Theorem footexALT 28805

Description: Alternative version of footex 28808 which minimization requires a notably long time. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
footexALT	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥, −   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃

Proof of Theorem footexALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑝 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
14		foot.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	15	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	16	ad6antr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
20		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22	21	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
23	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
24		simprr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))
25	24	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
26	1, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25	midexlem 28779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
27	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simp-6r 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
31		simprl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
32		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
33	32	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
35		simp-5r 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
36	35	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))
37	36	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑝) = (𝑦 − 𝑧))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑝) = (𝑦 − 𝑧))
39		simp-7r 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
41		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
42	41	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
44	43	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
45	44	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
46		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
47	46	ad10antr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
48		simp-11r 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
49	48	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
50	49	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑏 ≠ 𝑎)
51		simp-9r 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
52	51	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦))
53	1, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52	btwnlng3 28708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑏𝐿𝑎))
54	1, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53	lncom 28709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
55	48	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑏))
56	54, 55	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
58		foot.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
59	58	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
60	59	ad10antr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
62		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝐶)
63	57, 61, 62	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝐶)
64	63	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ≠ 𝑦)
65	40, 64	eqnetrrd 3002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦)
66		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑝) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑝)
67	1, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28	mirinv 28753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑦))
68	67	necon3bid 2978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑦))
69	65, 68	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ≠ 𝑦)
70	69	necomd 2989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑝)
71	1, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70	tgcgrneq 28570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑧)
72	71	necomd 2989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ≠ 𝑦)
73		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑧) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑧)
74		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
76		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
77		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
78	1, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77	mircl 28748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
79	78	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) ∈ 𝑃)
80	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
81		simpllr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
82	1, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28	mirbtwn 28745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
83	40	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐼𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)𝐼𝑦))
84	82, 83	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
85		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
86	85	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
88	1, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87	tgbtwnouttr2 28582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
89	1, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88	tgbtwncom 28575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
90		simplrl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑))
91		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
92	51	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
93	39	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝐶) = (𝑎 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
94	92, 93	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)))
95	1, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23	israg 28784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))))
96	94, 95	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
97	85	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))
98	1, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑎) = (𝐶 − 𝑎))
99	97, 98	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝑎) = (𝑦 − 𝑞))
100	1, 3, 4, 12, 45, 47, 49	tglinerflx1 28720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
101	100, 55	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
102		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑎 ≠ 𝐶)
103	101, 60, 102	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝐶)
104	103	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ≠ 𝑎)
105	1, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104	tgcgrneq 28570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑞)
106	105	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑞 ≠ 𝑦)
107	1, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86	tgbtwncom 28575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
108	35	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
109	1, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑞 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑦))
110	1, 2, 3, 12, 74, 45	axtgcgrrflx 28549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑞 − 𝑎) = (𝑎 − 𝑞))
111	97	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑎) = (𝑦 − 𝑞))
112	1, 2, 3, 12, 74, 23, 33, 45, 23, 29, 45, 74, 106, 107, 108, 109, 37, 110, 111	axtg5seg 28552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑝 − 𝑎) = (𝑧 − 𝑞))
113	1, 2, 3, 12, 33, 45, 29, 74, 112	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑝) = (𝑞 − 𝑧))
114	1, 2, 3, 12, 23, 33, 23, 29, 37	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑝 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑦))
115	1, 2, 91, 12, 45, 33, 23, 74, 29, 23, 113, 114, 111	trgcgr 28603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩)
116	1, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23, 91, 74, 29, 23, 96, 115	ragcgr 28794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑞𝑧𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
117	1, 2, 3, 4, 5, 12, 74, 29, 23, 116	ragcom 28785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
118	1, 2, 3, 4, 5, 12, 23, 29, 74	israg 28784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (⟨“𝑦𝑧𝑞”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))))
119	117, 118	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
121	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑑))
122		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞))
123		simprr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))
124	1, 2, 3, 4, 5, 27, 73, 13, 75, 79, 28, 80, 81, 30, 31, 89, 90, 120, 121, 122, 123	krippen 28778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑧𝐼𝑥))
125	1, 3, 4, 27, 30, 28, 31, 72, 124	btwnlng3 28708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑧𝐿𝑦))
126	1, 3, 4, 27, 28, 30, 31, 71, 125	lncom 28709	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐿𝑧))
127		isperp.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
128	127	ad5antr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
129	128	ad9antr 748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
130	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
131	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
132	131	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑎 − 𝐶) = (𝑎 − 𝑦))
133	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝐶)
134	1, 2, 3, 27, 130, 80, 130, 28, 132, 133	tgcgrneq 28570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ≠ 𝑦)
135	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧))
136	1, 3, 4, 27, 130, 28, 30, 134, 135	btwnlng3 28708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
137	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
138	1, 3, 4, 27, 130, 28, 134, 134, 129, 137, 57	tglinethru 28723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑎𝐿𝑦))
139	136, 138	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
140	1, 3, 4, 27, 28, 30, 71, 71, 129, 57, 139	tglinethru 28723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑧))
141	126, 140	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
142		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐶)
143	141, 61, 142	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ≠ 𝐶)
144	143	necomd 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ≠ 𝑥)
145	1, 3, 4, 27, 80, 31, 144	tgelrnln 28717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
146	1, 3, 4, 27, 80, 31, 144	tglinerflx2 28721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
147	146, 141	elind 4130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑥 ∈ ((𝐶𝐿𝑥) ∩ 𝐴))
148	1, 3, 4, 27, 80, 31, 144	tglinerflx1 28720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝑥))
149	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
150	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑃)
151	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑃)
152	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑝 ∈ 𝑃)
153	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
154		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 = 𝐶)
155		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
156		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 = 𝑎)
157	154, 155, 156	s3eqd 14818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ = ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩)
158	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
159	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
160	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑞 ≠ 𝑦)
161	1, 2, 3, 27, 28, 75, 28, 79, 120	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 − 𝑦) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) − 𝑦))
162	1, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 73, 75	mircgr 28744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)) = (𝑧 − 𝑞))
163	162	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝑞) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)))
164	1, 2, 3, 27, 30, 75, 30, 79, 163	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑞 − 𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞) − 𝑧))
165		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑧))
166	1, 2, 3, 27, 75, 28, 80, 79, 28, 81, 30, 30, 160, 89, 90, 161, 121, 164, 165	axtg5seg 28552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 − 𝑧) = (𝑑 − 𝑧))
167	1, 2, 3, 27, 80, 30, 81, 30, 166	tgcgrcomlr 28567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝐶) = (𝑧 − 𝑑))
168	123	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝑑) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
169	167, 168	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑧 − 𝐶) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
170	1, 2, 3, 4, 5, 27, 30, 31, 80	israg 28784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑧 − 𝐶) = (𝑧 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
171	169, 170	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
172	171	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑧𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
173	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑦)
174	173, 155	neeqtrd 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑥)
175	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑎 − 𝐶) = (𝑎 − 𝑦))
176	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 ≠ 𝐶)
177	1, 2, 3, 149, 150, 153, 150, 151, 175, 176	tgcgrneq 28570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑎 ≠ 𝑦)
178	177	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑎)
179	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑦))
180	1, 3, 4, 149, 151, 150, 159, 178, 179	lncom 28709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝑎))
181	155	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐿𝑎) = (𝑥𝐿𝑎))
182	180, 181	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎))
183	182	orcd 879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑎) ∨ 𝑥 = 𝑎))
184	1, 2, 3, 4, 5, 149, 159, 158, 153, 150, 172, 174, 183	ragcol 28786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
185	1, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 158, 153, 184	ragcom 28785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑥𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
186	157, 185	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝐶𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
187	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝐶 ≠ 𝑦)
188	1, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 84	tgbtwncom 28575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑝 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
189	1, 4, 3, 27, 28, 34, 80, 188	btwncolg3 28644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐶 ∈ (𝑦𝐿𝑝) ∨ 𝑦 = 𝑝))
191	1, 2, 3, 4, 5, 149, 153, 151, 150, 152, 186, 187, 190	ragcol 28786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑝𝑦𝑎”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
192	1, 2, 3, 4, 5, 149, 152, 151, 150, 191	ragcom 28785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑦𝑝”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
193	96	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ⟨“𝑎𝑝𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
194	1, 2, 3, 4, 5, 149, 150, 151, 152, 192, 193	ragflat 28791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑝)
195	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑝)
196	195	neneqd 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑦 = 𝑝)
197	194, 196	pm2.65da 822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ¬ 𝑦 = 𝑥)
198	197	neqned 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝑥)
199	123	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
200	121, 199	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶)))
201	1, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80	israg 28784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑦 − 𝐶) = (𝑦 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))))
202	200, 201	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝑦𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
203	1, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 31, 80, 202	ragcom 28785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → ⟨“𝐶𝑥𝑦”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
204	1, 2, 3, 4, 27, 145, 129, 147, 148, 57, 144, 198, 203	ragperp 28804	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐶))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
205	26, 141, 204	reximssdv 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
206	1, 2, 3, 11, 78, 22, 22, 17	axtgsegcon 28551	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑧)‘𝑞)𝐼𝑑) ∧ (𝑦 − 𝑑) = (𝑦 − 𝐶)))
207	205, 206	r19.29a 3147	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
208	1, 2, 3, 10, 32, 21, 21, 44	axtgsegcon 28551	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑝𝐼𝑞) ∧ (𝑦 − 𝑞) = (𝑦 − 𝑎)))
209	207, 208	r19.29a 3147	. . . . 5 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
210		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
211	1, 2, 3, 9, 43, 20, 20, 210	axtgsegcon 28551	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑎𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑝)))
212	209, 211	r19.29a 3147	. . . 4 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
213		simplr 774	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
214		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))
215	1, 2, 3, 4, 5, 8, 66, 213, 16, 42, 214	midexlem 28779	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑝)‘𝑦))
216	212, 215	r19.29a 3147	. . 3 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
217	1, 2, 3, 7, 46, 41, 41, 15	axtgsegcon 28551	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎 ∈ (𝑏𝐼𝑦) ∧ (𝑎 − 𝑦) = (𝑎 − 𝐶)))
218	216, 217	r19.29a 3147	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
219	1, 3, 4, 6, 127	tgisline 28714	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑎𝐿𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
220	218, 219	r19.29vva 3199	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   class class class wbr 5073  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ⟨“cs3 14796  Basecbs 17171  distcds 17221  TarskiGcstrkg 28514  Itvcitv 28520  LineGclng 28521  cgrGccgrg 28597  pInvGcmir 28739  ∟Gcrag 28780  ⟂Gcperpg 28782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-xnn0 12503  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-s1 14551  df-s2 14802  df-s3 14803  df-trkgc 28535  df-trkgb 28536  df-trkgcb 28537  df-trkg 28540  df-cgrg 28598  df-leg 28670  df-mir 28740  df-rag 28781  df-perpg 28783

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