midexlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem midexlem 28671

Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀‘𝐴) has to be used. See mideu 28717 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
midexlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midexlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
midexlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
midexlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
midexlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		midexlem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		midexlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
3		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐶))
4	2, 3	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝑀 = (𝑆‘𝐶))
5	4	fveq1d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))
6	5	rspceeqv 3596	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
7	1, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
8	7	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
9		midexlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		mirval.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		mirval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		mirval.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		mirval.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15		mirval.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16	mircinv 28647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	18, 19	eqtr2d 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
21		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
22	2, 21	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑀 = (𝑆‘𝐴))
23	22	fveq1d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
24	23	rspceeqv 3596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
25	9, 20, 24	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
26	25	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
27	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
29	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		midexlem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		midexlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
36	10, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35	colmid 28667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	8, 26, 36	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
38	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
53	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
59	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
62	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
64	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
65	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
67	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
69	10, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68	ncolne1 28604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
70	69	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
73	72	necomd 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
74	66, 73	eqnetrd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
75	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝑃)
77	65	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
78	61	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
79		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
80	79	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
81	80	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑃)
83	68	ad9antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	10, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83	ncolrot2 28542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
85	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
86	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
87	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
88	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
90	10, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89	colcom 28537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
91	90	stoic1a 1773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
92	91	ad9antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
93	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92	ncolne1 28604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
94	93	necomd 2984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
95		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
96	95	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
97	96	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
98	10, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97	btwnlng3 28600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
99	10, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98	lncom 28601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
100	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
102	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
103	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105	104	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106	103, 105	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
107	10, 11, 12, 100, 101, 102, 106	axtgbtwnid 28445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
108	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
109	108	neneqd 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110	107, 109	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111	110	neqned 2936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐶)
112	10, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111	ncolncol 28625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
113	10, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112	ncolcom 28540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
116	115	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
119		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
120	119	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
121	120	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
122	121	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
123	10, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122	tgcgrcomlr 28459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝐴) = (𝑞 − 𝐵))
124		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
125	124	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
126	125	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
127	126	necomd 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
128	10, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127	tgcgrneq 28462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐵)
129	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128	ncolncol 28625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
130	10, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129	ncolne2 28605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐴)
131	130	necomd 2984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑞)
132		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133	132	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
134	10, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133	btwnlng1 28598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
135	10, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134	lncom 28601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐴)
138	10, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137	ncolncol 28625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
139	10, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138	ncolne2 28605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
140	74, 139	pm2.61dane 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ≠ 𝐶)
141		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142	141	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143	142	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
144	10, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143	btwncolg3 28536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
146		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147	146	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148	147	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150	124	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
153	34	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
154	153	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
155	10, 11, 12, 42, 48, 52	axtgcgrrflx 28441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
156	10, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155	axtg5seg 28444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 − 𝐵) = (𝑞 − 𝐴))
157	10, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156	tgcgrcomlr 28459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
158	157	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
159		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
160	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp2 28500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑠 − 𝑞))
161	10, 11, 12, 53, 64, 65	axtgcgrrflx 28441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
162	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123	tgifscgr 28487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐴) = (𝑠 − 𝐵))
163		simp-10l 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164	125	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
165	10, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164	btwnlng3 28600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
166	10, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127	ncolncol 28625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
167	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
169	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
170	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
171		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
172	10, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171	colrot1 28538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173	172	stoic1a 1773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174	163, 118, 166, 173	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
175	10, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166	ncolne2 28605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐵)
176	175	necomd 2984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑝)
177	176	neneqd 2934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
178	10, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133	btwncolg1 28534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
179	10, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162	tgcgrcomlr 28459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐵 − 𝑠))
180	120	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
181	10, 11, 12, 53, 118, 81	axtgcgrrflx 28441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑝))
182	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181	tgifscgr 28487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑠 − 𝑝))
183	10, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
184	10, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185	184	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186	160	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
187	10, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186	tgcgrcomlr 28459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝑠) = (𝑝 − 𝑟))
188	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp1 28499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑟) = (𝐴 − 𝑠))
189	188	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑠) = (𝐵 − 𝑟))
190	10, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189	tgcgrcomlr 28459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐴) = (𝑟 − 𝐵))
191	10, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190	tgcgrextend 28464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝐴) = (𝑝 − 𝐵))
192	10, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191	trgcgr 28495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
193	10, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192	lnxfr 28545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194	193	orcomd 871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝 ∨ 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195	194	ord 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝 → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196	177, 195	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
197	10, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148	btwnlng1 28598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
198	10, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149	btwnlng1 28598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
199	10, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134	tglineinteq 28624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200	199	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐵))
201	162, 200	eqtr2d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐴))
202	154	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
203	10, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202	lncgr 28548	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
204	10, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157	tgcgrxfr 28497	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205	203, 204	r19.29a 3141	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
206		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
207	10, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206	tgbtwncom 28467	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
208	10, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207	ismir 28638	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
209		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
210		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
211	10, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210	axtgpasch 28446	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212	208, 211	reximddv 3149	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
213	10, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150	tgbtwncom 28467	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
214	10, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95	tgbtwncom 28467	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
215	10, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214	axtgpasch 28446	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216	212, 215	r19.29a 3141	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
217		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
218	10, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217	axtgsegcon 28443	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
219	216, 218	r19.29a 3141	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
220	10	fvexi 6842	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222	221, 56, 44, 69	nehash2 14383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
223	10, 11, 12, 38, 56, 44, 222	tgbtwndiff 28485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
224	219, 223	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
225	37, 224	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 ∃wrex 3057 Vcvv 3437 class class class wbr 5093 ‘cfv 6486 (class class class)co 7352 ⟨“cs3 14751 Basecbs 17122 distcds 17172 TarskiGcstrkg 28406 Itvcitv 28412 LineGclng 28413 cgrGccgrg 28489 pInvGcmir 28631

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5219 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5305 ax-pr 5372 ax-un 7674 ax-cnex 11069 ax-resscn 11070 ax-1cn 11071 ax-icn 11072 ax-addcl 11073 ax-addrcl 11074 ax-mulcl 11075 ax-mulrcl 11076 ax-mulcom 11077 ax-addass 11078 ax-mulass 11079 ax-distr 11080 ax-i2m1 11081 ax-1ne0 11082 ax-1rid 11083 ax-rnegex 11084 ax-rrecex 11085 ax-cnre 11086 ax-pre-lttri 11087 ax-pre-lttrn 11088 ax-pre-ltadd 11089 ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4576 df-pr 4578 df-tp 4580 df-op 4582 df-uni 4859 df-int 4898 df-iun 4943 df-br 5094 df-opab 5156 df-mpt 5175 df-tr 5201 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7309 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-om 7803 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8297 df-rdg 8335 df-1o 8391 df-oadd 8395 df-er 8628 df-pm 8759 df-en 8876 df-dom 8877 df-sdom 8878 df-fin 8879 df-dju 9801 df-card 9839 df-pnf 11155 df-mnf 11156 df-xr 11157 df-ltxr 11158 df-le 11159 df-sub 11353 df-neg 11354 df-nn 12133 df-2 12195 df-3 12196 df-n0 12389 df-xnn0 12462 df-z 12476 df-uz 12739 df-fz 13410 df-fzo 13557 df-hash 14240 df-word 14423 df-concat 14480 df-s1 14506 df-s2 14757 df-s3 14758 df-trkgc 28427 df-trkgb 28428 df-trkgcb 28429 df-trkg 28432 df-cgrg 28490 df-mir 28632

This theorem is referenced by: footexALT 28697 footex 28700 colperpexlem3 28711 opphllem 28714

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