MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltmul2 27843
Description: One surreal set less-than relationship for cuts of ๐ด and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ssltmul2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
ssltmul2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
ssltmul2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
ssltmul2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
ssltmul2 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ด,๐‘‘   ๐‘ก,๐ด,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐ด,๐‘ค   ๐ต,๐‘   ๐ต,๐‘‘   ๐‘ก,๐ต,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐ต,๐‘ค   ๐ฟ,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐‘€,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘…,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘†,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐œ‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐œ‘,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ข,๐‘ก,๐‘)   ๐‘†(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘‘)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘‘)   ๐‘€(๐‘ข,๐‘ก,๐‘)

Proof of Theorem ssltmul2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5431 . . 3 {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆˆ V
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆˆ V)
3 eqid 2731 . . . . 5 (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) = (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
43rnmpo 7545 . . . 4 ran (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}
5 ssltmul2.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
6 ssltex1 27525 . . . . . . 7 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โˆˆ V)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ V)
8 ssltmul2.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
9 ssltex2 27526 . . . . . . 7 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
113mpoexg 8066 . . . . . 6 ((๐ฟ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
127, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
13 rnexg 7898 . . . . 5 ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V โ†’ ran (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
1412, 13syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
154, 14eqeltrrid 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆˆ V)
16 eqid 2731 . . . . 5 (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) = (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
1716rnmpo 7545 . . . 4 ran (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) = {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}
18 ssltex2 27526 . . . . . . 7 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
195, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
20 ssltex1 27525 . . . . . . 7 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
218, 20syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
2216mpoexg 8066 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ V โˆง ๐‘€ โˆˆ V) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
2319, 21, 22syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
24 rnexg 7898 . . . . 5 ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V โ†’ ran (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
2523, 24syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
2617, 25eqeltrrid 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โˆˆ V)
2715, 26unexd 7744 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โˆˆ V)
28 ssltmul2.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
295scutcld 27542 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No )
3028, 29eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
31 ssltmul2.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
328scutcld 27542 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No )
3331, 32eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3430, 33mulscld 27831 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
3534snssd 4812 . 2 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} โІ No )
36 ssltss1 27527 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โІ No )
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โІ No )
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ฟ โІ No )
39 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ)
4038, 39sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
4133adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
4240, 41mulscld 27831 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ต) โˆˆ No )
4330adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
44 ssltss2 27528 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โІ No )
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ No )
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘† โІ No )
47 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)
4846, 47sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
4943, 48mulscld 27831 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
5042, 49addscld 27703 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
5140, 48mulscld 27831 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
5250, 51subscld 27775 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
53 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ โˆˆ No โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No ))
5452, 53syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No ))
5554rexlimdvva 3210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No ))
5655abssdv 4065 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โІ No )
57 ssltss2 27528 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โІ No )
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โІ No )
5958adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘… โІ No )
60 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…)
6159, 60sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
6233adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
6361, 62mulscld 27831 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
6430adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
65 ssltss1 27527 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โІ No )
668, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โІ No )
6766adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โІ No )
68 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)
6967, 68sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
7064, 69mulscld 27831 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
7163, 70addscld 27703 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
7261, 69mulscld 27831 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
7371, 72subscld 27775 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
74 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ No โ†” (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No ))
7573, 74syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ No ))
7675rexlimdvva 3210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ No ))
7776abssdv 4065 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โІ No )
7856, 77unssd 4186 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โІ No )
79 elun 4148 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆจ ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
80 vex 3477 . . . . . . . 8 ๐‘ฆ โˆˆ V
81 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
82812rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
8380, 82elab 3668 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
84 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
85842rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
8680, 85elab 3668 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
8783, 86orbi12i 912 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆจ ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
8879, 87bitri 275 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
89 scutcut 27540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ((๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No โˆง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)} โˆง {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…))
905, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No โˆง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)} โˆง {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…))
9190simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)})
93 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ V
9493snid 4664 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)}
9528, 94eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9792, 39, 96ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก <s ๐ด)
98 scutcut 27540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ((๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No โˆง ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)} โˆง {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†))
998, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No โˆง ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)} โˆง {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†))
10099simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†)
102 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ V
103102snid 4664 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)}
10431, 103eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
106101, 105, 47ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต <s ๐‘ข)
10740, 43, 41, 48, 97, 106sltmuld 27833 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) <s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
10834adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
10951, 42, 49, 108sltsubsub2bd 27791 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) <s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โ†” ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) <s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
11042, 51subscld 27775 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
111108, 49, 110sltsubaddd 27796 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) <s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
112109, 111bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) <s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
113107, 112mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
11442, 49, 51addsubsd 27789 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
115113, 114breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
116 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
117115, 116syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
118117rexlimdvva 3210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
11990simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…)
12195adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
122120, 121, 60ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด <s ๐‘ฃ)
12399simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)})
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)})
125104adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
126124, 68, 125ssltsepcd 27533 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค <s ๐ต)
12764, 61, 69, 62, 122, 126sltmuld 27833 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)) <s ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
12834adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
12963, 72subscld 27775 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
130128, 70, 129sltsubaddd 27796 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)) <s ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค))))
131127, 130mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
13263, 70, 72addsubsd 27789 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
133131, 132breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
134 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
135133, 134syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
136135rexlimdvva 3210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
137118, 136jaod 856 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
13888, 137biimtrid 241 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
139 velsn 4644 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†” ๐‘ฅ = (๐ด ยทs ๐ต))
140 breq1 5151 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด ยทs ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ <s ๐‘ฆ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
141140imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ด ยทs ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ)))
142139, 141sylbi 216 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ)))
143138, 142syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
1441433imp 1110 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)
1452, 27, 35, 78, 144ssltd 27530 1 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708  โˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   โˆช cun 3946   โІ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  ran crn 5677  (class class class)co 7412   โˆˆ cmpo 7414   No csur 27380   <s cslt 27381   <<s csslt 27519   |s cscut 27521   +s cadds 27682   -s csubs 27735   ยทs cmuls 27802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-2o 8470  df-nadd 8668  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sle 27485  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-0s 27563  df-made 27580  df-old 27581  df-left 27583  df-right 27584  df-norec 27661  df-norec2 27672  df-adds 27683  df-negs 27736  df-subs 27737  df-muls 27803
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27844
  Copyright terms: Public domain W3C validator