Theorem strfvd 17108

Description: Deduction version of strfv 17111. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvd.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfvd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strfvd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strfvd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfvd.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strfvd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3	1, 2	strfvnd 17093	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
4		strfvd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
5		strfvd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6		funopfv 6871	. . 3 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
7	4, 5, 6	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
8	3, 7	eqtr2d 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  Slot cslot 17089  ndxcnx 17101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-slot 17090

This theorem is referenced by:  strssd  17113