Theorem strleun 17340

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
strleun.g	⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
strleun.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
strleun	⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
2		isstruct 17335	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
4	3	simp1i 1157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
5	4	simp1i 1157	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
6		strleun.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
7		isstruct 17335	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
9	8	simp1i 1157	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)
10	9	simp2i 1158	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
11	4	simp3i 1159	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
12	4	simp2i 1158	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
13	12	nnrei 12347	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	9	simp1i 1157	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
15	14	nnrei 12347	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16		strleun.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < 𝐶
17	13, 15, 16	ltleii 11436	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
18	5	nnrei 12347	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
19	18, 13, 15	letri 11442	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
20	11, 17, 19	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
21	9	simp3i 1159	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 𝐷
22	10	nnrei 12347	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
23	18, 15, 22	letri 11442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≤ 𝐷)
24	20, 21, 23	mp2an 705	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐷
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷)
26	3	simp2i 1158	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐹 ∖ {∅})
27	8	simp2i 1158	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐺 ∖ {∅})
28	26, 27	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29		difss 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30		dmss 5883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
32	3	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
33	31, 32	sstri 3917	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34		difss 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35		dmss 5883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
37	8	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
38	36, 37	sstri 3917	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39		ss2in 4141	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
40	33, 38, 39	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41		fzdisj 13688	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43		sseq0 4353	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
44	40, 42, 43	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45		funun 6586	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
46	28, 44, 45	mp2an 705	. . 3 ⊢ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47		difundir 4236	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
48	47	funeqi 6560	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
49	46, 48	mpbir 234	. 2 ⊢ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅})
50		dmun 5891	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
51	12	nnzi 12723	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
52	10	nnzi 12723	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
53	13, 15, 22	letri 11442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ≤ 𝐷)
54	17, 21, 53	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐷
55		eluz2 12974	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
56	51, 52, 54, 55	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)
57		fzss2 13701	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
59	32, 58	sstri 3917	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
60	5	nnzi 12723	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	14	nnzi 12723	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
62		eluz2 12974	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
63	60, 61, 20, 62	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴)
64		fzss1 13700	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
66	37, 65	sstri 3917	. . . 4 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
67	59, 66	unssi 4189	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
68	50, 67	eqsstri 3954	. 2 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69		isstruct 17335	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
70	25, 49, 68, 69	mpbir3an 1360	1 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642   Struct cstr 17329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330

This theorem is used by:  strle2  17342  strle3  17343  srngstr  17485  lmodstr  17501  ipsstr  17512  phlstr  17522  odrngstr  17579  imasvalstr  17627  prdsvalstr  17628  ipostr  18708  cnfldstr  21685  psrvalstr  22229  eengstr  29563  idlsrgstr  34080  algstr  44268