Theorem strleun 17255

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
strleun.g	⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
strleun.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
strleun	⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
2		isstruct 17250	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
4	3	simp1i 1157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
5	4	simp1i 1157	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
6		strleun.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
7		isstruct 17250	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
9	8	simp1i 1157	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)
10	9	simp2i 1158	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
11	4	simp3i 1159	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
12	4	simp2i 1158	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
13	12	nnrei 12270	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	9	simp1i 1157	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
15	14	nnrei 12270	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16		strleun.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < 𝐶
17	13, 15, 16	ltleii 11361	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
18	5	nnrei 12270	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
19	18, 13, 15	letri 11367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
20	11, 17, 19	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
21	9	simp3i 1159	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 𝐷
22	10	nnrei 12270	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
23	18, 15, 22	letri 11367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≤ 𝐷)
24	20, 21, 23	mp2an 705	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐷
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷)
26	3	simp2i 1158	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐹 ∖ {∅})
27	8	simp2i 1158	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐺 ∖ {∅})
28	26, 27	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29		difss 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30		dmss 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
32	3	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
33	31, 32	sstri 3943	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34		difss 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35		dmss 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
37	8	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
38	36, 37	sstri 3943	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39		ss2in 4193	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
40	33, 38, 39	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41		fzdisj 13610	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43		sseq0 4357	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
44	40, 42, 43	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45		funun 6583	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
46	28, 44, 45	mp2an 705	. . 3 ⊢ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47		difundir 4240	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
48	47	funeqi 6558	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
49	46, 48	mpbir 234	. 2 ⊢ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅})
50		dmun 5898	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
51	12	nnzi 12646	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
52	10	nnzi 12646	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
53	13, 15, 22	letri 11367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ≤ 𝐷)
54	17, 21, 53	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐷
55		eluz2 12897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
56	51, 52, 54, 55	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)
57		fzss2 13623	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
59	32, 58	sstri 3943	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
60	5	nnzi 12646	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	14	nnzi 12646	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
62		eluz2 12897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
63	60, 61, 20, 62	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴)
64		fzss1 13622	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
66	37, 65	sstri 3943	. . . 4 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
67	59, 66	unssi 4140	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
68	50, 67	eqsstri 3980	. 2 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69		isstruct 17250	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
70	25, 49, 68, 69	mpbir3an 1360	1 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565   Struct cstr 17244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245

This theorem is used by:  strle2  17257  strle3  17258  srngstr  17400  lmodstr  17416  ipsstr  17427  phlstr  17437  odrngstr  17494  imasvalstr  17542  prdsvalstr  17543  ipostr  18623  cnfldstr  21593  psrvalstr  22137  eengstr  29445  idlsrgstr  33920  algstr  44022