Theorem strfvd 17168

Description: Deduction version of strfv 17171. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvd.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfvd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strfvd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strfvd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvd.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfvd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17153	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		strfvd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
5		strfvd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6		funopfv 6883	. . 3 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
7	4, 5, 6	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
8	3, 7	eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  Slot cslot 17149  ndxcnx 17161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-slot 17150

This theorem is referenced by:  strssd  17173