Theorem suppssfifsupp 9286

Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssfifsupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9100	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		3ancoma 1098	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ↔ (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
6		funisfsupp 9273	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
8	2, 7	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  Fun wfun 6486  (class class class)co 7360   supp csupp 8103  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-fin 8890  df-fsupp 9268

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9287  fsuppsssuppgd  9288  fsfnn0gsumfsffz  19949  mptscmfsupp0  20913  uvcff  21781  uvcresum  21783  frlmup1  21788  psrass1lem  21922  psrlidm  21950  psrridm  21951  psrass1  21952  psrass23l  21955  psrcom  21956  psrass23  21957  mvrcl  21980  mplsubrglem  21992  mplsubrg  21993  mplmon  22023  mplmonmul  22024  mplcoe1  22025  mplcoe5  22028  mplbas2  22030  psrbagev1  22065  evlslem2  22067  evlslem3  22068  evlslem6  22069  psropprmul  22211  coe1mul2  22244  evls1fpws  22344  plypf1  26187  tayl0  26338  fsuppcurry1  32812  fsuppcurry2  32813  gsummptres2  33129  elrgspnlem2  33319  elrgspnlem3  33320  psrmonmul  33709  ply1degltdimlem  33782  fedgmullem1  33789  fedgmullem2  33790  evls1fldgencl  33830  lincresunit2  48966