Theorem fndmfifsupp 9416

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fndmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
fndmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fndmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fndmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fndmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
2		dffn3 6749	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 ↔ 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
4		fndmfisuppfi.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
5		fndmfisuppfi.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 9413	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8185  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-fsupp 9400

This theorem is referenced by:  resfifsupp  9435  gsummptcl  20000  psdmul  22188  esumgsum  34026  gsumesum  34040  matunitlindflem1  37603  matunitlindflem2  37604