MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fndmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fndmfifsupp 9239
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fndmfisuppfi.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐷)
fndmfisuppfi.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
fndmfisuppfi.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
fndmfifsupp (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fndmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fndmfisuppfi.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐷)
2 dffn3 6664 . . 3 (𝐹 Fn 𝐷 ↔ 𝐹:𝐷⟢ran 𝐹)
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢ran 𝐹)
4 fndmfisuppfi.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
5 fndmfisuppfi.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
63, 4, 5fdmfifsupp 9236 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  ran crn 5621   Fn wfn 6474  βŸΆwf 6475  Fincfn 8804   finSupp cfsupp 9226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-supp 8048  df-1o 8367  df-en 8805  df-fin 8808  df-fsupp 9227
This theorem is referenced by:  resfifsupp  9254  gsummptcl  19663  esumgsum  32311  gsumesum  32325  matunitlindflem1  35886  matunitlindflem2  35887
  Copyright terms: Public domain W3C validator