Theorem fndmfifsupp 8840

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fndmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
fndmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fndmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fndmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fndmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
2		dffn3 6520	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 ↔ 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
4		fndmfisuppfi.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
5		fndmfisuppfi.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 8837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ran crn 5551   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  Fincfn 8503   finSupp cfsupp 8827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-supp 7825  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507  df-fsupp 8828

This theorem is referenced by:  resfifsupp  8855  gsummptcl  19081  esumgsum  31299  gsumesum  31313  matunitlindflem1  34882  matunitlindflem2  34883