Theorem ssltmul1 28191

Description: One surreal set less-than relationship for cuts of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltmul1.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
ssltmul1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
ssltmul1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
ssltmul1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ssltmul1	⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) <<s {(𝐴 ·s 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑝,𝑞   𝐴,𝑟,𝑠   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐵,𝑝,𝑞   𝐵,𝑟,𝑠   𝐿,𝑎,𝑝,𝑞   𝑀,𝑎,𝑝,𝑞   𝑅,𝑏,𝑟,𝑠   𝑆,𝑏,𝑟,𝑠   𝜑,𝑝,𝑎,𝑞   𝜑,𝑏,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑆(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐿(𝑠,𝑟,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑟,𝑏)

Proof of Theorem ssltmul1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)))
2	1	rnmpo 7583	. . . 4 ⊢ ran (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))}
3		ssltmul1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
4		ssltex1 27849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
6		ssltmul1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
7		ssltex1 27849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ∈ V)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
9	1	mpoexg 8117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
10	5, 8, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
11		rnexg 7942	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V → ran (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrrid 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∈ V)
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) = (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)))
15	14	rnmpo 7583	. . . 4 ⊢ ran (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) = {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}
16		ssltex2 27850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
17	3, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
18		ssltex2 27850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
20	14	mpoexg 8117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
21	17, 19, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
22		rnexg 7942	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V → ran (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
24	15, 23	eqeltrrid 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))} ∈ V)
25	13, 24	unexd 7789	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ∈ V)
26		snex 5451	. . 3 ⊢ {(𝐴 ·s 𝐵)} ∈ V
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 ·s 𝐵)} ∈ V)
28		ssltss1 27851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐿 ⊆ No )
31		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑝 ∈ 𝐿)
32	30, 31	sseldd 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑝 ∈ No )
33		ssltmul1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
34	6	scutcld 27866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 |s 𝑆) ∈ No )
35	33, 34	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐵 ∈ No )
37	32, 36	mulscld 28179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑝 ·s 𝐵) ∈ No )
38		ssltmul1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
39	3	scutcld 27866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) ∈ No )
40	38, 39	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐴 ∈ No )
42		ssltss1 27851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ⊆ No )
43	6, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ No )
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ⊆ No )
45		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑞 ∈ 𝑀)
46	44, 45	sseldd 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑞 ∈ No )
47	41, 46	mulscld 28179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝐴 ·s 𝑞) ∈ No )
48	37, 47	addscld 28031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) ∈ No )
49	32, 46	mulscld 28179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑝 ·s 𝑞) ∈ No )
50	48, 49	subscld 28111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∈ No )
51		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → (𝑎 ∈ No ↔ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∈ No ))
52	50, 51	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑎 ∈ No ))
53	52	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑎 ∈ No ))
54	53	abssdv 4091	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ⊆ No )
55		ssltss2 27852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ⊆ No )
58		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑟 ∈ 𝑅)
59	57, 58	sseldd 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑟 ∈ No )
60	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ No )
61	59, 60	mulscld 28179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑟 ·s 𝐵) ∈ No )
62	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ No )
63		ssltss2 27852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ⊆ No )
64	6, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ No )
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ No )
66		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
67	65, 66	sseldd 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 ∈ No )
68	62, 67	mulscld 28179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐴 ·s 𝑠) ∈ No )
69	61, 68	addscld 28031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) ∈ No )
70	59, 67	mulscld 28179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑟 ·s 𝑠) ∈ No )
71	69, 70	subscld 28111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ∈ No )
72		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → (𝑏 ∈ No ↔ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ∈ No ))
73	71, 72	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑏 ∈ No ))
74	73	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑏 ∈ No ))
75	74	abssdv 4091	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))} ⊆ No )
76	54, 75	unssd 4215	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ⊆ No )
77	40, 35	mulscld 28179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
78	77	snssd 4834	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 ·s 𝐵)} ⊆ No )
79		elun 4176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∨ 𝑥 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}))
80		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
81		eqeq1 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ↔ 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))))
82	81	2rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))))
83	80, 82	elab 3694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)))
84		eqeq1 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ↔ 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
85	84	2rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
86	80, 85	elab 3694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)))
87	83, 86	orbi12i 913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∨ 𝑥 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∨ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
88	79, 87	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∨ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
89	37, 47, 49	addsubsd 28130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) = (((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) +s (𝐴 ·s 𝑞)))
90		scutcut 27864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
91	3, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
92	91	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
94		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 |s 𝑅) ∈ V
95	94	snid 4684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 |s 𝑅) ∈ {(𝐿 |s 𝑅)}
96	38, 95	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
98	93, 31, 97	ssltsepcd 27857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑝 <s 𝐴)
99		scutcut 27864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
100	6, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
101	100	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)})
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)})
103		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 |s 𝑆) ∈ V
104	103	snid 4684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 |s 𝑆) ∈ {(𝑀 |s 𝑆)}
105	33, 104	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {(𝑀 |s 𝑆)})
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐵 ∈ {(𝑀 |s 𝑆)})
107	102, 45, 106	ssltsepcd 27857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑞 <s 𝐵)
108	32, 41, 46, 36, 98, 107	sltmuld 28181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑞)))
109	37, 49	subscld 28111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∈ No )
110	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
111	109, 47, 110	sltaddsubd 28139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) +s (𝐴 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ ((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑞))))
112	108, 111	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) +s (𝐴 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
113	89, 112	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
114		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → (𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵)))
115	113, 114	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
116	115	rexlimdvva 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
117	61, 68, 70	addsubsd 28130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) = (((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)))
118	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐿 <<s 𝑅)
119	118, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
120	119	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
121	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
122	121, 95	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
123	120, 122, 58	ssltsepcd 27857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 <s 𝑟)
124	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑀 <<s 𝑆)
125	124, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
126	125	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆)
127	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
128	127, 104	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ {(𝑀 |s 𝑆)})
129	126, 128, 66	ssltsepcd 27857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 <s 𝑠)
130	62, 59, 60, 67, 123, 129	sltmuld 28181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝐴 ·s 𝑠) -s (𝐴 ·s 𝐵)) <s ((𝑟 ·s 𝑠) -s (𝑟 ·s 𝐵)))
131	61, 70	subscld 28111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ∈ No )
132	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
133	131, 68, 132	sltaddsubd 28139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ ((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑠))))
134	61, 70, 132, 68	sltsubsub2bd 28132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑠)) ↔ ((𝐴 ·s 𝑠) -s (𝐴 ·s 𝐵)) <s ((𝑟 ·s 𝑠) -s (𝑟 ·s 𝐵))))
135	133, 134	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ ((𝐴 ·s 𝑠) -s (𝐴 ·s 𝐵)) <s ((𝑟 ·s 𝑠) -s (𝑟 ·s 𝐵))))
136	130, 135	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
137	117, 136	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
138		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → (𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵)))
139	137, 138	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
140	139	rexlimdvva 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
141	116, 140	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∨ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
142	88, 141	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
143	142	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))})) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵))
144		velsn 4664	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)} ↔ 𝑦 = (𝐴 ·s 𝐵))
145		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ·s 𝐵) → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
146	144, 145	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)} → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
147	143, 146	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))})) → (𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)} → 𝑥 <s 𝑦))
148	147	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ∧ 𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)}) → 𝑥 <s 𝑦)
149	25, 27, 76, 78, 148	ssltd 27854	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) <<s {(𝐴 ·s 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ran crn 5701  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   No csur 27702   <s cslt 27703   <<s csslt 27843   |s cscut 27845   +_s cadds 28010   -_s csubs 28070   ·_s cmuls 28150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-2o 8523  df-nadd 8722  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sle 27808  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908  df-norec 27989  df-norec2 28000  df-adds 28011  df-negs 28071  df-subs 28072  df-muls 28151

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28193