HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl0 30097
Description: A sublattice condition that transfers the modular pair property. Exercise 12 of [Kalmbach] p. 103. Also Lemma 1.5.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mdsl0 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → ((((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))

Proof of Theorem mdsl0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3925 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (𝐷𝐵𝑥𝐵))
21com12 32 . . . . . . 7 (𝐷𝐵 → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
32ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
43ad2antlr 726 . . . . 5 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
5 chlej2 29298 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴))
6 ss2in 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝐷𝐵) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
76ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴) → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
98ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
1093expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶C𝐴C ) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1110ancoms 462 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐶C ) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1211ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1312imp43 431 . . . . . . . 8 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
1413adantrr 716 . . . . . . 7 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
15 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵) = 0 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑥 0))
16 chj0 29284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 0) = 𝑥)
1715, 16sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = 𝑥)
1817adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = 𝑥)
19 chincl 29286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶𝐷) ∈ C )
20 chub1 29294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶𝐷) ∈ C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2120ancoms 462 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝐷) ∈ C𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2219, 21sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶C𝐷C ) ∧ 𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2322adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2418, 23eqsstrd 3956 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2524adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2625anassrs 471 . . . . . . . 8 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2726adantrl 715 . . . . . . 7 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
28 sstr2 3925 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
29 sstr2 3925 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
3028, 29syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3130com23 86 . . . . . . 7 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3214, 27, 31sylc 65 . . . . . 6 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
3332an32s 651 . . . . 5 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
344, 33imim12d 81 . . . 4 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3534ralimdva 3147 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
36 mdbr2 30083 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3736ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
38 mdbr2 30083 . . . 4 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3938ad2antlr 726 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
4035, 37, 393imtr4d 297 . 2 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 𝐷))
4140expimpd 457 1 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → ((((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cin 3883  wss 3884   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139   C cch 28716   chj 28720  0c0h 28722   𝑀 cmd 28753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his1 28869  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872  ax-hcompl 28989
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-lm 21838  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cfil 23863  df-cau 23864  df-cmet 23865  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-ims 28388  df-dip 28488  df-ssp 28509  df-ph 28600  df-cbn 28650  df-hnorm 28755  df-hba 28756  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-hcau 28760  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-chj 29097  df-md 30067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator