MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midexlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midexlem 28700
Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀𝐴) has to be used. See mideu 28746 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m 𝑀 = (𝑆𝑥)
midexlem.a (𝜑𝐴𝑃)
midexlem.b (𝜑𝐵𝑃)
midexlem.c (𝜑𝐶𝑃)
midexlem.1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
Assertion
Ref Expression
midexlem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 midexlem.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2 midexlem.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑆𝑥)
3 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐶))
42, 3eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶𝑀 = (𝑆𝐶))
54fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐶)‘𝐴))
65rspceeqv 3645 . . . . 5 ((𝐶𝑃𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
71, 6sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
87adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
9 midexlem.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
10 mirval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
11 mirval.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
12 mirval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13 mirval.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 mirval.s . . . . . . . 8 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15 mirval.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16mircinv 28676 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2018, 19eqtr2d 2778 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
21 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
222, 21eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴𝑀 = (𝑆𝐴))
2322fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
2423rspceeqv 3645 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
259, 20, 24syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2625adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2715adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28 eqid 2737 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
299adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
30 midexlem.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
321adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
33 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34 midexlem.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3534adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3610, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35colmid 28696 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
378, 26, 36mpjaodan 961 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
3815adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3938ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4241adantr 480 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43 simprl 771 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥𝑃)
449adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
4544ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑃)
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴𝑃)
4746ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴𝑃)
4847adantr 480 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴𝑃)
4930ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵𝑃)
5049ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵𝑃)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵𝑃)
5251adantr 480 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵𝑃)
5342ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟𝑃)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝑃)
561adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶𝑃)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐶𝑃)
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶𝑃)
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝑃)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝑃)
6243ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥𝑃)
63 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
6452ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑃)
6548ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑃)
66 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
6730adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
6910, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68ncolne1 28633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝐴)
7069ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝐴)
7170ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐴)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶𝐴)
7372necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
7466, 73eqnetrd 3008 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟𝐶)
7553adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝑃)
7765adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐴𝑃)
7861adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐶𝑃)
79 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑞𝑃)
8079ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞𝑃)
8180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝑃)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑞𝑃)
8368ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8410, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83ncolrot2 28571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
8515adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
879adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
881adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶𝑃)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9010, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89colcom 28566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9190stoic1a 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9291ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9310, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92ncolne1 28633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐵)
9493necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝐶)
95 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9695ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9810, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97btwnlng3 28629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
9910, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98lncom 28630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
10053adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
10264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
10397adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105104oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106103, 105eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
10710, 11, 12, 100, 101, 102, 106axtgbtwnid 28474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
10893adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝐵)
109108neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110107, 109pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111110neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐶)
11210, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111ncolncol 28654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
11310, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112ncolcom 28569 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑝𝑃)
116115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝𝑃)
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝𝑃)
118117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝑃)
119 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
120119simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
121120eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
122121ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
12310, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝐴) = (𝑞 𝐵))
124 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
125124ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
126125simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑝)
127126necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐴)
12810, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127tgcgrneq 28491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐵)
12910, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128ncolncol 28654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
13010, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129ncolne2 28634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐴)
131130necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑞)
132 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133132simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
13410, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133btwnlng1 28627 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
13510, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134lncom 28630 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136135adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
13810, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137ncolncol 28654 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
13910, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138ncolne2 28634 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐶)
14074, 139pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝐶)
141 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142141simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143142simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
14410, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143btwncolg3 28565 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠𝑃)
146 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147146simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148147ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150124simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
15334ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
154153eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
15510, 11, 12, 42, 48, 52axtgcgrrflx 28470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴))
15610, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155axtg5seg 28473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 𝐵) = (𝑞 𝐴))
15710, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
158157ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
159 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
16010, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159cgr3simp2 28529 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑝) = (𝑠 𝑞))
16110, 11, 12, 53, 64, 65axtgcgrrflx 28470 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵))
16210, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123tgifscgr 28516 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐴) = (𝑠 𝐵))
163 simp-10l 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164125simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
16510, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164btwnlng3 28629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
16610, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127ncolncol 28654 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
16715ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝𝑃)
1699ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
17030ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
171 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17210, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171colrot1 28567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173172stoic1a 1772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174163, 118, 166, 173syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17510, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166ncolne2 28634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐵)
176175necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑝)
177176neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
17810, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133btwncolg1 28563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
17910, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑟) = (𝐵 𝑠))
180120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
18110, 11, 12, 53, 118, 81axtgcgrrflx 28470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
18210, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181tgifscgr 28516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑞) = (𝑠 𝑝))
18310, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
18410, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185184ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186160eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝑞) = (𝑟 𝑝))
18710, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝑠) = (𝑝 𝑟))
18810, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159cgr3simp1 28528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑟) = (𝐴 𝑠))
189188eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑠) = (𝐵 𝑟))
19010, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐴) = (𝑟 𝐵))
19110, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190tgcgrextend 28493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝐴) = (𝑝 𝐵))
19210, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191trgcgr 28524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
19310, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192lnxfr 28574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194193orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195194ord 865 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196177, 195mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
19710, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148btwnlng1 28627 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
19810, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149btwnlng1 28627 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
19910, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134tglineinteq 28653 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200199oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐵) = (𝑟 𝐵))
201162, 200eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐵) = (𝑟 𝐴))
202154ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
20310, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202lncgr 28577 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
20410, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157tgcgrxfr 28526 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205203, 204r19.29a 3162 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
206 simprrl 781 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20710, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206tgbtwncom 28496 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
20810, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207ismir 28667 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
209 simplr 769 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟𝑃)
210 simprr 773 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
21110, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210axtgpasch 28475 . . . . . 6 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212208, 211reximddv 3171 . . . . 5 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
21310, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150tgbtwncom 28496 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
21410, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95tgbtwncom 28496 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
21510, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214axtgpasch 28475 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216212, 215r19.29a 3162 . . . 4 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
217 simplr 769 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝑃)
21810, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217axtgsegcon 28472 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑞𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
219216, 218r19.29a 3162 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22010fvexi 6920 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
221220a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222221, 56, 44, 69nehash2 14513 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
22310, 11, 12, 38, 56, 44, 222tgbtwndiff 28514 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
224219, 223r19.29a 3162 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22537, 224pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  cgrGccgrg 28518  pInvGcmir 28660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-mir 28661
This theorem is referenced by:  footexALT  28726  footex  28729  colperpexlem3  28740  opphllem  28743
  Copyright terms: Public domain W3C validator