midexlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem midexlem 28838

Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀‘𝐴) has to be used. See mideu 28884 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
midexlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midexlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
midexlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
midexlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
midexlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		midexlem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		midexlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
3		fveq2 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐶))
4	2, 3	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝑀 = (𝑆‘𝐶))
5	4	fveq1d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))
6	5	rspceeqv 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
7	1, 6	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
8	7	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
9		midexlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		mirval.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		mirval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		mirval.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		mirval.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15		mirval.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16	mircinv 28814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
18	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	18, 19	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
21		fveq2 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
22	2, 21	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑀 = (𝑆‘𝐴))
23	22	fveq1d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
24	23	rspceeqv 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
25	9, 20, 24	syl2an2r 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
26	25	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
27	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
29	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		midexlem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		midexlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
35	34	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
36	10, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35	colmid 28834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	8, 26, 36	mpjaodan 971	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
38	15	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	40	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	41	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
45	44	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
46	45	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	46	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
48	47	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	30	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
50	49	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	50	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
52	51	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
53	42	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57	56	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
59	58	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	59	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
61	60	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
62	43	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
64	52	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
65	48	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
67	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
68		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
69	10, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68	ncolne1 28771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
70	69	ad7antr 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
71	70	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
72	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
73	72	necomd 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
74	66, 73	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
75	53	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	55	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝑃)
77	65	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
78	61	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
79		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
80	79	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
81	80	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
82	81	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑃)
83	68	ad9antr 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	10, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83	ncolrot2 28709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
85	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
86	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
87	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
88	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
89		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
90	10, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89	colcom 28704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
91	90	stoic1a 1791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
92	91	ad9antr 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
93	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92	ncolne1 28771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
94	93	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
95		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
96	95	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
97	96	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
98	10, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97	btwnlng3 28767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
99	10, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98	lncom 28768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
100	53	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	61	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
102	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
103	97	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105	104	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106	103, 105	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
107	10, 11, 12, 100, 101, 102, 106	axtgbtwnid 28612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
108	93	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
109	108	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110	107, 109	pm2.65da 826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111	110	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐶)
112	10, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111	ncolncol 28792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
113	10, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112	ncolcom 28707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114	113	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115		simp-4r 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
116	115	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
117	116	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
118	117	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
119		simp-4r 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
120	119	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
121	120	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
122	121	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
123	10, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122	tgcgrcomlr 28626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝐴) = (𝑞 − 𝐵))
124		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
125	124	ad5antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
126	125	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
127	126	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
128	10, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127	tgcgrneq 28629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐵)
129	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128	ncolncol 28792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
130	10, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129	ncolne2 28772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐴)
131	130	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑞)
132		simp-4r 793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133	132	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
134	10, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133	btwnlng1 28765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
135	10, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134	lncom 28768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136	135	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐴)
138	10, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137	ncolncol 28792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
139	10, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138	ncolne2 28772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
140	74, 139	pm2.61dane 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ≠ 𝐶)
141		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142	141	simprd 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143	142	simprd 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
144	10, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143	btwncolg3 28703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145		simplr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
146		simplr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147	146	simprd 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148	147	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150	124	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151	150	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152	151	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
153	34	ad8antr 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
154	153	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
155	10, 11, 12, 42, 48, 52	axtgcgrrflx 28608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
156	10, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155	axtg5seg 28611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 − 𝐵) = (𝑞 − 𝐴))
157	10, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156	tgcgrcomlr 28626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
158	157	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
159		simprr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
160	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp2 28667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑠 − 𝑞))
161	10, 11, 12, 53, 64, 65	axtgcgrrflx 28608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
162	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123	tgifscgr 28654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐴) = (𝑠 − 𝐵))
163		simp-10l 804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164	125	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
165	10, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164	btwnlng3 28767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
166	10, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127	ncolncol 28792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
167	15	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
169	9	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
170	30	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
171		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
172	10, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171	colrot1 28705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173	172	stoic1a 1791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174	163, 118, 166, 173	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
175	10, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166	ncolne2 28772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐵)
176	175	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑝)
177	176	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
178	10, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133	btwncolg1 28701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
179	10, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162	tgcgrcomlr 28626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐵 − 𝑠))
180	120	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
181	10, 11, 12, 53, 118, 81	axtgcgrrflx 28608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑝))
182	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181	tgifscgr 28654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑠 − 𝑝))
183	10, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149	tgbtwncom 28634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
184	10, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147	tgbtwncom 28634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185	184	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186	160	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
187	10, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186	tgcgrcomlr 28626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝑠) = (𝑝 − 𝑟))
188	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp1 28666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑟) = (𝐴 − 𝑠))
189	188	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑠) = (𝐵 − 𝑟))
190	10, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189	tgcgrcomlr 28626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐴) = (𝑟 − 𝐵))
191	10, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190	tgcgrextend 28631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝐴) = (𝑝 − 𝐵))
192	10, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191	trgcgr 28662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
193	10, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192	lnxfr 28712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194	193	orcomd 882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝 ∨ 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195	194	ord 875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝 → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196	177, 195	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
197	10, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148	btwnlng1 28765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
198	10, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149	btwnlng1 28765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
199	10, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134	tglineinteq 28791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200	199	oveq1d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐵))
201	162, 200	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐴))
202	154	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
203	10, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202	lncgr 28715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
204	10, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157	tgcgrxfr 28664	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205	203, 204	r19.29a 3169	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
206		simprrl 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
207	10, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206	tgbtwncom 28634	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
208	10, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207	ismir 28805	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
209		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
210		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
211	10, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210	axtgpasch 28613	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212	208, 211	reximddv 3177	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
213	10, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150	tgbtwncom 28634	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
214	10, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95	tgbtwncom 28634	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
215	10, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214	axtgpasch 28613	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216	212, 215	r19.29a 3169	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
217		simplr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
218	10, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217	axtgsegcon 28610	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
219	216, 218	r19.29a 3169	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
220	10	fvexi 6877	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222	221, 56, 44, 69	nehash2 14484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
223	10, 11, 12, 38, 56, 44, 222	tgbtwndiff 28652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
224	219, 223	r19.29a 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
225	37, 224	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 ∨ wo 858 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ∃wrex 3085 Vcvv 3453 class class class wbr 5099 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ⟨“cs3 14852 Basecbs 17228 distcds 17278 TarskiGcstrkg 28573 Itvcitv 28579 LineGclng 28580 cgrGccgrg 28656 pInvGcmir 28798

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5226 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-tp 4586 df-op 4588 df-uni 4865 df-int 4905 df-iun 4950 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-om 7843 df-1st 7966 df-2nd 7967 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-1o 8432 df-oadd 8436 df-er 8673 df-pm 8806 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-fin 8927 df-dju 9856 df-card 9894 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-nn 12208 df-2 12277 df-3 12278 df-n0 12479 df-xnn0 12552 df-z 12566 df-uz 12837 df-fz 13510 df-fzo 13657 df-hash 14341 df-word 14524 df-concat 14581 df-s1 14607 df-s2 14858 df-s3 14859 df-trkgc 28594 df-trkgb 28595 df-trkgcb 28596 df-trkg 28599 df-cgrg 28657 df-mir 28799

This theorem is referenced by: footexALT 28864 footex 28867 colperpexlem3 28878 opphllem 28881

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