Theorem coinitsslt 27644

Description: If 𝐵 is coinitial with 𝐶 and 𝐴 precedes 𝐶, then 𝐴 precedes 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
coinitsslt	⊢ ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem coinitsslt

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltex1 27524	. . 3 ⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2	1	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3		simp1 1134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝒫 No )
4		ssltss1 27526	. . 3 ⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐴 ⊆ No )
5	4	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
6	3	elpwid 4610	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
7		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑏))
8	7	rexbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑏))
9		simp12 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥)
10		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11	8, 9, 10	rspcdva 3612	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑏)
12		breq1 5150	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 ≤s 𝑏 ↔ 𝑐 ≤s 𝑏))
13	12	cbvrexvw 3233	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑏 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑐 ≤s 𝑏)
14	11, 13	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑐 ≤s 𝑏)
15		simpl13 1248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐴 <<s 𝐶)
16	15, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐴 ⊆ No )
17		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
18	16, 17	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 ∈ No )
19		ssltss2 27527	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
20	15, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐶 ⊆ No )
21		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 ∈ 𝐶)
22	20, 21	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 ∈ No )
23		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → (𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶))
24	23, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐵 ⊆ No )
25		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
26	24, 25	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑏 ∈ No )
27	15, 17, 21	ssltsepcd 27532	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑐)
28		simprr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 ≤s 𝑏)
29	18, 22, 26, 27, 28	sltletrd 27499	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑐 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑏)
30	14, 29	rexlimddv 3159	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 <s 𝑏)
31	2, 3, 5, 6, 30	ssltd 27529	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   No csur 27379   <s cslt 27380   ≤s csle 27483   <<s csslt 27518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-1o 8468  df-2o 8469  df-no 27382  df-slt 27383  df-sle 27484  df-sslt 27519

This theorem is referenced by:  cofcut1  27645  cofcut2  27647