Theorem strfvd 17127

Description: Deduction version of strfv 17130. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvd.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfvd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strfvd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strfvd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvd.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfvd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17112	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		strfvd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
5		strfvd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6		funopfv 6883	. . 3 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
7	4, 5, 6	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
8	3, 7	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  Slot cslot 17108  ndxcnx 17120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-slot 17109

This theorem is referenced by:  strssd  17132