4132 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30 dmss 5903 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
323simp3i 1142 . . . . . . 7 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
3331, 32sstri 3992 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34 difss 4132 . . . . . . . 8 (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35 dmss 5903 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
378simp3i 1142 . . . . . . 7 dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
3836, 37sstri 3992 . . . . . 6 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39 ss2in 4237 . . . . . 6 ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
4033, 38, 39mp2an 691 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41 fzdisj 13528 . . . . . 6 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43 sseq0 4400 . . . . 5 (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
4440, 42, 43mp2an 691 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45 funun 6595 . . . 4 (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4628, 44, 45mp2an 691 . . 3 Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47 difundir 4281 . . . 4 ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
4847funeqi 6570 . . 3 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4946, 48mpbir 230 . 2 Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅})
50 dmun 5911 . . 3 dom (𝐹𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
5112nnzi 12586 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
5210nnzi 12586 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
5313, 15, 22letri 11343 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶𝐶𝐷) → 𝐵𝐷)
5417, 21, 53mp2an 691 . . . . . . 7 𝐵𝐷
55 eluz2 12828 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐷))
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1342 . . . . . 6 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)
57 fzss2 13541 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
5932, 58sstri 3992 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
605nnzi 12586 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
6114nnzi 12586 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℤ
62 eluz2 12828 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1342 . . . . . 6 𝐶 ∈ (ℤ𝐴)
64 fzss1 13540 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
6637, 65sstri 3992 . . . 4 dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
6759, 66unssi 4186 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
6850, 67eqsstri 4017 . 2 dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69 isstruct 17085 . 2 ((𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1342 1 (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {csn 4629  cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  cfv 6544  (class class class)co 7409   < clt 11248  cle 11249  cn 12212  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484   Struct cstr 17079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080
This theorem is referenced by:  strle2  17092  strle3  17093  srngstr  17254  lmodstr  17270  ipsstr  17281  phlstr  17291  odrngstr  17348  imasvalstr  17397  prdsvalstr  17398  ipostr  18482  cnfldstr  20946  psrvalstr  21469  eengstr  28238  idlsrgstr  32616  algstr  41919
  Copyright terms: Public domain W3C validator