MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strleun 17037
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
strleun.g 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
strleun.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
strleun (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
2 isstruct 17032 . . . . . 6 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
31, 2mpbi 229 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
43simp1i 1140 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵)
54simp1i 1140 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
6 strleun.g . . . . . 6 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
7 isstruct 17032 . . . . . 6 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
86, 7mpbi 229 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
98simp1i 1140 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷)
109simp2i 1141 . . 3 𝐷 ∈ ℕ
114simp3i 1142 . . . . 5 𝐴𝐵
124simp2i 1141 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ
1312nnrei 12170 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
149simp1i 1140 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ
1514nnrei 12170 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
16 strleun.l . . . . . 6 𝐵 < 𝐶
1713, 15, 16ltleii 11286 . . . . 5 𝐵𝐶
185nnrei 12170 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
1918, 13, 15letri 11292 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
2011, 17, 19mp2an 691 . . . 4 𝐴𝐶
219simp3i 1142 . . . 4 𝐶𝐷
2210nnrei 12170 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2318, 15, 22letri 11292 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐷) → 𝐴𝐷)
2420, 21, 23mp2an 691 . . 3 𝐴𝐷
255, 10, 243pm3.2i 1340 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷)
263simp2i 1141 . . . . 5 Fun (𝐹 ∖ {∅})
278simp2i 1141 . . . . 5 Fun (𝐺 ∖ {∅})
2826, 27pm3.2i 472 . . . 4 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29 difss 4095 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30 dmss 5862 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
323simp3i 1142 . . . . . . 7 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
3331, 32sstri 3957 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34 difss 4095 . . . . . . . 8 (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35 dmss 5862 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
378simp3i 1142 . . . . . . 7 dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
3836, 37sstri 3957 . . . . . 6 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39 ss2in 4200 . . . . . 6 ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
4033, 38, 39mp2an 691 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41 fzdisj 13477 . . . . . 6 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43 sseq0 4363 . . . . 5 (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
4440, 42, 43mp2an 691 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45 funun 6551 . . . 4 (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4628, 44, 45mp2an 691 . . 3 Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47 difundir 4244 . . . 4 ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
4847funeqi 6526 . . 3 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4946, 48mpbir 230 . 2 Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅})
50 dmun 5870 . . 3 dom (𝐹𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
5112nnzi 12535 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
5210nnzi 12535 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℤ
5313, 15, 22letri 11292 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶𝐶𝐷) → 𝐵𝐷)
5417, 21, 53mp2an 691 . . . . . . 7 𝐵𝐷
55 eluz2 12777 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐷))
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1342 . . . . . 6 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)
57 fzss2 13490 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
5932, 58sstri 3957 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
605nnzi 12535 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
6114nnzi 12535 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℤ
62 eluz2 12777 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1342 . . . . . 6 𝐶 ∈ (ℤ𝐴)
64 fzss1 13489 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
6637, 65sstri 3957 . . . 4 dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
6759, 66unssi 4149 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
6850, 67eqsstri 3982 . 2 dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
69 isstruct 17032 . 2 ((𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩ ↔ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)))
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1342 1 (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3911  cun 3912  cin 3913  wss 3914  c0 4286  {csn 4590  cop 4596   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  Fun wfun 6494  cfv 6500  (class class class)co 7361   < clt 11197  cle 11198  cn 12161  cz 12507  cuz 12771  ...cfz 13433   Struct cstr 17026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027
This theorem is referenced by:  strle2  17039  strle3  17040  srngstr  17198  lmodstr  17214  ipsstr  17225  phlstr  17235  odrngstr  17292  imasvalstr  17341  prdsvalstr  17342  ipostr  18426  cnfldstr  20821  psrvalstr  21341  eengstr  27978  idlsrgstr  32299  algstr  41551
  Copyright terms: Public domain W3C validator