MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfifsupp 9420
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 9213 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
21adantl 481 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3 3ancoma 1098 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ↔ (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
43biimpi 216 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
54adantr 480 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
6 funisfsupp 9407 . . 3 ((Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
75, 6syl 17 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
82, 7mpbird 257 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  Fun wfun 6555  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-fsupp 9402
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  9421  fsuppsssuppgd  9422  fsfnn0gsumfsffz  20001  mptscmfsupp0  20925  uvcff  21811  uvcresum  21813  frlmup1  21818  psrass1lem  21952  psrlidm  21982  psrridm  21983  psrass1  21984  psrass23l  21987  psrcom  21988  psrass23  21989  mvrcl  22012  mplsubrglem  22024  mplsubrg  22025  mplmon  22053  mplmonmul  22054  mplcoe1  22055  mplcoe5  22058  mplbas2  22060  psrbagev1  22101  evlslem2  22103  evlslem3  22104  evlslem6  22105  psropprmul  22239  coe1mul2  22272  evls1fpws  22373  plypf1  26251  tayl0  26403  fsuppcurry1  32736  fsuppcurry2  32737  gsummptres2  33056  elrgspnlem2  33247  elrgspnlem3  33248  ply1degltdimlem  33673  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  evls1fldgencl  33720  lincresunit2  48395
  Copyright terms: Public domain W3C validator