MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfifsupp 9382
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 9177 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
21adantl 481 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3 3ancoma 1097 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ↔ (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
43biimpi 215 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
54adantr 480 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
6 funisfsupp 9371 . . 3 ((Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
75, 6syl 17 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
82, 7mpbird 257 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wss 3948   class class class wbr 5148  Fun wfun 6537  (class class class)co 7412   supp csupp 8150  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-1o 8470  df-en 8944  df-fin 8947  df-fsupp 9366
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9383  fsfnn0gsumfsffz  19893  mptscmfsupp0  20682  uvcff  21566  uvcresum  21568  frlmup1  21573  psrass1lemOLD  21713  psrass1lem  21716  psrlidm  21743  psrridm  21744  psrass1  21745  psrass23l  21748  psrcom  21749  psrass23  21750  mvrcl  21771  mplsubrglem  21783  mplsubrg  21784  mplmon  21810  mplmonmul  21811  mplcoe1  21812  mplcoe5  21815  mplbas2  21817  psrbagev1  21858  psrbagev1OLD  21859  evlslem2  21862  evlslem3  21863  evlslem6  21864  psropprmul  21981  coe1mul2  22012  plypf1  25962  tayl0  26111  fsuppcurry1  32218  fsuppcurry2  32219  gsummptres2  32476  evls1fpws  32921  ply1degltdimlem  32996  fedgmullem1  33003  fedgmullem2  33004  evls1fldgencl  33034  fsuppsssuppgd  41371  lincresunit2  47247
  Copyright terms: Public domain W3C validator