Theorem fndmfifsupp 8576

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fndmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
fndmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fndmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fndmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fndmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
2		dffn3 6302	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 ↔ 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 210	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ran 𝐹)
4		fndmfisuppfi.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
5		fndmfisuppfi.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 8573	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ran crn 5356   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-supp 7577  df-er 8026  df-en 8242  df-fin 8245  df-fsupp 8564

This theorem is referenced by:  resfifsupp  8591  gsummptcl  18752  esumgsum  30705  gsumesum  30719  matunitlindflem1  34031  matunitlindflem2  34032