Theorem fndmfifsupp 9378

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fndmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
fndmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fndmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fndmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fndmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
2		dffn3 6724	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 ↔ 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
4		fndmfisuppfi.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
5		fndmfisuppfi.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 9375	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ran crn 5670   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-supp 8147  df-1o 8467  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364

This theorem is referenced by:  resfifsupp  9394  gsummptcl  19887  esumgsum  33573  gsumesum  33587  matunitlindflem1  36997  matunitlindflem2  36998