Theorem neibastop1 36325

Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
neibastop1.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4	⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}

Assertion

Ref	Expression
neibastop1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,𝐽   𝑣,𝑜,𝑤,𝑥,𝐹   𝜑,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥   𝑜,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤,𝑜)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑜)

Proof of Theorem neibastop1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝐽)
2		neibastop1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
3		ssrab2 4103	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅} ⊆ 𝒫 𝑋
4	2, 3	eqsstri 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
5	1, 4	sstrdi 4021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
6		sspwuni 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
8		vuniex 7774	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
9	8	elpw 4626	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
10	7, 9	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
11		eluni2 4935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 ∈ 𝑧)
12		elssuni 4961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
13	12	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
14	13	sspwd 4635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦)
15		sslin 4264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
17	1	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐽)
18	17	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐽)
19		pweq 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑧)
20	19	ineq2d 4241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
21	20	neeq1d 3006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
22	21	raleqbi1dv 3346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
23	22, 2	elrab2 3711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐽 ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
24	23	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
26		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑧)
27		rsp 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
28	25, 26, 27	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
29		ssn0 4427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
30	16, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
31	30	rexlimdvaa 3162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → (∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
32	11, 31	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
33	32	ralrimiv 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
34		pweq 4636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 ∪ 𝑦)
35	34	ineq2d 4241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
36	35	neeq1d 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
37	36	raleqbi1dv 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
38	37, 2	elrab2 3711	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐽 ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
39	10, 33, 38	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽))
41	40	alrimiv 1926	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽))
42		pweq 4636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
43	42	ineq2d 4241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
44	43	neeq1d 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
45	44	raleqbi1dv 3346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
46	45, 2	elrab2 3711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
47	46, 23	anbi12i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
48		an4 655	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
49	47, 48	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
50		inss1 4258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑦
51		elpwi 4629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
52	50, 51	sstrid 4020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
53	52	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
54	53	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
55		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
56	55	inex1 5335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
57	56	elpw 4626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
58	54, 57	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋)
59		ssralv 4077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
60	50, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅)
61		inss2 4259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑧
62		ssralv 4077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
64	60, 63	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
65		r19.26 3117	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
66	64, 65	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
67		n0 4376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
68		n0 4376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
69	67, 68	anbi12i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) ↔ (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)))
70		exdistrv 1955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣∃𝑤(𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) ↔ (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)))
71		inss2 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝒫 𝑦
72		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
73	71, 72	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑦)
74	73	elpwid 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ⊆ 𝑦)
75		inss2 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑧
76		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
77	75, 76	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧)
78	77	elpwid 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
79		ss2in 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) → (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
80	74, 78, 79	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
81	80	sspwd 4635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
82		sslin 4264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
84		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝜑)
85	53	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
86		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧))
87	85, 86	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
88		inss1 4258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ (𝐹‘𝑥)
89	88, 72	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥))
90		inss1 4258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥)
91	90, 76	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
92		neibastop1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
93	84, 87, 89, 91, 92	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
94		ssn0 4427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
95	83, 93, 94	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
96	95	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
97	96	exlimdvv 1933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → (∃𝑣∃𝑤(𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
98	70, 97	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
99	69, 98	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
100	99	ralimdva 3173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
101	66, 100	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
102	101	impr 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
103		pweq 4636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → 𝒫 𝑜 = 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
104	103	ineq2d 4241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
105	104	neeq1d 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
106	105	raleqbi1dv 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
107	106, 2	elrab2 3711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
108	58, 102, 107	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
109	49, 108	sylan2b 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
110	109	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
111		neibastop1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
112		sspwuni 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
113	4, 112	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
114	113	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
115	111, 114	ssexd 5342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
116		uniexb 7799	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ V ↔ ∪ 𝐽 ∈ V)
117	115, 116	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
118		istopg 22922	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)))
119	117, 118	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)))
120	41, 110, 119	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
121		pwidg 4642	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
122	111, 121	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
123		neibastop1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
124	123	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
125		eldifi 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
126		elpwi 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
127	124, 125, 126	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
128		dfss2 3994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) = (𝐹‘𝑥))
129	127, 128	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) = (𝐹‘𝑥))
130		eldifsni 4815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
131	124, 130	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
132	129, 131	eqnetrd 3014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅)
133	132	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅)
134		pweq 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑋)
135	134	ineq2d 4241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋))
136	135	neeq1d 3006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
137	136	raleqbi1dv 3346	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
138	137, 2	elrab2 3711	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
139	122, 133, 138	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
140		elssuni 4961	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
141	139, 140	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
142	141, 114	eqssd 4026	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
143		istopon 22939	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
144	120, 142, 143	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ cuni 4931  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  Topctop 22920  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-top 22921  df-topon 22938

This theorem is referenced by:  neibastop2  36327  neibastop3  36328