Theorem footexALT 29007

Description: Alternative version of footex 29010 which minimization requires a notably long time. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footexALT	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥, −   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footexALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
14		foot.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	16	ad6antr 748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
20		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
24		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
25	24	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
26	1, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25	midexlem 28978	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
27	12	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	23	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simp-6r 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
31		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
32		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
33	32	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
35		simp-5r 797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
36	35	simprd 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
37	36	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑝) = (𝑦 − 𝑧))
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑝) = (𝑦 − 𝑧))
39		simp-7r 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
41		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
44	43	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
45	44	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
46		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
47	46	ad10antr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
48		simp-11r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
49	48	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
50	49	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ≠ 𝑎)
51		simp-9r 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
52	51	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
53	1, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52	btwnlng3 28903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑏𝐿𝑎))
54	1, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53	lncom 28904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
55	48	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
56	54, 55	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
57	56	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
58		foot.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
59	58	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
60	59	ad10antr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
62		nelne2 3056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝐶)
63	57, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝐶)
64	63	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ≠ 𝑦)
65	40, 64	eqnetrrd 3026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦)
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
67	1, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28	mirinv 28952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑦))
68	67	necon3bid 3002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑦))
69	65, 68	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ≠ 𝑦)
70	69	necomd 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑝)
71	1, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70	tgcgrneq 28761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑧)
72	71	necomd 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ≠ 𝑦)
73		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
74		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
75	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
76		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
77		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
78	1, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77	mircl 28947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
79	78	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
80	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
81		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
82	1, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28	mirbtwn 28944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
83	40	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐼𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
84	82, 83	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
85		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
86	85	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
87	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
88	1, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87	tgbtwnouttr2 28773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
89	1, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88	tgbtwncom 28766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
90		simplrl 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
91		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
92	51	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
93	39	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝐶) = (𝑎 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
94	92, 93	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23	israg 28986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))))
96	94, 95	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
97	85	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
98	1, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑎) = (𝐶 − 𝑎))
99	97, 98	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝑎) = (𝑦 − 𝑞))
100	1, 3, 4, 12, 45, 47, 49	tglinerflx1 28915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
101	100, 55	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
102		nelne2 3056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≠ 𝐶)
103	101, 60, 102	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝐶)
104	103	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ≠ 𝑎)
105	1, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104	tgcgrneq 28761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑞)
106	105	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑞 ≠ 𝑦)
107	1, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86	tgbtwncom 28766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
108	35	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
109	1, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑞 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑦))
110	1, 2, 3, 12, 74, 45	axtgcgrrflx 28740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑞 − 𝑎) = (𝑎 − 𝑞))
111	97	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑎) = (𝑦 − 𝑞))
112	1, 2, 3, 12, 74, 23, 33, 45, 23, 29, 45, 74, 106, 107, 108, 109, 37, 110, 111	axtg5seg 28743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑝 − 𝑎) = (𝑧 − 𝑞))
113	1, 2, 3, 12, 33, 45, 29, 74, 112	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑝) = (𝑞 − 𝑧))
114	1, 2, 3, 12, 23, 33, 23, 29, 37	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑝 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑦))
115	1, 2, 91, 12, 45, 33, 23, 74, 29, 23, 113, 114, 111	trgcgr 28794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩)
116	1, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23, 91, 74, 29, 23, 96, 115	ragcgr 28996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
117	1, 2, 3, 4, 5, 12, 74, 29, 23, 116	ragcom 28987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
118	1, 2, 3, 4, 5, 12, 23, 29, 74	israg 28986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))))
119	117, 118	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
120	119	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
121	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
122		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))
123		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
124	1, 2, 3, 4, 5, 27, 73, 13, 75, 79, 28, 80, 81, 30, 31, 89, 90, 120, 121, 122, 123	krippen 28977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑧𝐼𝑥))
125	1, 3, 4, 27, 30, 28, 31, 72, 124	btwnlng3 28903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑧𝐿𝑦))
126	1, 3, 4, 27, 28, 30, 31, 71, 125	lncom 28904	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
127		isperp.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
128	127	ad5antr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
129	128	ad9antr 754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
130	45	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
131	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
132	131	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝐶) = (𝑎 − 𝑦))
133	103	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝐶)
134	1, 2, 3, 27, 130, 80, 130, 28, 132, 133	tgcgrneq 28761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑦)
135	108	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
136	1, 3, 4, 27, 130, 28, 30, 134, 135	btwnlng3 28903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
137	101	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
138	1, 3, 4, 27, 130, 28, 134, 134, 129, 137, 57	tglinethru 28918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑦))
139	136, 138	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
140	1, 3, 4, 27, 28, 30, 71, 71, 129, 57, 139	tglinethru 28918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑧))
141	126, 140	eleqtrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
142		nelne2 3056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐶)
143	141, 61, 142	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ≠ 𝐶)
144	143	necomd 3013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ≠ 𝑥)
145	1, 3, 4, 27, 80, 31, 144	tgelrnln 28912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
146	1, 3, 4, 27, 80, 31, 144	tglinerflx2 28916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
147	146, 141	elind 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((𝐶𝐿𝑥) ∩ 𝐴))
148	1, 3, 4, 27, 80, 31, 144	tglinerflx1 28915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
149	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
150	130	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑃)
151	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑃)
152	34	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑝 ∈ 𝑃)
153	80	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
154		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 = 𝐶)
155		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
156		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 = 𝑎)
157	154, 155, 156	s3eqd 14906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ = ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩)
158	31	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
159	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
160	106	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ≠ 𝑦)
161	1, 2, 3, 27, 28, 75, 28, 79, 120	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 − 𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) − 𝑦))
162	1, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 73, 75	mircgr 28943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)) = (𝑧 − 𝑞))
163	162	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝑞) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
164	1, 2, 3, 27, 30, 75, 30, 79, 163	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 − 𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) − 𝑧))
165		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑧))
166	1, 2, 3, 27, 75, 28, 80, 79, 28, 81, 30, 30, 160, 89, 90, 161, 121, 164, 165	axtg5seg 28743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 − 𝑧) = (𝑑 − 𝑧))
167	1, 2, 3, 27, 80, 30, 81, 30, 166	tgcgrcomlr 28758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝐶) = (𝑧 − 𝑑))
168	123	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝑑) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
169	167, 168	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝐶) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
170	1, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 31, 80	israg 28986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑧 − 𝐶) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
171	169, 170	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
172	171	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
173	72	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑦)
174	173, 155	neeqtrd 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑥)
175	132	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑎 − 𝐶) = (𝑎 − 𝑦))
176	133	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 ≠ 𝐶)
177	1, 2, 3, 149, 150, 153, 150, 151, 175, 176	tgcgrneq 28761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 ≠ 𝑦)
178	177	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑎)
179	136	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
180	1, 3, 4, 149, 151, 150, 159, 178, 179	lncom 28904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑎))
181	155	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐿𝑎) = (𝑥𝐿𝑎))
182	180, 181	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎))
183	182	orcd 886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎) ∨ 𝑥 = 𝑎))
184	1, 2, 3, 4, 5, 149, 159, 158, 153, 150, 172, 174, 183	ragcol 28988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
185	1, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 158, 153, 184	ragcom 28987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
186	157, 185	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
187	64	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 ≠ 𝑦)
188	1, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 84	tgbtwncom 28766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
189	1, 4, 3, 27, 28, 34, 80, 188	btwncolg3 28835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
190	189	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
191	1, 2, 3, 4, 5, 149, 153, 151, 150, 152, 186, 187, 190	ragcol 28988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑝𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
192	1, 2, 3, 4, 5, 149, 152, 151, 150, 191	ragcom 28987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑦𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
193	96	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
194	1, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 151, 152, 192, 193	ragflat 28993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑝)
195	70	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑝)
196	195	neneqd 2963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑝)
197	194, 196	pm2.65da 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
198	197	neqned 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑥)
199	123	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
200	121, 199	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
201	1, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80	israg 28986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
202	200, 201	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
203	1, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80, 202	ragcom 28987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐶𝑥𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
204	1, 2, 3, 4, 27, 145, 129, 147, 148, 57, 144, 198, 203	ragperp 29006	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
205	26, 141, 204	reximssdv 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
206	1, 2, 3, 11, 78, 22, 22, 17	axtgsegcon 28742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶)))
207	205, 206	r19.29a 3173	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
208	1, 2, 3, 10, 32, 21, 21, 44	axtgsegcon 28742	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
209	207, 208	r19.29a 3173	. . . . 5 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
210		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
211	1, 2, 3, 9, 43, 20, 20, 210	axtgsegcon 28742	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
212	209, 211	r19.29a 3173	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
213		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
214		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
215	1, 2, 3, 4, 5, 8, 66, 213, 16, 42, 214	midexlem 28978	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
216	212, 215	r19.29a 3173	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
217	1, 2, 3, 7, 46, 41, 41, 15	axtgsegcon 28742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
218	216, 217	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
219	1, 3, 4, 6, 127	tgisline 28909	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
220	218, 219	r19.29vva 3225	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ⟨“cs3 14884  Basecbs 17273  distcds 17323  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712  cgrGccgrg 28788  pInvGcmir 28938  ∟Gcrag 28982  ⟂Gcperpg 28984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkg 28731  df-cgrg 28789  df-leg 28861  df-mir 28939  df-rag 28983  df-perpg 28985

This theorem is used by: (None)