Theorem tgcgrneq 28945

Description: Congruence and equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tkgeom.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tkgeom.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tkgeom.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tkgeom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrcomlr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrcomlr.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
tgcgrneq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgcgrneq	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

Proof of Theorem tgcgrneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrneq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		tkgeom.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tkgeom.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		tkgeom.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tkgeom.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgcgrcomlr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrcomlr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgcgrcomlr.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		tgcgrcomlr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgcgrcomlr.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgcgreqb 28943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))
12	11	necon3bid 3000	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐶 ≠ 𝐷))
13	1, 12	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-trkgc 28910  df-trkg 28915

This theorem is used by:  hlcgrex  29082  midexlem  29164  footexALT  29193  footexlem1  29194  footexlem2  29195  mideulem2  29210  opphllem3  29225  trgcopy  29311  iscgra1  29317  cgrane1  29319  cgrane2  29320  cgrcgra  29328  flatcgra  29332  ragcgra  29343  tgaaddcpbllem1  29349  tgaaddcpbl  29352  cgrg3col4  29372  angmgmaddeu1  29379  angmgmaddeu2  29380  angmgmaddeu3  29381  angmgmaddeu5  29383  angmgmaddeu7  29385  angmgmaddov2lem  29387  angmgmaddov1  29388  angmgmaddov2  29389  angmgmaddcl  29391  angmgmaddlid  29392  angmgmaddrid  29393  tgsas2  29401  tgsas3  29402  tgasa1  29403