Theorem mdsl0 32459

Description: A sublattice condition that transfers the modular pair property. Exercise 12 of [Kalmbach] p. 103. Also Lemma 1.5.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mdsl0	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) → ((((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐶 𝑀ℋ 𝐷))

Proof of Theorem mdsl0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐷 → (𝐷 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐷 → 𝑥 ⊆ 𝐵))
3	2	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑥 ⊆ 𝐷 → 𝑥 ⊆ 𝐵))
4	3	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐷 → 𝑥 ⊆ 𝐵))
5		chlej2 31660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
6		ss2in 4196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
7	6	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴) → (𝐷 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐷 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
9	8	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
10	9	3expia 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
11	10	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
12	11	ad2ant2r 757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐷 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
13	12	imp43 431	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
14	13	adantrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
15		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∨ℋ 0ℋ))
16		chj0 31646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑥)
17	15, 16	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝑥)
18	17	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝑥)
19		chincl 31648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ )
20		chub1 31656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
21	20	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
22	19, 21	sylan 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
23	22	adantrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
24	18, 23	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
25	24	adantll 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
26	25	anassrs 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
27	26	adantrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))
28		sstr2 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
29		sstr2 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
30	28, 29	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
31	30	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
32	14, 27, 31	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
33	32	an32s 662	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
34	4, 33	imim12d 81	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ⊆ 𝐷 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
35	34	ralimdva 3173	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐷 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
36		mdbr2 32445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
37	36	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
38		mdbr2 32445	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐷 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
39	38	ad2antlr 737	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝐶 𝑀ℋ 𝐷 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐷 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
40	35, 37, 39	3imtr4d 296	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) ∧ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ)) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐶 𝑀ℋ 𝐷))
41	40	expimpd 457	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )) → ((((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐶 𝑀ℋ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392   C_ℋ cch 31078   ∨_ℋ chj 31082  0_ℋc0h 31084   𝑀_ℋ cmd 31115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150  ax-hilex 31148  ax-hfvadd 31149  ax-hvcom 31150  ax-hvass 31151  ax-hv0cl 31152  ax-hvaddid 31153  ax-hfvmul 31154  ax-hvmulid 31155  ax-hvmulass 31156  ax-hvdistr1 31157  ax-hvdistr2 31158  ax-hvmul0 31159  ax-hfi 31228  ax-his1 31231  ax-his2 31232  ax-his3 31233  ax-his4 31234  ax-hcompl 31351

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-lm 23269  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cfil 25297  df-cau 25298  df-cmet 25299  df-grpo 30642  df-gid 30643  df-ginv 30644  df-gdiv 30645  df-ablo 30694  df-vc 30708  df-nv 30741  df-va 30744  df-ba 30745  df-sm 30746  df-0v 30747  df-vs 30748  df-nmcv 30749  df-ims 30750  df-dip 30850  df-ssp 30871  df-ph 30962  df-cbn 31012  df-hnorm 31117  df-hba 31118  df-hvsub 31120  df-hlim 31121  df-hcau 31122  df-sh 31356  df-ch 31370  df-oc 31401  df-ch0 31402  df-shs 31457  df-chj 31459  df-md 32429

This theorem is referenced by: (None)