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Theorem footexALT 26809
Description: Alternative version of footex 26812 which minimization requires a notably long time. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (𝜑𝐶𝑃)
foot.y (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
footexALT (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footexALT
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
3 isperp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isperp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
14 foot.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝑃)
1514ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐶𝑃)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐶𝑃)
1716ad6antr 736 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐶𝑃)
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑃)
19 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑑𝑃)
20 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦𝑃)
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑦𝑃)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑦𝑃)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑃)
24 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))
2524eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
261, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25midexlem 26783 . . . . . . . 8 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
2712adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2823adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑃)
29 simp-6r 788 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑧𝑃)
3029adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑃)
31 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝑃)
32 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑝𝑃)
3332ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑝𝑃)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑃)
35 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
3635simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑝) = (𝑦 𝑧))
3837adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑝) = (𝑦 𝑧))
39 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
41 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑃)
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑎𝑃)
4342ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎𝑃)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑎𝑃)
4544ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑃)
46 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑃)
4746ad10antr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑃)
48 simp-11r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
4948simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑏)
5049necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑎)
51 simp-9r 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
5251simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
531, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52btwnlng3 26712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑏𝐿𝑎))
541, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53lncom 26713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
5548simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
5654, 55eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝐴)
5756adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝐴)
58 foot.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
5958ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ¬ 𝐶𝐴)
6059ad10antr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
62 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑦𝐶)
6357, 61, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝐶)
6463necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑦)
6540, 64eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
671, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirinv 26757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) = 𝑦𝑝 = 𝑦))
6867necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦𝑝𝑦))
6965, 68mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑦)
7069necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑝)
711, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70tgcgrneq 26574 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑧)
7271necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑦)
73 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
74 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑞𝑃)
7574adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑃)
76 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑧𝑃)
77 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑞𝑃)
781, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77mircl 26752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
7978ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
8018adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑃)
81 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑𝑃)
821, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirbtwn 26749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
8340oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐼𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
8482, 83eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
85 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
8685simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
8786adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87tgbtwnouttr2 26586 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
891, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88tgbtwncom 26579 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
90 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
91 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9251simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
9339oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
9492, 93eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
951, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23israg 26788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑎 𝑦) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))))
9694, 95mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
9785simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))
981, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑎) = (𝐶 𝑎))
9997, 98eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐶 𝑎) = (𝑦 𝑞))
1001, 3, 4, 12, 45, 47, 49tglinerflx1 26724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
101100, 55eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝐴)
102 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑎𝐶)
103101, 60, 102syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝐶)
104103necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑎)
1051, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104tgcgrneq 26574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑞)
106105necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑞𝑦)
1071, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86tgbtwncom 26579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
10835simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
1091, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑞 𝑦) = (𝑎 𝑦))
1101, 2, 3, 12, 74, 45axtgcgrrflx 26553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑞 𝑎) = (𝑎 𝑞))
11197eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑎) = (𝑦 𝑞))
1121, 2, 3, 12, 74, 23, 33, 45, 23, 29, 45, 74, 106, 107, 108, 109, 37, 110, 111axtg5seg 26556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑝 𝑎) = (𝑧 𝑞))
1131, 2, 3, 12, 33, 45, 29, 74, 112tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑝) = (𝑞 𝑧))
1141, 2, 3, 12, 23, 33, 23, 29, 37tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑝 𝑦) = (𝑧 𝑦))
1151, 2, 91, 12, 45, 33, 23, 74, 29, 23, 113, 114, 111trgcgr 26607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩)
1161, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23, 91, 74, 29, 23, 96, 115ragcgr 26798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1171, 2, 3, 4, 5, 12, 74, 29, 23, 116ragcom 26789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1181, 2, 3, 4, 5, 12, 23, 29, 74israg 26788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))))
119117, 118mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
120119adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
12125adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
122 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))
123 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
1241, 2, 3, 4, 5, 27, 73, 13, 75, 79, 28, 80, 81, 30, 31, 89, 90, 120, 121, 122, 123krippen 26782 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑧𝐼𝑥))
1251, 3, 4, 27, 30, 28, 31, 72, 124btwnlng3 26712 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑧𝐿𝑦))
1261, 3, 4, 27, 28, 30, 31, 71, 125lncom 26713 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
127 isperp.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
128127ad5antr 734 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
129128ad9antr 742 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
13045adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑃)
13192adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
132131eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 𝑦))
133103adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝐶)
1341, 2, 3, 27, 130, 80, 130, 28, 132, 133tgcgrneq 26574 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑦)
135108adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
1361, 3, 4, 27, 130, 28, 30, 134, 135btwnlng3 26712 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
137101adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝐴)
1381, 3, 4, 27, 130, 28, 134, 134, 129, 137, 57tglinethru 26727 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑦))
139136, 138eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝐴)
1401, 3, 4, 27, 28, 30, 71, 71, 129, 57, 139tglinethru 26727 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑧))
141126, 140eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐴)
142 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑥𝐶)
143141, 61, 142syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐶)
144143necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑥)
1451, 3, 4, 27, 80, 31, 144tgelrnln 26721 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
1461, 3, 4, 27, 80, 31, 144tglinerflx2 26725 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
147146, 141elind 4108 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((𝐶𝐿𝑥) ∩ 𝐴))
1481, 3, 4, 27, 80, 31, 144tglinerflx1 26724 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
14927adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
150130adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝑃)
15128adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑃)
15234adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑝𝑃)
15380adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶𝑃)
154 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 = 𝐶)
155 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
156 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 = 𝑎)
157154, 155, 156s3eqd 14429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ = ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩)
15831adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥𝑃)
15930adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑃)
160106adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑦)
1611, 2, 3, 27, 28, 75, 28, 79, 120tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) 𝑦))
1621, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 73, 75mircgr 26748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)) = (𝑧 𝑞))
163162eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝑞) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
1641, 2, 3, 27, 30, 75, 30, 79, 163tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) 𝑧))
165 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑧))
1661, 2, 3, 27, 75, 28, 80, 79, 28, 81, 30, 30, 160, 89, 90, 161, 121, 164, 165axtg5seg 26556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 𝑧) = (𝑑 𝑧))
1671, 2, 3, 27, 80, 30, 81, 30, 166tgcgrcomlr 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝐶) = (𝑧 𝑑))
168123oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝑑) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
169167, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝐶) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
1701, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 31, 80israg 26788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑧 𝐶) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
171169, 170mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
172171adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
17372adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑦)
174173, 155neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑥)
175132adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 𝑦))
176133adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝐶)
1771, 2, 3, 149, 150, 153, 150, 151, 175, 176tgcgrneq 26574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝑦)
178177necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑎)
179136adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
1801, 3, 4, 149, 151, 150, 159, 178, 179lncom 26713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑎))
181155oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐿𝑎) = (𝑥𝐿𝑎))
182180, 181eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎))
183182orcd 873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎) ∨ 𝑥 = 𝑎))
1841, 2, 3, 4, 5, 149, 159, 158, 153, 150, 172, 174, 183ragcol 26790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1851, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 158, 153, 184ragcom 26789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
186157, 185eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18764adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶𝑦)
1881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 84tgbtwncom 26579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
1891, 4, 3, 27, 28, 34, 80, 188btwncolg3 26648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
190189adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
1911, 2, 3, 4, 5, 149, 153, 151, 150, 152, 186, 187, 190ragcol 26790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑝𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1921, 2, 3, 4, 5, 149, 152, 151, 150, 191ragcom 26789 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑦𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19396ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1941, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 151, 152, 192, 193ragflat 26795 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑝)
19570adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑝)
196195neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑝)
197194, 196pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
198197neqned 2947 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑥)
199123oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
200121, 199eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
2011, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80israg 26788 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 𝐶) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
202200, 201mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2031, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80, 202ragcom 26789 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐶𝑥𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2041, 2, 3, 4, 27, 145, 129, 147, 148, 57, 144, 198, 203ragperp 26808 . . . . . . . 8 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20526, 141, 204reximssdv 3195 . . . . . . 7 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2061, 2, 3, 11, 78, 22, 22, 17axtgsegcon 26555 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑑𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶)))
207205, 206r19.29a 3208 . . . . . 6 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2081, 2, 3, 10, 32, 21, 21, 44axtgsegcon 26555 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑞𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
209207, 208r19.29a 3208 . . . . 5 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
210 simplr 769 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝𝑃)
2111, 2, 3, 9, 43, 20, 20, 210axtgsegcon 26555 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
212209, 211r19.29a 3208 . . . 4 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
213 simplr 769 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑦𝑃)
214 simprr 773 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
2151, 2, 3, 4, 5, 8, 66, 213, 16, 42, 214midexlem 26783 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑝𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
216212, 215r19.29a 3208 . . 3 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2171, 2, 3, 7, 46, 41, 41, 15axtgsegcon 26555 . . 3 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑦𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
218216, 217r19.29a 3208 . 2 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2191, 3, 4, 6, 127tgisline 26718 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
220218, 219r19.29vva 3252 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062   class class class wbr 5053  ran crn 5552  cfv 6380  (class class class)co 7213  ⟨“cs3 14407  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  cgrGccgrg 26601  pInvGcmir 26743  ∟Gcrag 26784  ⟂Gcperpg 26786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-cgrg 26602  df-leg 26674  df-mir 26744  df-rag 26785  df-perpg 26787
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