Theorem suppssfifsupp 9259

Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssfifsupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9077	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		3ancoma 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ↔ (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
6		funisfsupp 9246	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
8	2, 7	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  Fun wfun 6470  (class class class)co 7341   supp csupp 8085  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-1o 8380  df-en 8865  df-fin 8868  df-fsupp 9241

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9260  fsuppsssuppgd  9261  fsfnn0gsumfsffz  19890  mptscmfsupp0  20855  uvcff  21723  uvcresum  21725  frlmup1  21730  psrass1lem  21864  psrlidm  21894  psrridm  21895  psrass1  21896  psrass23l  21899  psrcom  21900  psrass23  21901  mvrcl  21924  mplsubrglem  21936  mplsubrg  21937  mplmon  21965  mplmonmul  21966  mplcoe1  21967  mplcoe5  21970  mplbas2  21972  psrbagev1  22007  evlslem2  22009  evlslem3  22010  evlslem6  22011  psropprmul  22145  coe1mul2  22178  evls1fpws  22279  plypf1  26139  tayl0  26291  fsuppcurry1  32699  fsuppcurry2  32700  gsummptres2  33025  elrgspnlem2  33202  elrgspnlem3  33203  ply1degltdimlem  33627  fedgmullem1  33634  fedgmullem2  33635  evls1fldgencl  33675  lincresunit2  48510