HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl0 29520
Description: A sublattice condition that transfers the modular pair property. Exercise 12 of [Kalmbach] p. 103. Also Lemma 1.5.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mdsl0 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → ((((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))

Proof of Theorem mdsl0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3816 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (𝐷𝐵𝑥𝐵))
21com12 32 . . . . . . 7 (𝐷𝐵 → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
32ad2antlr 709 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
43ad2antlr 709 . . . . 5 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
5 chlej2 28721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴))
6 ss2in 4048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝐷𝐵) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
76ex 399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴) → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
98ex 399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
1093expia 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶C𝐴C ) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1110ancoms 448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐶C ) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1211ad2ant2r 744 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1312imp43 416 . . . . . . . 8 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
1413adantrr 699 . . . . . . 7 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
15 oveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵) = 0 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑥 0))
16 chj0 28707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 0) = 𝑥)
1715, 16sylan9eqr 2873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = 𝑥)
1817adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = 𝑥)
19 chincl 28709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶𝐷) ∈ C )
20 chub1 28717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶𝐷) ∈ C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2120ancoms 448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝐷) ∈ C𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2219, 21sylan 571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶C𝐷C ) ∧ 𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2322adantrr 699 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2418, 23eqsstrd 3847 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2524adantll 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2625anassrs 455 . . . . . . . 8 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2726adantrl 698 . . . . . . 7 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
28 sstr2 3816 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
29 sstr2 3816 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
3028, 29syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3130com23 86 . . . . . . 7 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3214, 27, 31sylc 65 . . . . . 6 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
3332an32s 634 . . . . 5 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
344, 33imim12d 81 . . . 4 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3534ralimdva 3161 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
36 mdbr2 29506 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3736ad2antrr 708 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
38 mdbr2 29506 . . . 4 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3938ad2antlr 709 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
4035, 37, 393imtr4d 285 . 2 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 𝐷))
4140expimpd 443 1 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → ((((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3107  cin 3779  wss 3780   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884   C cch 28137   chj 28141  0c0h 28143   𝑀 cmd 28174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cc 9552  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311  ax-hilex 28207  ax-hfvadd 28208  ax-hvcom 28209  ax-hvass 28210  ax-hv0cl 28211  ax-hvaddid 28212  ax-hfvmul 28213  ax-hvmulid 28214  ax-hvmulass 28215  ax-hvdistr1 28216  ax-hvdistr2 28217  ax-hvmul0 28218  ax-hfi 28287  ax-his1 28290  ax-his2 28291  ax-his3 28292  ax-his4 28293  ax-hcompl 28410
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-omul 7811  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-acn 9061  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-submnd 17561  df-mulg 17766  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-lm 21268  df-haus 21354  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cfil 23287  df-cau 23288  df-cmet 23289  df-grpo 27699  df-gid 27700  df-ginv 27701  df-gdiv 27702  df-ablo 27751  df-vc 27765  df-nv 27798  df-va 27801  df-ba 27802  df-sm 27803  df-0v 27804  df-vs 27805  df-nmcv 27806  df-ims 27807  df-dip 27907  df-ssp 27928  df-ph 28019  df-cbn 28070  df-hnorm 28176  df-hba 28177  df-hvsub 28179  df-hlim 28180  df-hcau 28181  df-sh 28415  df-ch 28429  df-oc 28460  df-ch0 28461  df-shs 28518  df-chj 28520  df-md 29490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator