Theorem suppssfifsupp 9343

Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssfifsupp	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9160	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3		3ancoma 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ↔ (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
4	3	birani 509	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊))
5		funisfsupp 9330	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
7	2, 6	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  Fun wfun 6534  (class class class)co 7416   supp csupp 8158  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-1o 8455  df-en 8946  df-fin 8949  df-fsupp 9325

This theorem is used by:  fsuppsssupp  9344  fsuppsssuppgd  9345  fsfnn0gsumfsffz  20077  mptscmfsupp0  21078  uvcff  21971  uvcresum  21973  frlmup1  21978  psrass1lem  22113  psrlidm  22141  psrridm  22142  psrass1  22143  psrass23l  22146  psrcom  22147  psrass23  22148  mvrcl  22171  mplsubrglem  22183  mplsubrg  22184  mplmon  22216  mplmonmul  22217  mplcoe1  22218  mplcoe5  22221  mplbas2  22223  psrbagev1  22258  evlslem2  22260  evlslem3  22261  evlslem6  22262  psropprmul  22427  coe1mul2  22460  evls1fpws  22559  plypf1  26400  tayl0  26556  fsuppcurry1  33115  fsuppcurry2  33116  gsummptres2  33413  elrgspnlem2  33603  elrgspnlem3  33604  psrmonmul  33980  ply1degltdimlem  34052  fedgmullem1  34059  fedgmullem2  34060  evls1fldgencl  34100  lincresunit2  49291