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Theorem midexlem 26465
Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀𝐴) has to be used. See mideu 26511 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m 𝑀 = (𝑆𝑥)
midexlem.a (𝜑𝐴𝑃)
midexlem.b (𝜑𝐵𝑃)
midexlem.c (𝜑𝐶𝑃)
midexlem.1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
Assertion
Ref Expression
midexlem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 midexlem.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2 midexlem.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑆𝑥)
3 fveq2 6646 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐶))
42, 3syl5eq 2867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶𝑀 = (𝑆𝐶))
54fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐶)‘𝐴))
65rspceeqv 3617 . . . . 5 ((𝐶𝑃𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
71, 6sylan 582 . . . 4 ((𝜑𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
87adantlr 713 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
9 midexlem.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
10 mirval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
11 mirval.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
12 mirval.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13 mirval.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 mirval.s . . . . . . . 8 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15 mirval.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
16 eqid 2820 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16mircinv 26441 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
1817adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2018, 19eqtr2d 2856 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
21 fveq2 6646 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
222, 21syl5eq 2867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴𝑀 = (𝑆𝐴))
2322fveq1d 6648 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
2423rspceeqv 3617 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
259, 20, 24syl2an2r 683 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2625adantlr 713 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
2715adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28 eqid 2820 . . . 4 (𝑆𝐶) = (𝑆𝐶)
299adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
30 midexlem.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
3130adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
321adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
33 simpr 487 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34 midexlem.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3534adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
3610, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35colmid 26461 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
378, 26, 36mpjaodan 955 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
3815adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4241adantr 483 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43 simprl 769 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥𝑃)
449adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐴𝑃)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴𝑃)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴𝑃)
4847adantr 483 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴𝑃)
4930ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐵𝑃)
5049ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵𝑃)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵𝑃)
5251adantr 483 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵𝑃)
5342ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟𝑃)
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝑃)
561adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
5756ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝐶𝑃)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐶𝑃)
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶𝑃)
6059adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝑃)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝑃)
6243ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥𝑃)
63 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
6452ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑃)
6548ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑃)
66 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
6730adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
68 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
6910, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68ncolne1 26398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝐴)
7069ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶𝐴)
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐴)
7271adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶𝐴)
7372necomd 3061 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
7466, 73eqnetrd 3073 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟𝐶)
7553adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7655adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝑃)
7765adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐴𝑃)
7861adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐶𝑃)
79 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑞𝑃)
8079ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞𝑃)
8180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝑃)
8281adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑞𝑃)
8368ad9antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8410, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83ncolrot2 26336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
8515adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8630adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
879adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
881adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶𝑃)
89 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9010, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89colcom 26331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9190stoic1a 1773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9291ad9antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
9310, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92ncolne1 26398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶𝐵)
9493necomd 3061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝐶)
95 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9695ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9796ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
9810, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97btwnlng3 26394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
9910, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98lncom 26395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
10053adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10161adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝑃)
10264adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵𝑃)
10397adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105104oveq2d 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106103, 105eleqtrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
10710, 11, 12, 100, 101, 102, 106axtgbtwnid 26239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
10893adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶𝐵)
109108neneqd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110107, 109pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111110neqned 3013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐶)
11210, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111ncolncol 26419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
11310, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112ncolcom 26334 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114113adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝑝𝑃)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝𝑃)
117116adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝𝑃)
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝑃)
119 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
120119simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
121120eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑝) = (𝐵 𝑞))
12310, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122tgcgrcomlr 26253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝐴) = (𝑞 𝐵))
124 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
125124ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
126125simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑝)
127126necomd 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐴)
12810, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127tgcgrneq 26256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐵)
12910, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128ncolncol 26419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
13010, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129ncolne2 26399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞𝐴)
131130necomd 3061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴𝑞)
132 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133132simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
13410, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133btwnlng1 26392 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
13510, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134lncom 26395 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136135adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
13810, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137ncolncol 26419 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
13910, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138ncolne2 26399 . . . . . . . . . 10 ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐶)
14074, 139pm2.61dane 3093 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟𝐶)
141 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142141simprd 498 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143142simprd 498 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
14410, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143btwncolg3 26330 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠𝑃)
146 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147146simprd 498 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148147ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150124simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152151adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
15334ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
154153eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
15510, 11, 12, 42, 48, 52axtgcgrrflx 26235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴))
15610, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155axtg5seg 26238 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 𝐵) = (𝑞 𝐴))
15710, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156tgcgrcomlr 26253 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
158157ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑝) = (𝐴 𝑞))
159 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
16010, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159cgr3simp2 26294 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑝) = (𝑠 𝑞))
16110, 11, 12, 53, 64, 65axtgcgrrflx 26235 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵))
16210, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123tgifscgr 26281 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐴) = (𝑠 𝐵))
163 simp-10l 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164125simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
16510, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164btwnlng3 26394 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
16610, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127ncolncol 26419 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
16715ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝𝑃)
1699ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴𝑃)
17030ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵𝑃)
171 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17210, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171colrot1 26332 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173172stoic1a 1773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174163, 118, 166, 173syl21anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
17510, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166ncolne2 26399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝𝐵)
176175necomd 3061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵𝑝)
177176neneqd 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
17810, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133btwncolg1 26328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
17910, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162tgcgrcomlr 26253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑟) = (𝐵 𝑠))
180120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))
18110, 11, 12, 53, 118, 81axtgcgrrflx 26235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
18210, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181tgifscgr 26281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝑞) = (𝑠 𝑝))
18310, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149tgbtwncom 26261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
18410, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147tgbtwncom 26261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185184ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186160eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝑞) = (𝑟 𝑝))
18710, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186tgcgrcomlr 26253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝑠) = (𝑝 𝑟))
18810, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159cgr3simp1 26293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 𝑟) = (𝐴 𝑠))
189188eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 𝑠) = (𝐵 𝑟))
19010, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189tgcgrcomlr 26253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐴) = (𝑟 𝐵))
19110, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190tgcgrextend 26258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 𝐴) = (𝑝 𝐵))
19210, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191trgcgr 26289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
19310, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192lnxfr 26339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194193orcomd 867 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195194ord 860 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196177, 195mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
19710, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148btwnlng1 26392 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
19810, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149btwnlng1 26392 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
19910, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134tglineinteq 26418 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200199oveq1d 7148 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 𝐵) = (𝑟 𝐵))
201162, 200eqtr2d 2856 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 𝐵) = (𝑟 𝐴))
202154ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 𝐴))
20310, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202lncgr 26342 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
20410, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157tgcgrxfr 26291 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205203, 204r19.29a 3276 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 𝐵) = (𝑥 𝐴))
206 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20710, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206tgbtwncom 26261 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
20810, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207ismir 26432 . . . . . 6 (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
209 simplr 767 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟𝑃)
210 simprr 771 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
21110, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210axtgpasch 26240 . . . . . 6 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212208, 211reximddv 3262 . . . . 5 ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
21310, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150tgbtwncom 26261 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
21410, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95tgbtwncom 26261 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
21510, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214axtgpasch 26240 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216212, 215r19.29a 3276 . . . 4 ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
217 simplr 767 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → 𝑝𝑃)
21810, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217axtgsegcon 26237 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑞𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 𝑞) = (𝐴 𝑝)))
219216, 218r19.29a 3276 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22010fvexi 6660 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
221220a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222221, 56, 44, 69nehash2 13817 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
22310, 11, 12, 38, 56, 44, 222tgbtwndiff 26279 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴𝑝))
224219, 223r19.29a 3276 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
22537, 224pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wrex 3126  Vcvv 3473   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  ⟨“cs3 14184  Basecbs 16462  distcds 16553  TarskiGcstrkg 26203  Itvcitv 26209  LineGclng 26210  cgrGccgrg 26283  pInvGcmir 26425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-concat 13903  df-s1 13930  df-s2 14190  df-s3 14191  df-trkgc 26221  df-trkgb 26222  df-trkgcb 26223  df-trkg 26226  df-cgrg 26284  df-mir 26426
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