Theorem suppeqfsuppbi 9415

Description: If two functions have the same support, one function is finitely supported iff the other one is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppeqfsuppbi	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem suppeqfsuppbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprlr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → Fun 𝐹)
2		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → 𝐹 ∈ 𝑈)
3		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → 𝑍 ∈ V)
4		funisfsupp 9404	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
7		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun 𝐺)
8	7	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → Fun 𝐺)
9		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ 𝑉)
11		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
12		funisfsupp 9404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
14	13	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝑍 ∈ V → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)))
15	14	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → (𝑍 ∈ V → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)))
16	15	impcom 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
17		eleq1 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
18	17	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → ((𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	16, 18	sylan9bb 508	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
20	6, 19	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍))
21	20	exp31 418	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍))))
22		relfsupp 9400	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
23	22	brrelex2i 5731	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
24	22	brrelex2i 5731	. . . 4 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
25	23, 24	pm5.21ni 376	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍))
26	25	2a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍))))
27	21, 26	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   class class class wbr 5145  Fun wfun 6540  (class class class)co 7416   supp csupp 8166  Fincfn 8966   finSupp cfsupp 9398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7419  df-fsupp 9399

This theorem is referenced by:  cantnfrescl  9712