Theorem suppssfifsupp 9320

Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssfifsupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		3ancoma 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ↔ (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
4	3	birani 507	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
5		funisfsupp 9307	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
7	2, 6	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  Fun wfun 6510  (class class class)co 7391   supp csupp 8134  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-1o 8431  df-en 8922  df-fin 8925  df-fsupp 9302

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9321  fsuppsssuppgd  9322  fsfnn0gsumfsffz  20014  mptscmfsupp0  20982  uvcff  21831  uvcresum  21833  frlmup1  21838  psrass1lem  21973  psrlidm  22001  psrridm  22002  psrass1  22003  psrass23l  22006  psrcom  22007  psrass23  22008  mvrcl  22031  mplsubrglem  22043  mplsubrg  22044  mplmon  22076  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  mplcoe5  22081  mplbas2  22083  psrbagev1  22118  evlslem2  22120  evlslem3  22121  evlslem6  22122  psropprmul  22287  coe1mul2  22320  evls1fpws  22420  plypf1  26260  tayl0  26413  fsuppcurry1  32887  fsuppcurry2  32888  gsummptres2  33194  elrgspnlem2  33385  elrgspnlem3  33386  psrmonmul  33808  ply1degltdimlem  33880  fedgmullem1  33887  fedgmullem2  33888  evls1fldgencl  33928  lincresunit2  49061