Theorem suppssfifsupp 8532

Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssfifsupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 8422	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2	1	adantl 474	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		3ancoma 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ↔ (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
4	3	biimpi 208	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
5	4	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
6		funisfsupp 8522	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
8	2, 7	mpbird 249	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769   class class class wbr 4843  Fun wfun 6095  (class class class)co 6878   supp csupp 7532  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-om 7300  df-er 7982  df-en 8196  df-fin 8199  df-fsupp 8518

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8533  fsfnn0gsumfsffz  18694  mptscmfsupp0  19246  psrass1lem  19700  psrlidm  19726  psrridm  19727  psrass1  19728  psrass23l  19731  psrcom  19732  psrass23  19733  mplsubrglem  19762  mplsubrg  19763  mvrcl  19772  mplmon  19786  mplmonmul  19787  mplcoe1  19788  mplcoe5  19791  mplbas2  19793  psrbagev1  19832  evlslem2  19834  evlslem6  19835  evlslem3  19836  psropprmul  19930  coe1mul2  19961  uvcff  20455  uvcresum  20457  frlmup1  20462  plypf1  24309  tayl0  24457  lincresunit2  43066