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Theorem midexlem 26815
Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀𝐴) has to be used. See mideu 26861 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m 𝑀 = (𝑆𝑥)
midexlem.a (𝜑𝐴𝑃)
midexlem.b (𝜑𝐵𝑃)
midexlem.c (𝜑𝐶𝑃)
midexlem.1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
Assertion
Ref Expression
midexlem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 midexlem.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2 midexlem.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑆𝑥)
3 fveq2 6739 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐶))
42, 3syl5eq 2792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶𝑀 = (𝑆𝐶))
54fveq1d 6741 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐶)‘𝐴))
65rspceeqv 3567 . . . . 5 ((𝐶𝑃𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
71, 6sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
87adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
9 midexlem.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
10 mirval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
11 mirval.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
12 mirval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13 mirval.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 mirval.s . . . . . . . 8 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15 mirval.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
16 eqid 2739 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16mircinv 26791 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2018, 19eqtr2d 2780 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
21 fveq2 6739 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
222, 21syl5eq 2792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴𝑀 = (𝑆𝐴))
2322fveq1d 6741 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
2423rspceeqv 3567 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
259, 20, 24syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2625adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2715adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28 eqid 2739 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
299adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
30 midexlem.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
3130adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
321adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
33 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34 midexlem.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3534adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3610, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35colmid 26811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
378, 26, 36mpjaodan 959 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
3815adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3938ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4241adantr 484 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43 simprl 771 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥𝑃)
449adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
4544ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑃)
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴𝑃)
4746ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴𝑃)
4847adantr 484 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴𝑃)
4930ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵𝑃)
5049ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵𝑃)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵𝑃)
5251adantr 484 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵𝑃)
5342ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟𝑃)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝑃)
561adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶𝑃)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐶𝑃)
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶𝑃)
6059adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝑃)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝑃)
6243ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥𝑃)
63 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
6452ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑃)
6548ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑃)
66 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
6730adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
68 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
6910, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68ncolne1 26748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝐴)
7069ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝐴)
7170ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐴)
7271adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶𝐴)
7372necomd 2999 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
7466, 73eqnetrd 3011 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟𝐶)
7553adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7655adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝑃)
7765adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐴𝑃)
7861adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐶𝑃)
79 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑞𝑃)
8079ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞𝑃)
8180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝑃)
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑞𝑃)
8368ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8410, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83ncolrot2 26686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
8515adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8630adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
879adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
881adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶𝑃)
89 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9010, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89colcom 26681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9190stoic1a 1780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9291ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9310, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92ncolne1 26748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐵)
9493necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝐶)
95 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9695ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9810, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97btwnlng3 26744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
9910, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98lncom 26745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
10053adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10161adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
10264adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
10397adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105104oveq2d 7251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106103, 105eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
10710, 11, 12, 100, 101, 102, 106axtgbtwnid 26589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
10893adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝐵)
109108neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110107, 109pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111110neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐶)
11210, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111ncolncol 26769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
11310, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112ncolcom 26684 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114113adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑝𝑃)
116115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝𝑃)
117116adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝𝑃)
118117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝑃)
119 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
120119simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
121120eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
122121ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
12310, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122tgcgrcomlr 26603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝐴) = (𝑞 𝐵))
124 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
125124ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
126125simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑝)
127126necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐴)
12810, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127tgcgrneq 26606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐵)
12910, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128ncolncol 26769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
13010, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129ncolne2 26749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐴)
131130necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑞)
132 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133132simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
13410, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133btwnlng1 26742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
13510, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134lncom 26745 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136135adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
13810, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137ncolncol 26769 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
13910, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138ncolne2 26749 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐶)
14074, 139pm2.61dane 3032 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝐶)
141 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142141simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143142simprd 499 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
14410, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143btwncolg3 26680 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠𝑃)
146 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147146simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148147ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150124simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152151adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
15334ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
154153eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
15510, 11, 12, 42, 48, 52axtgcgrrflx 26585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴))
15610, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155axtg5seg 26588 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 𝐵) = (𝑞 𝐴))
15710, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156tgcgrcomlr 26603 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
158157ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
159 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
16010, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159cgr3simp2 26644 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑝) = (𝑠 𝑞))
16110, 11, 12, 53, 64, 65axtgcgrrflx 26585 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵))
16210, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123tgifscgr 26631 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐴) = (𝑠 𝐵))
163 simp-10l 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164125simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
16510, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164btwnlng3 26744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
16610, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127ncolncol 26769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
16715ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝𝑃)
1699ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
17030ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
171 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17210, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171colrot1 26682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173172stoic1a 1780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174163, 118, 166, 173syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17510, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166ncolne2 26749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐵)
176175necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑝)
177176neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
17810, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133btwncolg1 26678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
17910, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162tgcgrcomlr 26603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑟) = (𝐵 𝑠))
180120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
18110, 11, 12, 53, 118, 81axtgcgrrflx 26585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
18210, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181tgifscgr 26631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑞) = (𝑠 𝑝))
18310, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149tgbtwncom 26611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
18410, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147tgbtwncom 26611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185184ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186160eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝑞) = (𝑟 𝑝))
18710, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186tgcgrcomlr 26603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝑠) = (𝑝 𝑟))
18810, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159cgr3simp1 26643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑟) = (𝐴 𝑠))
189188eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑠) = (𝐵 𝑟))
19010, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189tgcgrcomlr 26603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐴) = (𝑟 𝐵))
19110, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190tgcgrextend 26608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝐴) = (𝑝 𝐵))
19210, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191trgcgr 26639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
19310, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192lnxfr 26689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194193orcomd 871 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195194ord 864 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196177, 195mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
19710, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148btwnlng1 26742 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
19810, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149btwnlng1 26742 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
19910, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134tglineinteq 26768 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200199oveq1d 7250 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐵) = (𝑟 𝐵))
201162, 200eqtr2d 2780 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐵) = (𝑟 𝐴))
202154ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
20310, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202lncgr 26692 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
20410, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157tgcgrxfr 26641 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205203, 204r19.29a 3218 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
206 simprrl 781 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20710, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206tgbtwncom 26611 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
20810, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207ismir 26782 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
209 simplr 769 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟𝑃)
210 simprr 773 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
21110, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210axtgpasch 26590 . . . . . 6 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212208, 211reximddv 3204 . . . . 5 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
21310, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150tgbtwncom 26611 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
21410, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95tgbtwncom 26611 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
21510, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214axtgpasch 26590 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216212, 215r19.29a 3218 . . . 4 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
217 simplr 769 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝑃)
21810, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217axtgsegcon 26587 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑞𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
219216, 218r19.29a 3218 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22010fvexi 6753 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
221220a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222221, 56, 44, 69nehash2 14073 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
22310, 11, 12, 38, 56, 44, 222tgbtwndiff 26629 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
224219, 223r19.29a 3218 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22537, 224pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3423   class class class wbr 5070  cfv 6401  (class class class)co 7235  ⟨“cs3 14440  Basecbs 16793  distcds 16844  TarskiGcstrkg 26553  Itvcitv 26559  LineGclng 26560  cgrGccgrg 26633  pInvGcmir 26775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-oadd 8230  df-er 8415  df-pm 8535  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-dju 9547  df-card 9585  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-n0 12121  df-xnn0 12193  df-z 12207  df-uz 12469  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-hash 13930  df-word 14103  df-concat 14159  df-s1 14186  df-s2 14446  df-s3 14447  df-trkgc 26571  df-trkgb 26572  df-trkgcb 26573  df-trkg 26576  df-cgrg 26634  df-mir 26776
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