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Theorem footexALT 28726
Description: Alternative version of footex 28729 which minimization requires a notably long time. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (𝜑𝐶𝑃)
foot.y (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
footexALT (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footexALT
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
3 isperp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isperp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
14 foot.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝑃)
1514ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐶𝑃)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐶𝑃)
1716ad6antr 736 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝐶𝑃)
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑃)
19 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑑𝑃)
20 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦𝑃)
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑦𝑃)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑦𝑃)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑃)
24 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))
2524eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
261, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25midexlem 28700 . . . . . . . 8 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
2712adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2823adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑃)
29 simp-6r 788 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑧𝑃)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑃)
31 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝑃)
32 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑝𝑃)
3332ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑝𝑃)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑃)
35 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
3635simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑝) = (𝑦 𝑧))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑝) = (𝑦 𝑧))
39 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
41 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑃)
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑎𝑃)
4342ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎𝑃)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → 𝑎𝑃)
4544ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑃)
46 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑃)
4746ad10antr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑃)
48 simp-11r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
4948simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝑏)
5049necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑏𝑎)
51 simp-9r 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
5251simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
531, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52btwnlng3 28629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑏𝐿𝑎))
541, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53lncom 28630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
5548simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
5654, 55eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝐴)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝐴)
58 foot.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
5958ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ¬ 𝐶𝐴)
6059ad10antr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶𝐴)
62 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑦𝐶)
6357, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝐶)
6463necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑦)
6540, 64eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
671, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirinv 28674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) = 𝑦𝑝 = 𝑦))
6867necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦𝑝𝑦))
6965, 68mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝𝑦)
7069necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑝)
711, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70tgcgrneq 28491 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑧)
7271necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝑦)
73 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
74 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑞𝑃)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑃)
76 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑧𝑃)
77 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → 𝑞𝑃)
781, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77mircl 28669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
7978ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
8018adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑃)
81 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑𝑃)
821, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirbtwn 28666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
8340oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐼𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
8482, 83eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
85 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
8685simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87tgbtwnouttr2 28503 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
891, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
90 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
91 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9251simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
9339oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
9492, 93eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
951, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23israg 28705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑎 𝑦) = (𝑎 (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))))
9694, 95mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
9785simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))
981, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑎) = (𝐶 𝑎))
9997, 98eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝐶 𝑎) = (𝑦 𝑞))
1001, 3, 4, 12, 45, 47, 49tglinerflx1 28641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
101100, 55eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝐴)
102 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑎𝐶)
103101, 60, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑎𝐶)
104103necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝐶𝑎)
1051, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104tgcgrneq 28491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦𝑞)
106105necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑞𝑦)
1071, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
10835simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
1091, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑞 𝑦) = (𝑎 𝑦))
1101, 2, 3, 12, 74, 45axtgcgrrflx 28470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑞 𝑎) = (𝑎 𝑞))
11197eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑎) = (𝑦 𝑞))
1121, 2, 3, 12, 74, 23, 33, 45, 23, 29, 45, 74, 106, 107, 108, 109, 37, 110, 111axtg5seg 28473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑝 𝑎) = (𝑧 𝑞))
1131, 2, 3, 12, 33, 45, 29, 74, 112tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑎 𝑝) = (𝑞 𝑧))
1141, 2, 3, 12, 23, 33, 23, 29, 37tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑝 𝑦) = (𝑧 𝑦))
1151, 2, 91, 12, 45, 33, 23, 74, 29, 23, 113, 114, 111trgcgr 28524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩)
1161, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23, 91, 74, 29, 23, 96, 115ragcgr 28715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1171, 2, 3, 4, 5, 12, 74, 29, 23, 116ragcom 28706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1181, 2, 3, 4, 5, 12, 23, 29, 74israg 28705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))))
119117, 118mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑞) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
12125adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 𝑑))
122 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))
123 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
1241, 2, 3, 4, 5, 27, 73, 13, 75, 79, 28, 80, 81, 30, 31, 89, 90, 120, 121, 122, 123krippen 28699 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑧𝐼𝑥))
1251, 3, 4, 27, 30, 28, 31, 72, 124btwnlng3 28629 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑧𝐿𝑦))
1261, 3, 4, 27, 28, 30, 31, 71, 125lncom 28630 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
127 isperp.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
128127ad5antr 734 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
129128ad9antr 742 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
13045adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑃)
13192adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
132131eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 𝑦))
133103adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝐶)
1341, 2, 3, 27, 130, 80, 130, 28, 132, 133tgcgrneq 28491 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝑦)
135108adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
1361, 3, 4, 27, 130, 28, 30, 134, 135btwnlng3 28629 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
137101adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎𝐴)
1381, 3, 4, 27, 130, 28, 134, 134, 129, 137, 57tglinethru 28644 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑦))
139136, 138eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧𝐴)
1401, 3, 4, 27, 28, 30, 71, 71, 129, 57, 139tglinethru 28644 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑧))
141126, 140eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐴)
142 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑥𝐶)
143141, 61, 142syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥𝐶)
144143necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶𝑥)
1451, 3, 4, 27, 80, 31, 144tgelrnln 28638 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
1461, 3, 4, 27, 80, 31, 144tglinerflx2 28642 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
147146, 141elind 4200 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((𝐶𝐿𝑥) ∩ 𝐴))
1481, 3, 4, 27, 80, 31, 144tglinerflx1 28641 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
14927adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
150130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝑃)
15128adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑃)
15234adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑝𝑃)
15380adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶𝑃)
154 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 = 𝐶)
155 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
156 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 = 𝑎)
157154, 155, 156s3eqd 14903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ = ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩)
15831adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥𝑃)
15930adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑃)
160106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞𝑦)
1611, 2, 3, 27, 28, 75, 28, 79, 120tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) 𝑦))
1621, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 73, 75mircgr 28665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)) = (𝑧 𝑞))
163162eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝑞) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
1641, 2, 3, 27, 30, 75, 30, 79, 163tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) 𝑧))
165 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑧))
1661, 2, 3, 27, 75, 28, 80, 79, 28, 81, 30, 30, 160, 89, 90, 161, 121, 164, 165axtg5seg 28473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 𝑧) = (𝑑 𝑧))
1671, 2, 3, 27, 80, 30, 81, 30, 166tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝐶) = (𝑧 𝑑))
168123oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝑑) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
169167, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 𝐶) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
1701, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 31, 80israg 28705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑧 𝐶) = (𝑧 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
171169, 170mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
172171adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
17372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑦)
174173, 155neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧𝑥)
175132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑎 𝐶) = (𝑎 𝑦))
176133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝐶)
1771, 2, 3, 149, 150, 153, 150, 151, 175, 176tgcgrneq 28491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎𝑦)
178177necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑎)
179136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
1801, 3, 4, 149, 151, 150, 159, 178, 179lncom 28630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑎))
181155oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐿𝑎) = (𝑥𝐿𝑎))
182180, 181eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎))
183182orcd 874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎) ∨ 𝑥 = 𝑎))
1841, 2, 3, 4, 5, 149, 159, 158, 153, 150, 172, 174, 183ragcol 28707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1851, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 158, 153, 184ragcom 28706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
186157, 185eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18764adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶𝑦)
1881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 84tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
1891, 4, 3, 27, 28, 34, 80, 188btwncolg3 28565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
1911, 2, 3, 4, 5, 149, 153, 151, 150, 152, 186, 187, 190ragcol 28707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑝𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1921, 2, 3, 4, 5, 149, 152, 151, 150, 191ragcom 28706 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑦𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19396ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1941, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 151, 152, 192, 193ragflat 28712 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑝)
19570adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝑝)
196195neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑝)
197194, 196pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
198197neqned 2947 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦𝑥)
199123oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝑑) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
200121, 199eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 𝐶) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
2011, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80israg 28705 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 𝐶) = (𝑦 (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
202200, 201mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2031, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80, 202ragcom 28706 . . . . . . . . 9 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐶𝑥𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2041, 2, 3, 4, 27, 145, 129, 147, 148, 57, 144, 198, 203ragperp 28725 . . . . . . . 8 (((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) ∧ (𝑥𝑃𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20526, 141, 204reximssdv 3173 . . . . . . 7 ((((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2061, 2, 3, 11, 78, 22, 22, 17axtgsegcon 28472 . . . . . . 7 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑑𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 𝑑) = (𝑦 𝐶)))
207205, 206r19.29a 3162 . . . . . 6 ((((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2081, 2, 3, 10, 32, 21, 21, 44axtgsegcon 28472 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑞𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 𝑞) = (𝑦 𝑎)))
209207, 208r19.29a 3162 . . . . 5 ((((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
210 simplr 769 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝𝑃)
2111, 2, 3, 9, 43, 20, 20, 210axtgsegcon 28472 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝑝)))
212209, 211r19.29a 3162 . . . 4 ((((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
213 simplr 769 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → 𝑦𝑃)
214 simprr 773 . . . . 5 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))
2151, 2, 3, 4, 5, 8, 66, 213, 16, 42, 214midexlem 28700 . . . 4 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑝𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
216212, 215r19.29a 3162 . . 3 ((((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶))) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2171, 2, 3, 7, 46, 41, 41, 15axtgsegcon 28472 . . 3 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑦𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 𝑦) = (𝑎 𝐶)))
218216, 217r19.29a 3162 . 2 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
2191, 3, 4, 6, 127tgisline 28635 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎𝑏))
220218, 219r19.29vva 3216 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  cgrGccgrg 28518  pInvGcmir 28660  ∟Gcrag 28701  ⟂Gcperpg 28703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704
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