MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltmul2 27515
Description: One surreal set less-than relationship for cuts of ๐ด and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ssltmul2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
ssltmul2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
ssltmul2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
ssltmul2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
ssltmul2 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ด,๐‘‘   ๐‘ก,๐ด,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐ด,๐‘ค   ๐ต,๐‘   ๐ต,๐‘‘   ๐‘ก,๐ต,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐ต,๐‘ค   ๐ฟ,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐‘€,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘…,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐‘†,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐œ‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ข   ๐œ‘,๐‘‘,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ข,๐‘ก,๐‘)   ๐‘†(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘‘)   ๐ฟ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘‘)   ๐‘€(๐‘ข,๐‘ก,๐‘)

Proof of Theorem ssltmul2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5424 . . 3 {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆˆ V
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆˆ V)
3 eqid 2731 . . . . 5 (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) = (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
43rnmpo 7525 . . . 4 ran (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) = {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}
5 ssltmul2.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s ๐‘…)
6 ssltex1 27214 . . . . . . 7 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โˆˆ V)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ V)
8 ssltmul2.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s ๐‘†)
9 ssltex2 27215 . . . . . . 7 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
113mpoexg 8045 . . . . . 6 ((๐ฟ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
127, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
13 rnexg 7877 . . . . 5 ((๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V โ†’ ran (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
1412, 13syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ, ๐‘ข โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V)
154, 14eqeltrrid 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆˆ V)
16 eqid 2731 . . . . 5 (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) = (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
1716rnmpo 7525 . . . 4 ran (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) = {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}
18 ssltex2 27215 . . . . . . 7 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
195, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
20 ssltex1 27214 . . . . . . 7 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
218, 20syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
2216mpoexg 8045 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ V โˆง ๐‘€ โˆˆ V) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
24 rnexg 7877 . . . . 5 ((๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V โ†’ ran (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
2523, 24syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…, ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V)
2617, 25eqeltrrid 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โˆˆ V)
2715, 26unexd 7724 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โˆˆ V)
28 ssltmul2.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ฟ |s ๐‘…))
295scutcld 27230 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No )
3028, 29eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
31 ssltmul2.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘€ |s ๐‘†))
328scutcld 27230 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No )
3331, 32eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3430, 33mulscld 27504 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
3534snssd 4805 . 2 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} โŠ† No )
36 ssltss1 27216 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐ฟ โŠ† No )
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โŠ† No )
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ฟ โŠ† No )
39 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ)
4038, 39sseldd 3979 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ No )
4133adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
4240, 41mulscld 27504 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ต) โˆˆ No )
4330adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
44 ssltss2 27217 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘† โŠ† No )
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† No )
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘† โŠ† No )
47 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)
4846, 47sseldd 3979 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ No )
4943, 48mulscld 27504 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
5042, 49addscld 27380 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
5140, 48mulscld 27504 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
5250, 51subscld 27449 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
53 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ โˆˆ No โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No ))
5452, 53syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No ))
5554rexlimdvva 3210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ โˆˆ No ))
5655abssdv 4061 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โŠ† No )
57 ssltss2 27217 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ๐‘… โŠ† No )
585, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โŠ† No )
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘… โŠ† No )
60 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…)
6159, 60sseldd 3979 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ No )
6233adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
6361, 62mulscld 27504 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
6430adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
65 ssltss1 27216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ๐‘€ โŠ† No )
668, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โŠ† No )
6766adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โŠ† No )
68 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)
6967, 68sseldd 3979 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ No )
7064, 69mulscld 27504 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
7163, 70addscld 27380 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
7261, 69mulscld 27504 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
7371, 72subscld 27449 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
74 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ No โ†” (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No ))
7573, 74syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ No ))
7675rexlimdvva 3210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ No ))
7776abssdv 4061 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โŠ† No )
7856, 77unssd 4182 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โŠ† No )
79 elun 4144 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆจ ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
80 vex 3477 . . . . . . . 8 ๐‘ฆ โˆˆ V
81 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
82812rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
8380, 82elab 3664 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
84 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
85842rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
8680, 85elab 3664 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
8783, 86orbi12i 913 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆจ ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
8879, 87bitri 274 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
89 scutcut 27228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ <<s ๐‘… โ†’ ((๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No โˆง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)} โˆง {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…))
905, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ No โˆง ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)} โˆง {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…))
9190simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ฟ <<s {(๐ฟ |s ๐‘…)})
93 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ V
9493snid 4658 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ฟ |s ๐‘…) โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)}
9528, 94eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
9792, 39, 96ssltsepcd 27221 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ก <s ๐ด)
98 scutcut 27228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ <<s ๐‘† โ†’ ((๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No โˆง ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)} โˆง {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†))
998, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ No โˆง ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)} โˆง {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†))
10099simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ {(๐‘€ |s ๐‘†)} <<s ๐‘†)
102 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ V
103102snid 4658 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ |s ๐‘†) โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)}
10431, 103eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
106101, 105, 47ssltsepcd 27221 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต <s ๐‘ข)
10740, 43, 41, 48, 97, 106sltmuld 27506 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) <s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
10834adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
10951, 42, 49, 108sltsubsub2bd 27465 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) <s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โ†” ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) <s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
11042, 51subscld 27449 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
111108, 49, 110sltsubaddd 27470 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ข)) <s ((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
112109, 111bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐‘ข) -s (๐‘ก ยทs ๐ต)) <s ((๐ด ยทs ๐‘ข) -s (๐ด ยทs ๐ต)) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข))))
113107, 112mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
11442, 49, 51addsubsd 27463 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐‘ก ยทs ๐ต) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)))
115113, 114breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
116 breq2 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
117115, 116syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
118117rexlimdvva 3210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
11990simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ {(๐ฟ |s ๐‘…)} <<s ๐‘…)
12195adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ {(๐ฟ |s ๐‘…)})
122120, 121, 60ssltsepcd 27221 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ด <s ๐‘ฃ)
12399simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)})
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ <<s {(๐‘€ |s ๐‘†)})
125104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐ต โˆˆ {(๐‘€ |s ๐‘†)})
126124, 68, 125ssltsepcd 27221 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ค <s ๐ต)
12764, 61, 69, 62, 122, 126sltmuld 27506 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)) <s ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
12834adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
12963, 72subscld 27449 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
130128, 70, 129sltsubaddd 27470 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐‘ค)) <s ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค))))
131127, 130mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
13263, 70, 72addsubsd 27463 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)))
133131, 132breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
134 breq2 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
135133, 134syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘€)) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
136135rexlimdvva 3210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
137118, 136jaod 857 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
13888, 137biimtrid 241 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
139 velsn 4638 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†” ๐‘ฅ = (๐ด ยทs ๐ต))
140 breq1 5144 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด ยทs ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ <s ๐‘ฆ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ))
141140imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ด ยทs ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ)))
142139, 141sylbi 216 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s ๐‘ฆ)))
143138, 142syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
1441433imp 1111 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {(๐ด ยทs ๐ต)} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)
1452, 27, 35, 78, 144ssltd 27219 1 (๐œ‘ โ†’ {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘† ๐‘ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘‘ โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐‘€ ๐‘‘ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2708  โˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   โˆช cun 3942   โŠ† wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141  ran crn 5670  (class class class)co 7393   โˆˆ cmpo 7395   No csur 27070   <s cslt 27071   <<s csslt 27208   |s cscut 27210   +s cadds 27359   -s csubs 27411   ยทs cmuls 27476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-1o 8448  df-2o 8449  df-nadd 8648  df-no 27073  df-slt 27074  df-bday 27075  df-sle 27175  df-sslt 27209  df-scut 27211  df-0s 27251  df-made 27265  df-old 27266  df-left 27268  df-right 27269  df-norec 27338  df-norec2 27349  df-adds 27360  df-negs 27412  df-subs 27413  df-muls 27477
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27516
  Copyright terms: Public domain W3C validator