MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coinitsslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinitsslt 27395
Description: If 𝐵 is coinitial with 𝐶 and 𝐴 precedes 𝐶, then 𝐴 precedes 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
coinitsslt ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem coinitsslt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltex1 27277 . . 3 (𝐴 <<s 𝐶𝐴 ∈ V)
213ad2ant3 1135 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3 simp1 1136 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝒫 No )
4 ssltss1 27279 . . 3 (𝐴 <<s 𝐶𝐴 No )
543ad2ant3 1135 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 No )
63elpwid 4610 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 No )
7 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑏 → (𝑦 ≤s 𝑥𝑦 ≤s 𝑏))
87rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑥 = 𝑏 → (∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑏))
9 simp12 1204 . . . . 5 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥)
10 simp3 1138 . . . . 5 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
118, 9, 10rspcdva 3613 . . . 4 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑏)
12 breq1 5150 . . . . 5 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 ≤s 𝑏𝑐 ≤s 𝑏))
1312cbvrexvw 3235 . . . 4 (∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑏 ↔ ∃𝑐𝐶 𝑐 ≤s 𝑏)
1411, 13sylib 217 . . 3 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → ∃𝑐𝐶 𝑐 ≤s 𝑏)
15 simpl13 1250 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐴 <<s 𝐶)
1615, 4syl 17 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐴 No )
17 simpl2 1192 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎𝐴)
1816, 17sseldd 3982 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 No )
19 ssltss2 27280 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐶𝐶 No )
2015, 19syl 17 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐶 No )
21 simprl 769 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐𝐶)
2220, 21sseldd 3982 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 No )
23 simpl1 1191 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → (𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶))
2423, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐵 No )
25 simpl3 1193 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑏𝐵)
2624, 25sseldd 3982 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑏 No )
2715, 17, 21ssltsepcd 27284 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑐)
28 simprr 771 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 ≤s 𝑏)
2918, 22, 26, 27, 28sltletrd 27252 . . 3 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑏)
3014, 29rexlimddv 3161 . 2 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝑎 <s 𝑏)
312, 3, 5, 6, 30ssltd 27282 1 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3947  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   No csur 27132   <s cslt 27133   ≤s csle 27236   <<s csslt 27271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27135  df-slt 27136  df-sle 27237  df-sslt 27272
This theorem is referenced by:  cofcut1  27396  cofcut2  27398
  Copyright terms: Public domain W3C validator