Theorem neibastop1 37274

Description: A collection of neighborhood bases determines a topology. Part of Theorem 4.5 of Stephen Willard's General Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
neibastop1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
neibastop1.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4	⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}

Assertion

Ref	Expression
neibastop1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,𝐽   𝑣,𝑜,𝑤,𝑥,𝐹   𝜑,𝑜,𝑣,𝑤,𝑥   𝑜,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑤, 𝑜)   𝑉(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑜)

Proof of Theorem neibastop1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝐽)
2		neibastop1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
3		ssrab2 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅} ⊆ 𝒫 𝑋
4	2, 3	eqsstri 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
5	1, 4	sstrdi 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
6		sspwuni 5062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
8		vuniex 7763	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
9	8	elpw 4563	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
10	7, 9	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
11		eluni2 4873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 ∈ 𝑧)
12		elssuni 4901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
13	12	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝑦)
14	13	sspwd 4572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦)
15		sslin 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
17	1	sselda 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐽)
18	17	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐽)
19		pweq 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑧)
20	19	ineq2d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
21	20	neeq1d 3017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
22	21	raleqbi1dv 3332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑜 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
23	22, 2	elrab2 3651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐽 ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
24	23	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
25	18, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
26		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑧)
27		rsp 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
28	25, 26, 27	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
29		ssn0 4357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
30	16, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
31	30	rexlimdvaa 3167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → (∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
32	11, 31	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
33	32	ralrimiv 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅)
34		pweq 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 ∪ 𝑦)
35	34	ineq2d 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦))
36	35	neeq1d 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
37	36	raleqbi1dv 3332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = ∪ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
38	37, 2	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐽 ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 ∪ 𝑦) ≠ ∅))
39	10, 33, 38	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽)
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽))
41	40	alrimiv 1961	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽))
42		pweq 4573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑦)
43	42	ineq2d 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
44	43	neeq1d 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
45	44	raleqbi1dv 3332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
46	45, 2	elrab2 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
47	46, 23	anbi12i 640	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
48		an4 669	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅) ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
49	47, 48	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) ↔ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)))
50		inss1 4135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑦
51		elpwi 4566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
52	50, 51	sstrid 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
53	52	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
54	53	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
55		vex 3457	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
56	55	inex1 5280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ V
57	56	elpw 4563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
58	54, 57	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋)
59		ssralv 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅))
60	50, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅)
61		inss2 4136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑧
62		ssralv 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅)
64	60, 63	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
65		r19.26 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
66	64, 65	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))
67		n0 4302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
68		n0 4302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
69	67, 68	anbi12i 640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) ↔ (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)))
70		exdistrv 1989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣∃𝑤(𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) ↔ (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)))
71		inss2 4136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ 𝒫 𝑦
72		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦))
73	71, 72	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑦)
74	73	elpwid 4568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ⊆ 𝑦)
75		inss2 4136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑧
76		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
77	75, 76	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧)
78	77	elpwid 4568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ⊆ 𝑧)
79		ss2in 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) → (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
80	74, 78, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ (𝑦 ∩ 𝑧))
81	80	sspwd 4572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
82		sslin 4141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤) ⊆ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
83	81, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
84		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝜑)
85	53	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑋)
86		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧))
87	85, 86	sseldd 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
88		inss1 4135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ⊆ (𝐹‘𝑥)
89	88, 72	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥))
90		inss1 4135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥)
91	90, 76	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
92		neibastop1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
93	84, 87, 89, 91, 92	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅)
94		ssn0 4357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ⊆ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣 ∩ 𝑤)) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
95	83, 93, 94	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) ∧ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
96	95	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
97	96	exlimdvv 1968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → (∃𝑣∃𝑤(𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
98	70, 97	biimtrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
99	69, 98	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)) → ((((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
100	99	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)(((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
101	66, 100	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)) → ((∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
102	101	impr 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅)
103		pweq 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → 𝒫 𝑜 = 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))
104	103	ineq2d 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)))
105	104	neeq1d 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
106	105	raleqbi1dv 3332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑦 ∩ 𝑧) → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
107	106, 2	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∩ 𝑧)((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧)) ≠ ∅))
108	58, 102, 107	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
109	49, 108	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
110	109	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)
111		neibastop1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
112		sspwuni 5062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
113	4, 112	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
114	113	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
115	111, 114	ssexd 5289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
116		uniexb 7785	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ V ↔ ∪ 𝐽 ∈ V)
117	115, 116	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
118		istopg 23225	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)))
119	117, 118	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑦(𝑦 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝐽)))
120	41, 110, 119	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
121		pwidg 4580	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
122	111, 121	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
123		neibastop1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
124	123	ffvelcdmda 7092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
125		eldifi 4069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
126		elpwi 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
127	124, 125, 126	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
128		dfss2 4096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) = (𝐹‘𝑥))
129	127, 128	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) = (𝐹‘𝑥))
130		eldifsni 4752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
131	124, 130	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
132	129, 131	eqnetrd 3025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅)
133	132	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅)
134		pweq 4573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑋)
135	134	ineq2d 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋))
136	135	neeq1d 3017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
137	136	raleqbi1dv 3332	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
138	137, 2	elrab2 3651	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑋) ≠ ∅))
139	122, 133, 138	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
140		elssuni 4901	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
141	139, 140	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
142	141, 114	eqssd 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
143		istopon 23242	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
144	120, 142, 143	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3415  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047   ∩ cin 4091  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559  {csn 4587  ∪ cuni 4869  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  Topctop 23223  TopOnctopon 23240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-top 23224  df-topon 23241

This theorem is used by:  neibastop2  37276  neibastop3  37277