Theorem strfvd 17261

Description: Deduction version of strfv 17264. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvd.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfvd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strfvd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strfvd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvd.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfvd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		strfvd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
5		strfvd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6		funopfv 6932	. . 3 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
7	4, 5, 6	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
8	3, 7	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4596  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  Slot cslot 17242  ndxcnx 17254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-slot 17243

This theorem is referenced by:  strssd  17266