MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgrcgra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrcgra 28062
Description: Triangle congruence implies angle congruence. This is a portion of CPCTC, focusing on a specific angle. (Contributed by Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgrcgra.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
cgrcgra.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
cgrcgra.3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgrcgra (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)

Proof of Theorem cgrcgra
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgraid.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 cgraid.k . 2 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 cgraid.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 cgraid.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7 cgraid.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 cgracom.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
9 cgracom.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
10 cgracom.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
11 cgrcgra.3 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
12 eqid 2733 . . . 4 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
141, 12, 2, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cgr3simp1 27761 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐸))
15 cgrcgra.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
161, 12, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 14, 15tgcgrneq 27724 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
171, 2, 3, 8, 5, 9, 4, 16hlid 27850 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
181, 12, 2, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cgr3simp2 27762 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))
191, 12, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 18tgcgrcomlr 27721 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐡) = (𝐹(distβ€˜πΊ)𝐸))
20 cgrcgra.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
2120necomd 2997 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
221, 12, 2, 4, 7, 6, 10, 9, 19, 21tgcgrneq 27724 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
231, 2, 3, 10, 5, 9, 4, 22hlid 27850 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 8, 10, 11, 17, 23iscgrad 28052 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6541  βŸ¨β€œcs3 14790  Basecbs 17141  distcds 17203  TarskiGcstrkg 27668  Itvcitv 27674  cgrGccgrg 27751  hlGchlg 27841  cgrAccgra 28048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-trkgc 27689  df-trkgcb 27691  df-trkg 27694  df-cgrg 27752  df-hlg 27842  df-cgra 28049
This theorem is referenced by:  acopy  28074  tgsss1  28101
  Copyright terms: Public domain W3C validator