midexlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem midexlem 27634

Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀‘𝐴) has to be used. See mideu 27680 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
midexlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midexlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
midexlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
midexlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
midexlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		midexlem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		midexlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
3		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐶))
4	2, 3	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝑀 = (𝑆‘𝐶))
5	4	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))
6	5	rspceeqv 3595	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
7	1, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
8	7	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
9		midexlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		mirval.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		mirval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		mirval.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		mirval.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15		mirval.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16	mircinv 27610	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	18, 19	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
21		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
22	2, 21	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑀 = (𝑆‘𝐴))
23	22	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
24	23	rspceeqv 3595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
25	9, 20, 24	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
26	25	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
27	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
29	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		midexlem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		midexlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
35	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
36	10, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35	colmid 27630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	8, 26, 36	mpjaodan 957	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
38	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
48	47	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	30	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
50	49	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
53	42	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57	56	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
59	58	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
61	60	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
62	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
64	52	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
65	48	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
67	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
68		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
69	10, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68	ncolne1 27567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
70	69	ad7antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
71	70	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
73	72	necomd 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
74	66, 73	eqnetrd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
75	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝑃)
77	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
78	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
79		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
80	79	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
81	80	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑃)
83	68	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	10, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83	ncolrot2 27505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
85	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
86	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
87	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
88	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
89		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
90	10, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89	colcom 27500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
91	90	stoic1a 1774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
92	91	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
93	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92	ncolne1 27567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
94	93	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
95		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
96	95	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
97	96	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
98	10, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97	btwnlng3 27563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
99	10, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98	lncom 27564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
100	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
102	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
103	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105	104	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106	103, 105	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
107	10, 11, 12, 100, 101, 102, 106	axtgbtwnid 27408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
108	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
109	108	neneqd 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110	107, 109	pm2.65da 815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111	110	neqned 2950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐶)
112	10, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111	ncolncol 27588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
113	10, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112	ncolcom 27503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
116	115	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
118	117	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
119		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
120	119	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
121	120	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
122	121	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
123	10, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122	tgcgrcomlr 27422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝐴) = (𝑞 − 𝐵))
124		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
125	124	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
126	125	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
127	126	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
128	10, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127	tgcgrneq 27425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐵)
129	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128	ncolncol 27588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
130	10, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129	ncolne2 27568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐴)
131	130	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑞)
132		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133	132	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
134	10, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133	btwnlng1 27561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
135	10, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134	lncom 27564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐴)
138	10, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137	ncolncol 27588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
139	10, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138	ncolne2 27568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
140	74, 139	pm2.61dane 3032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ≠ 𝐶)
141		simpllr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142	141	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143	142	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
144	10, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143	btwncolg3 27499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
146		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147	146	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148	147	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150	124	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151	150	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
153	34	ad8antr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
154	153	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
155	10, 11, 12, 42, 48, 52	axtgcgrrflx 27404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
156	10, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155	axtg5seg 27407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 − 𝐵) = (𝑞 − 𝐴))
157	10, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156	tgcgrcomlr 27422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
158	157	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
159		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
160	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp2 27463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑠 − 𝑞))
161	10, 11, 12, 53, 64, 65	axtgcgrrflx 27404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
162	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123	tgifscgr 27450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐴) = (𝑠 − 𝐵))
163		simp-10l 793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164	125	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
165	10, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164	btwnlng3 27563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
166	10, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127	ncolncol 27588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
167	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
169	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
170	30	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
171		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
172	10, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171	colrot1 27501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173	172	stoic1a 1774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174	163, 118, 166, 173	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
175	10, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166	ncolne2 27568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐵)
176	175	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑝)
177	176	neneqd 2948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
178	10, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133	btwncolg1 27497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
179	10, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162	tgcgrcomlr 27422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐵 − 𝑠))
180	120	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
181	10, 11, 12, 53, 118, 81	axtgcgrrflx 27404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑝))
182	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181	tgifscgr 27450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑠 − 𝑝))
183	10, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149	tgbtwncom 27430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
184	10, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147	tgbtwncom 27430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185	184	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186	160	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
187	10, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186	tgcgrcomlr 27422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝑠) = (𝑝 − 𝑟))
188	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp1 27462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑟) = (𝐴 − 𝑠))
189	188	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑠) = (𝐵 − 𝑟))
190	10, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189	tgcgrcomlr 27422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐴) = (𝑟 − 𝐵))
191	10, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190	tgcgrextend 27427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝐴) = (𝑝 − 𝐵))
192	10, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191	trgcgr 27458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
193	10, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192	lnxfr 27508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194	193	orcomd 869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝 ∨ 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195	194	ord 862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝 → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196	177, 195	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
197	10, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148	btwnlng1 27561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
198	10, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149	btwnlng1 27561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
199	10, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134	tglineinteq 27587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200	199	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐵))
201	162, 200	eqtr2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐴))
202	154	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
203	10, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202	lncgr 27511	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
204	10, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157	tgcgrxfr 27460	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205	203, 204	r19.29a 3159	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
206		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
207	10, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206	tgbtwncom 27430	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
208	10, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207	ismir 27601	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
209		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
210		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
211	10, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210	axtgpasch 27409	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212	208, 211	reximddv 3168	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
213	10, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150	tgbtwncom 27430	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
214	10, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95	tgbtwncom 27430	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
215	10, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214	axtgpasch 27409	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216	212, 215	r19.29a 3159	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
217		simplr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
218	10, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217	axtgsegcon 27406	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
219	216, 218	r19.29a 3159	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
220	10	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222	221, 56, 44, 69	nehash2 14373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
223	10, 11, 12, 38, 56, 44, 222	tgbtwndiff 27448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
224	219, 223	r19.29a 3159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
225	37, 224	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∨ wo 845 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3073 Vcvv 3445 class class class wbr 5105 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ⟨“cs3 14731 Basecbs 17083 distcds 17142 TarskiGcstrkg 27369 Itvcitv 27375 LineGclng 27376 cgrGccgrg 27452 pInvGcmir 27594

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-oadd 8416 df-er 8648 df-pm 8768 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-dju 9837 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-xnn0 12486 df-z 12500 df-uz 12764 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-hash 14231 df-word 14403 df-concat 14459 df-s1 14484 df-s2 14737 df-s3 14738 df-trkgc 27390 df-trkgb 27391 df-trkgcb 27392 df-trkg 27395 df-cgrg 27453 df-mir 27595

This theorem is referenced by: footexALT 27660 footex 27663 colperpexlem3 27674 opphllem 27677

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