Theorem strleun 17126

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
strleun.g	⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
strleun.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
strleun	⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩
2		isstruct 17121	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
4	3	simp1i 1136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
5	4	simp1i 1136	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
6		strleun.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩
7		isstruct 17121	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
9	8	simp1i 1136	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)
10	9	simp2i 1137	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
11	4	simp3i 1138	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
12	4	simp2i 1137	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
13	12	nnrei 12251	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
14	9	simp1i 1136	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
15	14	nnrei 12251	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
16		strleun.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 < 𝐶
17	13, 15, 16	ltleii 11367	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
18	5	nnrei 12251	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
19	18, 13, 15	letri 11373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
20	11, 17, 19	mp2an 690	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐶
21	9	simp3i 1138	. . . 4 ⊢ 𝐶 ≤ 𝐷
22	10	nnrei 12251	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
23	18, 15, 22	letri 11373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≤ 𝐷)
24	20, 21, 23	mp2an 690	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐷
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷)
26	3	simp2i 1137	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐹 ∖ {∅})
27	8	simp2i 1137	. . . . 5 ⊢ Fun (𝐺 ∖ {∅})
28	26, 27	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29		difss 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30		dmss 5904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
32	3	simp3i 1138	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
33	31, 32	sstri 3987	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34		difss 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35		dmss 5904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
37	8	simp3i 1138	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
38	36, 37	sstri 3987	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39		ss2in 4236	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
40	33, 38, 39	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41		fzdisj 13560	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43		sseq0 4400	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
44	40, 42, 43	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45		funun 6598	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
46	28, 44, 45	mp2an 690	. . 3 ⊢ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47		difundir 4280	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
48	47	funeqi 6573	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
49	46, 48	mpbir 230	. 2 ⊢ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅})
50		dmun 5912	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
51	12	nnzi 12616	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
52	10	nnzi 12616	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
53	13, 15, 22	letri 11373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 𝐵 ≤ 𝐷)
54	17, 21, 53	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐷
55		eluz2 12858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
56	51, 52, 54, 55	mpbir3an 1338	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)
57		fzss2 13573	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
59	32, 58	sstri 3987	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
60	5	nnzi 12616	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	14	nnzi 12616	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
62		eluz2 12858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
63	60, 61, 20, 62	mpbir3an 1338	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴)
64		fzss1 13572	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
66	37, 65	sstri 3987	. . . 4 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
67	59, 66	unssi 4184	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
68	50, 67	eqsstri 4012	. 2 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69		isstruct 17121	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
70	25, 49, 68, 69	mpbir3an 1338	1 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3942   ∪ cun 3943   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∅c0 4323  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5148  dom cdm 5677  Fun wfun 6541  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   < clt 11278   ≤ cle 11279  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13516   Struct cstr 17115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17116

This theorem is referenced by:  strle2  17128  strle3  17129  srngstr  17290  lmodstr  17306  ipsstr  17317  phlstr  17327  odrngstr  17384  imasvalstr  17433  prdsvalstr  17434  ipostr  18521  cnfldstr  21286  cnfldstrOLD  21301  psrvalstr  21854  eengstr  28848  idlsrgstr  33287  algstr  42683