Theorem strleun 17127

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
strleun.g	⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
strleun.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
strleun	⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
2		isstruct 17122	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
4	3	simp1i 1140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
5	4	simp1i 1140	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
6		strleun.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
7		isstruct 17122	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
9	8	simp1i 1140	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)
10	9	simp2i 1141	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
11	4	simp3i 1142	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
12	4	simp2i 1141	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
13	12	nnrei 12183	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	9	simp1i 1140	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
15	14	nnrei 12183	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16		strleun.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < 𝐶
17	13, 15, 16	ltleii 11269	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
18	5	nnrei 12183	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
19	18, 13, 15	letri 11275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
20	11, 17, 19	mp2an 693	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
21	9	simp3i 1142	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 𝐷
22	10	nnrei 12183	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
23	18, 15, 22	letri 11275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≤ 𝐷)
24	20, 21, 23	mp2an 693	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐷
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷)
26	3	simp2i 1141	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐹 ∖ {∅})
27	8	simp2i 1141	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐺 ∖ {∅})
28	26, 27	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29		difss 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30		dmss 5857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
32	3	simp3i 1142	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
33	31, 32	sstri 3931	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34		difss 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35		dmss 5857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
37	8	simp3i 1142	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
38	36, 37	sstri 3931	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39		ss2in 4185	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
40	33, 38, 39	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41		fzdisj 13505	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43		sseq0 4343	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
44	40, 42, 43	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45		funun 6544	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
46	28, 44, 45	mp2an 693	. . 3 ⊢ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47		difundir 4231	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
48	47	funeqi 6519	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
49	46, 48	mpbir 231	. 2 ⊢ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅})
50		dmun 5865	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
51	12	nnzi 12551	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
52	10	nnzi 12551	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
53	13, 15, 22	letri 11275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ≤ 𝐷)
54	17, 21, 53	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐷
55		eluz2 12794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
56	51, 52, 54, 55	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)
57		fzss2 13518	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
59	32, 58	sstri 3931	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
60	5	nnzi 12551	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	14	nnzi 12551	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
62		eluz2 12794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
63	60, 61, 20, 62	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴)
64		fzss1 13517	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
66	37, 65	sstri 3931	. . . 4 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
67	59, 66	unssi 4131	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
68	50, 67	eqsstri 3968	. 2 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69		isstruct 17122	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
70	25, 49, 68, 69	mpbir3an 1343	1 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461   Struct cstr 17116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117

This theorem is referenced by:  strle2  17129  strle3  17130  srngstr  17272  lmodstr  17288  ipsstr  17299  phlstr  17309  odrngstr  17366  imasvalstr  17414  prdsvalstr  17415  ipostr  18495  cnfldstr  21354  psrvalstr  21896  eengstr  29049  idlsrgstr  33562  algstr  43601