midexlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem midexlem 29169

Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀‘𝐴) has to be used. See mideu 29219 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
midexlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midexlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
midexlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
midexlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
midexlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		midexlem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		midexlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
3		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐶))
4	2, 3	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝑀 = (𝑆‘𝐶))
5	4	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))
6	5	rspceeqv 3598	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
7	1, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
8	7	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
9		midexlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		mirval.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		mirval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		mirval.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		mirval.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15		mirval.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16	mircinv 29145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	18, 19	eqtr2d 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
21		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
22	2, 21	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑀 = (𝑆‘𝐴))
23	22	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
24	23	rspceeqv 3598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
25	9, 20, 24	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
26	25	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
27	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
29	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		midexlem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		midexlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
36	10, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35	colmid 29165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	8, 26, 36	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
38	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	41	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
48	47	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
50	49	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
53	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
59	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
61	60	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
62	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
64	52	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
65	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
67	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
68		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
69	10, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68	ncolne1 29098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
70	69	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
72	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
73	72	necomd 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
74	66, 73	eqnetrd 3022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
75	53	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	55	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝑃)
77	65	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
78	61	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
79		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
80	79	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑃)
83	68	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	10, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83	ncolrot2 29031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
85	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
86	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
87	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
88	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
89		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
90	10, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89	colcom 29026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
91	90	stoic1a 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
92	91	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
93	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92	ncolne1 29098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
94	93	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
95		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
96	95	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
97	96	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
98	10, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97	btwnlng3 29094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
99	10, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98	lncom 29095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
100	53	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
102	64	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
103	97	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105	104	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106	103, 105	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
107	10, 11, 12, 100, 101, 102, 106	axtgbtwnid 28933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
108	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
109	108	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110	107, 109	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111	110	neqned 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐶)
112	10, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111	ncolncol 29120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
113	10, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112	ncolcom 29029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114	113	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
116	115	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
118	117	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
119		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
120	119	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
121	120	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
122	121	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
123	10, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122	tgcgrcomlr 28947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝐴) = (𝑞 − 𝐵))
124		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
125	124	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
126	125	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
127	126	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
128	10, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127	tgcgrneq 28950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐵)
129	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128	ncolncol 29120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
130	10, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129	ncolne2 29099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐴)
131	130	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑞)
132		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133	132	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
134	10, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133	btwnlng1 29092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
135	10, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134	lncom 29095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136	135	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐴)
138	10, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137	ncolncol 29120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
139	10, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138	ncolne2 29099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
140	74, 139	pm2.61dane 3042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ≠ 𝐶)
141		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142	141	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143	142	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
144	10, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143	btwncolg3 29025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
146		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147	146	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148	147	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150	124	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151	150	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152	151	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
153	34	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
154	153	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
155	10, 11, 12, 42, 48, 52	axtgcgrrflx 28929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
156	10, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155	axtg5seg 28932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 − 𝐵) = (𝑞 − 𝐴))
157	10, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156	tgcgrcomlr 28947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
158	157	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
159		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
160	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp2 28989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑠 − 𝑞))
161	10, 11, 12, 53, 64, 65	axtgcgrrflx 28929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
162	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123	tgifscgr 28976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐴) = (𝑠 − 𝐵))
163		simp-10l 807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164	125	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
165	10, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164	btwnlng3 29094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
166	10, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127	ncolncol 29120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
167	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
169	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
170	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
171		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
172	10, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171	colrot1 29027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173	172	stoic1a 1804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174	163, 118, 166, 173	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
175	10, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166	ncolne2 29099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐵)
176	175	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑝)
177	176	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
178	10, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133	btwncolg1 29023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
179	10, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162	tgcgrcomlr 28947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐵 − 𝑠))
180	120	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
181	10, 11, 12, 53, 118, 81	axtgcgrrflx 28929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑝))
182	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181	tgifscgr 28976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑠 − 𝑝))
183	10, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149	tgbtwncom 28956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
184	10, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147	tgbtwncom 28956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185	184	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186	160	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
187	10, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186	tgcgrcomlr 28947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝑠) = (𝑝 − 𝑟))
188	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp1 28988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑟) = (𝐴 − 𝑠))
189	188	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑠) = (𝐵 − 𝑟))
190	10, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189	tgcgrcomlr 28947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐴) = (𝑟 − 𝐵))
191	10, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190	tgcgrextend 28952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝐴) = (𝑝 − 𝐵))
192	10, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191	trgcgr 28984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
193	10, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192	lnxfr 29034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194	193	orcomd 885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝 ∨ 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195	194	ord 878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝 → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196	177, 195	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
197	10, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148	btwnlng1 29092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
198	10, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149	btwnlng1 29092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
199	10, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134	tglineinteq 29119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200	199	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐵))
201	162, 200	eqtr2d 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐴))
202	154	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
203	10, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202	lncgr 29037	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
204	10, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157	tgcgrxfr 28986	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205	203, 204	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
206		simprrl 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
207	10, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206	tgbtwncom 28956	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
208	10, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207	ismir 29136	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
209		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
210		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
211	10, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210	axtgpasch 28934	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212	208, 211	reximddv 3178	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
213	10, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150	tgbtwncom 28956	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
214	10, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95	tgbtwncom 28956	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
215	10, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214	axtgpasch 28934	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216	212, 215	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
217		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
218	10, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217	axtgsegcon 28931	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
219	216, 218	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
220	10	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222	221, 56, 44, 69	nehash2 14622	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
223	10, 11, 12, 38, 56, 44, 222	tgbtwndiff 28974	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
224	219, 223	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
225	37, 224	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ∃wrex 3086 Vcvv 3450 class class class wbr 5102 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ⟨“cs3 14997 Basecbs 17392 distcds 17442 TarskiGcstrkg 28894 Itvcitv 28900 LineGclng 28901 cgrGccgrg 28978 pInvGcmir 29129

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11259 ax-resscn 11260 ax-1cn 11261 ax-icn 11262 ax-addcl 11263 ax-addrcl 11264 ax-mulcl 11265 ax-mulrcl 11266 ax-mulcom 11267 ax-addass 11268 ax-mulass 11269 ax-distr 11270 ax-i2m1 11271 ax-1ne0 11272 ax-1rid 11273 ax-rnegex 11274 ax-rrecex 11275 ax-cnre 11276 ax-pre-lttri 11277 ax-pre-lttrn 11278 ax-pre-ltadd 11279 ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8382 df-rdg 8421 df-1o 8479 df-oadd 8483 df-er 8720 df-pm 8853 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-fin 8980 df-dju 9985 df-card 10023 df-pnf 11348 df-mnf 11349 df-xr 11350 df-ltxr 11351 df-le 11352 df-sub 11546 df-neg 11547 df-nn 12339 df-2 12408 df-3 12409 df-n0 12610 df-xnn0 12683 df-z 12697 df-uz 12969 df-fz 13643 df-fzo 13792 df-hash 14478 df-word 14662 df-concat 14719 df-s1 14746 df-s2 15003 df-s3 15004 df-trkgc 28915 df-trkgb 28916 df-trkgcb 28917 df-trkg 28920 df-cgrg 28979 df-mir 29130

This theorem is used by: footexALT 29198 footex 29201 colperpexlem3 29213 opphllem 29216

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