MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coinitsslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinitsslt 27954
Description: If 𝐵 is coinitial with 𝐶 and 𝐴 precedes 𝐶, then 𝐴 precedes 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
coinitsslt ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem coinitsslt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltex1 27832 . . 3 (𝐴 <<s 𝐶𝐴 ∈ V)
213ad2ant3 1135 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
3 simp1 1136 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝒫 No )
4 ssltss1 27834 . . 3 (𝐴 <<s 𝐶𝐴 No )
543ad2ant3 1135 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 No )
63elpwid 4608 . 2 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 No )
7 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑏 → (𝑦 ≤s 𝑥𝑦 ≤s 𝑏))
87rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑥 = 𝑏 → (∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑏))
9 simp12 1204 . . . . 5 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥)
10 simp3 1138 . . . . 5 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
118, 9, 10rspcdva 3622 . . . 4 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑏)
12 breq1 5145 . . . . 5 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 ≤s 𝑏𝑐 ≤s 𝑏))
1312cbvrexvw 3237 . . . 4 (∃𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑏 ↔ ∃𝑐𝐶 𝑐 ≤s 𝑏)
1411, 13sylib 218 . . 3 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → ∃𝑐𝐶 𝑐 ≤s 𝑏)
15 simpl13 1250 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐴 <<s 𝐶)
1615, 4syl 17 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐴 No )
17 simpl2 1192 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎𝐴)
1816, 17sseldd 3983 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 No )
19 ssltss2 27835 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐶𝐶 No )
2015, 19syl 17 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐶 No )
21 simprl 770 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐𝐶)
2220, 21sseldd 3983 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 No )
23 simpl1 1191 . . . . . 6 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → (𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶))
2423, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝐵 No )
25 simpl3 1193 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑏𝐵)
2624, 25sseldd 3983 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑏 No )
2715, 17, 21ssltsepcd 27840 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑐)
28 simprr 772 . . . 4 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑐 ≤s 𝑏)
2918, 22, 26, 27, 28sltletrd 27806 . . 3 ((((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝑐𝐶𝑐 ≤s 𝑏)) → 𝑎 <s 𝑏)
3014, 29rexlimddv 3160 . 2 (((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝑎 <s 𝑏)
312, 3, 5, 6, 30ssltd 27837 1 ((𝐵 ∈ 𝒫 No ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑦 ≤s 𝑥𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142   No csur 27685   <s cslt 27686   ≤s csle 27790   <<s csslt 27826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689  df-sle 27791  df-sslt 27827
This theorem is referenced by:  cofcut1  27955  cofcut2  27957
  Copyright terms: Public domain W3C validator