Theorem cgrcgra 29334

Description: Triangle congruence implies angle congruence. This is a portion of CPCTC, focusing on a specific angle. (Contributed by Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgraid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgraid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgraid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
cgraid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgraid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracom.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgrcgra.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
cgrcgra.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
cgrcgra.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrcgra	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem cgrcgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgraid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgraid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		cgraid.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		cgraid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		cgraid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		cgraid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		cgraid.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		cgracom.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		cgracom.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10		cgracom.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		cgrcgra.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
14	1, 12, 2, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cgr3simp1 28989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐸))
15		cgrcgra.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	1, 12, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 14, 15	tgcgrneq 28951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
17	1, 2, 3, 8, 5, 9, 4, 16	hlid 29081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐷)
18	1, 12, 2, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cgr3simp2 28990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(dist‘𝐺)𝐶) = (𝐸(dist‘𝐺)𝐹))
19	1, 12, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 18	tgcgrcomlr 28948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶(dist‘𝐺)𝐵) = (𝐹(dist‘𝐺)𝐸))
20		cgrcgra.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
21	20	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
22	1, 12, 2, 4, 7, 6, 10, 9, 19, 21	tgcgrneq 28951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
23	1, 2, 3, 10, 5, 9, 4, 22	hlid 29081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐾‘𝐸)𝐹)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 8, 10, 11, 17, 23	iscgrad 29324	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  ⟨“cs3 14998  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  cgrGccgrg 28979  hlGchlg 29069  cgrAccgra 29320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-s2 15004  df-s3 15005  df-trkgc 28916  df-trkgcb 28918  df-trkg 28921  df-cgrg 28980  df-hlg 29070  df-cgra 29321

This theorem is used by:  acopy  29347  tgaaddcpbllem1  29355  angmgmaddeu1  29385  tgsss1  29411  inagcgratrgmain  33060  tgmircgra  33072  tgaascgra  33089