MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strfvd 16947
Description: Deduction version of strfv 16950. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
strfvd.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strfvd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
strfvd.f (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
strfvd.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strfvd (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strfvd
StepHypRef Expression
1 strfvd.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strfvd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
31, 2strfvnd 16931 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 strfvd.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
5 strfvd.n . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
6 funopfv 6853 . . 3 (Fun 𝑆 β†’ (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆 β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢))
74, 5, 6sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
83, 7eqtr2d 2777 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βŸ¨cop 4571  Fun wfun 6452  β€˜cfv 6458  Slot cslot 16927  ndxcnx 16939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-slot 16928
This theorem is referenced by:  strssd  16952
  Copyright terms: Public domain W3C validator