MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strleun 17094
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
strleun.g 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
strleun.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
strleun (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
2 isstruct 17089 . . . . . 6 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
31, 2mpbi 229 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
43simp1i 1137 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵)
54simp1i 1137 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
6 strleun.g . . . . . 6 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
7 isstruct 17089 . . . . . 6 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
86, 7mpbi 229 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
98simp1i 1137 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷)
109simp2i 1138 . . 3 𝐷 ∈ ℕ
114simp3i 1139 . . . . 5 𝐴𝐵
124simp2i 1138 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ
1312nnrei 12225 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
149simp1i 1137 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ
1514nnrei 12225 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
16 strleun.l . . . . . 6 𝐵 < 𝐶
1713, 15, 16ltleii 11341 . . . . 5 𝐵𝐶
185nnrei 12225 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
1918, 13, 15letri 11347 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
2011, 17, 19mp2an 688 . . . 4 𝐴𝐶
219simp3i 1139 . . . 4 𝐶𝐷
2210nnrei 12225 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2318, 15, 22letri 11347 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐷) → 𝐴𝐷)
2420, 21, 23mp2an 688 . . 3 𝐴𝐷
255, 10, 243pm3.2i 1337 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷)
263simp2i 1138 . . . . 5 Fun (𝐹 ∖ {∅})
278simp2i 1138 . . . . 5 Fun (𝐺 ∖ {∅})
2826, 27pm3.2i 469 . . . 4 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29 difss 4130 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30 dmss 5901 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
323simp3i 1139 . . . . . . 7 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
3331, 32sstri 3990 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34 difss 4130 . . . . . . . 8 (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35 dmss 5901 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
378simp3i 1139 . . . . . . 7 dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
3836, 37sstri 3990 . . . . . 6 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39 ss2in 4235 . . . . . 6 ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
4033, 38, 39mp2an 688 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41 fzdisj 13532 . . . . . 6 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43 sseq0 4398 . . . . 5 (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
4440, 42, 43mp2an 688 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45 funun 6593 . . . 4 (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4628, 44, 45mp2an 688 . . 3 Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47 difundir 4279 . . . 4 ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
4847funeqi 6568 . . 3 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4946, 48mpbir 230 . 2 Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅})
50 dmun 5909 . . 3 dom (𝐹𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
5112nnzi 12590 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
5210nnzi 12590 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
5313, 15, 22letri 11347 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶𝐶𝐷) → 𝐵𝐷)
5417, 21, 53mp2an 688 . . . . . . 7 𝐵𝐷
55 eluz2 12832 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐷))
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1339 . . . . . 6 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)
57 fzss2 13545 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
5932, 58sstri 3990 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
605nnzi 12590 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
6114nnzi 12590 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℤ
62 eluz2 12832 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1339 . . . . . 6 𝐶 ∈ (ℤ𝐴)
64 fzss1 13544 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
6637, 65sstri 3990 . . . 4 dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
6759, 66unssi 4184 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
6850, 67eqsstri 4015 . 2 dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69 isstruct 17089 . 2 ((𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1339 1 (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  {csn 4627  cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6536  cfv 6542  (class class class)co 7411   < clt 11252  cle 11253  cn 12216  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13488   Struct cstr 17083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084
This theorem is referenced by:  strle2  17096  strle3  17097  srngstr  17258  lmodstr  17274  ipsstr  17285  phlstr  17295  odrngstr  17352  imasvalstr  17401  prdsvalstr  17402  ipostr  18486  cnfldstr  21146  psrvalstr  21688  eengstr  28505  idlsrgstr  32890  gg-cnfldstr  35474  algstr  42221
  Copyright terms: Public domain W3C validator