Theorem strleun 17174

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
strleun.g	⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
strleun.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
strleun	⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
2		isstruct 17169	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
4	3	simp1i 1139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
5	4	simp1i 1139	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
6		strleun.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
7		isstruct 17169	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
9	8	simp1i 1139	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)
10	9	simp2i 1140	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
11	4	simp3i 1141	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
12	4	simp2i 1140	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
13	12	nnrei 12247	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	9	simp1i 1139	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
15	14	nnrei 12247	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16		strleun.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < 𝐶
17	13, 15, 16	ltleii 11356	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
18	5	nnrei 12247	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
19	18, 13, 15	letri 11362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
20	11, 17, 19	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
21	9	simp3i 1141	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 𝐷
22	10	nnrei 12247	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
23	18, 15, 22	letri 11362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≤ 𝐷)
24	20, 21, 23	mp2an 692	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐷
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷)
26	3	simp2i 1140	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐹 ∖ {∅})
27	8	simp2i 1140	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐺 ∖ {∅})
28	26, 27	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29		difss 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30		dmss 5882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
32	3	simp3i 1141	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
33	31, 32	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34		difss 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35		dmss 5882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
37	8	simp3i 1141	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
38	36, 37	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39		ss2in 4220	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
40	33, 38, 39	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41		fzdisj 13566	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43		sseq0 4378	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
44	40, 42, 43	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45		funun 6581	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
46	28, 44, 45	mp2an 692	. . 3 ⊢ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47		difundir 4266	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
48	47	funeqi 6556	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
49	46, 48	mpbir 231	. 2 ⊢ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅})
50		dmun 5890	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
51	12	nnzi 12614	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
52	10	nnzi 12614	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
53	13, 15, 22	letri 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ≤ 𝐷)
54	17, 21, 53	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐷
55		eluz2 12856	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
56	51, 52, 54, 55	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)
57		fzss2 13579	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
59	32, 58	sstri 3968	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
60	5	nnzi 12614	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	14	nnzi 12614	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
62		eluz2 12856	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
63	60, 61, 20, 62	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴)
64		fzss1 13578	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
66	37, 65	sstri 3968	. . . 4 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
67	59, 66	unssi 4166	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
68	50, 67	eqsstri 4005	. 2 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69		isstruct 17169	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
70	25, 49, 68, 69	mpbir3an 1342	1 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12238  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13522   Struct cstr 17163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164

This theorem is referenced by:  strle2  17176  strle3  17177  srngstr  17321  lmodstr  17337  ipsstr  17348  phlstr  17358  odrngstr  17415  imasvalstr  17463  prdsvalstr  17464  ipostr  18537  cnfldstr  21315  cnfldstrOLD  21330  psrvalstr  21874  eengstr  28905  idlsrgstr  33463  algstr  43144