Theorem tgsas2 29410

Description: First congruence theorem: SAS. Theorem 11.49 of [Schwabhauser] p. 107. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgsas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgsas.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgsas.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgsas.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgsas.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgsas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgsas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgsas.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgsas.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgsas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgsas.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgsas.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
tgsas.3	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
tgsas2.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tgsas2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐷𝐸”⟩)

Proof of Theorem tgsas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgsas.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgsas.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		tgsas.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgsas.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		tgsas.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgsas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgsas.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
9		tgsas.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgsas.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
11		tgsas.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
13		tgsas.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
14		tgsas.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
15		tgsas.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
16	1, 11, 2, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 8, 13, 14, 15	tgsas 29409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
17	1, 11, 2, 12, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 8, 16	cgr3rotr 28998	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐹𝐷𝐸”⟩)
18	1, 11, 2, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 8, 13, 14, 15	tgsas1 29408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
19		tgsas2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
20	19	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
21	1, 11, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 18, 20	tgcgrneq 28954	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐷)
22	1, 2, 3, 8, 6, 9, 4, 21	hlid 29084	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐷)𝐹)
23	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 8, 14	cgrane3 29330	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐷)
24	1, 2, 3, 10, 6, 9, 4, 23	hlid 29084	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸((hlG‘𝐺)‘𝐷)𝐸)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 8, 10, 17, 22, 24	iscgrad 29327	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐷𝐸”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ⟨“cs3 15001  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  cgrGccgrg 28982  hlGchlg 29072  cgrAccgra 29323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-cgrg 28983  df-leg 29055  df-hlg 29073  df-cgra 29324

This theorem is used by:  tgextalem1inag  33079