Theorem tgcgrneq 28954

Description: Congruence and equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tkgeom.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tkgeom.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tkgeom.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tkgeom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrcomlr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
tgcgrneq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgcgrneq	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

Proof of Theorem tgcgrneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrneq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		tkgeom.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tkgeom.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		tkgeom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tkgeom.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgcgrcomlr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrcomlr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgcgrcomlr.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		tgcgrcomlr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgcgrcomlr.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgcgreqb 28952	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))
12	11	necon3bid 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐶 ≠ 𝐷))
13	1, 12	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-trkgc 28919  df-trkg 28924

This theorem is used by:  hlcgrex  29091  midexlem  29173  footexALT  29202  footexlem1  29203  footexlem2  29204  mideulem2  29219  opphllem3  29234  trgcopy  29320  iscgra1  29326  cgrane1  29328  cgrane2  29329  cgrcgra  29337  flatcgra  29341  ragcgra  29352  tgaaddcpbllem1  29358  tgaaddcpbl  29361  cgrg3col4  29381  angmgmaddeu1  29388  angmgmaddeu2  29389  angmgmaddeu3  29390  angmgmaddeu5  29392  angmgmaddeu7  29394  angmgmaddov2lem  29396  angmgmaddov1  29397  angmgmaddov2  29398  angmgmaddcl  29400  angmgmaddlid  29401  angmgmaddrid  29402  tgsas2  29410  tgsas3  29411  tgasa1  29412  inagcgrasubbtwn  33059  inagcgratrgmain  33063  tgexta  33087