MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strleun 16583
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
strleun.g 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
strleun.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
strleun (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
2 isstruct 16488 . . . . . 6 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
31, 2mpbi 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
43simp1i 1133 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵)
54simp1i 1133 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
6 strleun.g . . . . . 6 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
7 isstruct 16488 . . . . . 6 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
86, 7mpbi 231 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
98simp1i 1133 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷)
109simp2i 1134 . . 3 𝐷 ∈ ℕ
114simp3i 1135 . . . . 5 𝐴𝐵
124simp2i 1134 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ
1312nnrei 11639 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
149simp1i 1133 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ
1514nnrei 11639 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
16 strleun.l . . . . . 6 𝐵 < 𝐶
1713, 15, 16ltleii 10755 . . . . 5 𝐵𝐶
185nnrei 11639 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
1918, 13, 15letri 10761 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
2011, 17, 19mp2an 688 . . . 4 𝐴𝐶
219simp3i 1135 . . . 4 𝐶𝐷
2210nnrei 11639 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2318, 15, 22letri 10761 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐷) → 𝐴𝐷)
2420, 21, 23mp2an 688 . . 3 𝐴𝐷
255, 10, 243pm3.2i 1333 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷)
263simp2i 1134 . . . . 5 Fun (𝐹 ∖ {∅})
278simp2i 1134 . . . . 5 Fun (𝐺 ∖ {∅})
2826, 27pm3.2i 471 . . . 4 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29 difss 4111 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30 dmss 5769 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
323simp3i 1135 . . . . . . 7 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
3331, 32sstri 3979 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34 difss 4111 . . . . . . . 8 (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35 dmss 5769 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
378simp3i 1135 . . . . . . 7 dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
3836, 37sstri 3979 . . . . . 6 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39 ss2in 4216 . . . . . 6 ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
4033, 38, 39mp2an 688 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41 fzdisj 12927 . . . . . 6 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43 sseq0 4356 . . . . 5 (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
4440, 42, 43mp2an 688 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45 funun 6396 . . . 4 (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4628, 44, 45mp2an 688 . . 3 Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47 difundir 4260 . . . 4 ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
4847funeqi 6372 . . 3 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4946, 48mpbir 232 . 2 Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅})
50 dmun 5777 . . 3 dom (𝐹𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
5112nnzi 11998 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
5210nnzi 11998 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
5313, 15, 22letri 10761 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶𝐶𝐷) → 𝐵𝐷)
5417, 21, 53mp2an 688 . . . . . . 7 𝐵𝐷
55 eluz2 12241 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐷))
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1335 . . . . . 6 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)
57 fzss2 12940 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
5932, 58sstri 3979 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
605nnzi 11998 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
6114nnzi 11998 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℤ
62 eluz2 12241 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1335 . . . . . 6 𝐶 ∈ (ℤ𝐴)
64 fzss1 12939 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
6637, 65sstri 3979 . . . 4 dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
6759, 66unssi 4164 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
6850, 67eqsstri 4004 . 2 dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69 isstruct 16488 . 2 ((𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1335 1 (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {csn 4563  cop 4569   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  Fun wfun 6345  cfv 6351  (class class class)co 7151   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885   Struct cstr 16471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477
This theorem is referenced by:  strle2  16585  strle3  16586  srngstr  16619  lmodstr  16628  ipsstr  16635  phlstr  16645  odrngstr  16671  imasvalstr  16717  prdsvalstr  16718  ipostr  17755  psrvalstr  20064  cnfldstr  20465  eengstr  26682  algstr  39644
  Copyright terms: Public domain W3C validator