midexlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem midexlem 28764

Description: Lemma for the existence of a middle point. Lemma 7.25 of [Schwabhauser] p. 55. This proof of the existence of a midpoint requires the existence of a third point 𝐶 equidistant to 𝐴 and 𝐵 This condition will be removed later. Because the operation notation (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) for a midpoint implies its uniqueness, it cannot be used until uniqueness is proven, and until then, an equivalent mirror point notation 𝐵 = (𝑀‘𝐴) has to be used. See mideu 28810 for the existence and uniqueness of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
midexlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
midexlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midexlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
midexlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
midexlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
midexlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥) 𝑀(𝑥)

Proof of Theorem midexlem Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		midexlem.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		midexlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑥)
3		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐶))
4	2, 3	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝑀 = (𝑆‘𝐶))
5	4	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))
6	5	rspceeqv 3599	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
7	1, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
8	7	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
9		midexlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		mirval.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		mirval.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		mirval.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		mirval.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15		mirval.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 16	mircinv 28740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	18, 19	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
21		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
22	2, 21	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑀 = (𝑆‘𝐴))
23	22	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
24	23	rspceeqv 3599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
25	9, 20, 24	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
26	25	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
27	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
29	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30		midexlem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		midexlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
36	10, 11, 12, 13, 14, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35	colmid 28760	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐵 = ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	8, 26, 36	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
38	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
49	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
53	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ 𝑃)
56	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
59	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
62	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
63		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
64	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
65	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
66		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
67	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
69	10, 12, 13, 38, 56, 44, 67, 68	ncolne1 28697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
70	69	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐶 ≠ 𝐴)
73	72	necomd 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐶)
74	66, 73	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
75	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝑃)
77	65	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
78	61	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑃)
79		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
80	79	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
81	80	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝑃)
83	68	ad9antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	10, 13, 12, 53, 65, 64, 61, 83	ncolrot2 28635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
85	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
86	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
87	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
88	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
89		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
90	10, 13, 12, 85, 86, 87, 88, 89	colcom 28630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
91	90	stoic1a 1773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
92	91	ad9antr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
93	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 92	ncolne1 28697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
94	93	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
95		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
96	95	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
97	96	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
98	10, 12, 13, 53, 61, 64, 81, 93, 97	btwnlng3 28693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
99	10, 12, 13, 53, 64, 61, 81, 94, 98	lncom 28694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
100	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
101	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
102	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
103	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞))
104		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝑞 = 𝐶)
105	104	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → (𝐶𝐼𝑞) = (𝐶𝐼𝐶))
106	103, 105	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐶))
107	10, 11, 12, 100, 101, 102, 106	axtgbtwnid 28538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 = 𝐵)
108	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
109	108	neneqd 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑞 = 𝐶) → ¬ 𝐶 = 𝐵)
110	107, 109	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝑞 = 𝐶)
111	110	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐶)
112	10, 12, 13, 53, 64, 61, 65, 81, 84, 99, 111	ncolncol 28718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
113	10, 13, 12, 53, 61, 65, 81, 112	ncolcom 28633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
115		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
116	115	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
119		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
120	119	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
121	120	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
122	121	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑝) = (𝐵 − 𝑞))
123	10, 11, 12, 53, 65, 118, 64, 81, 122	tgcgrcomlr 28552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝐴) = (𝑞 − 𝐵))
124		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
125	124	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
126	125	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
127	126	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐴)
128	10, 11, 12, 53, 118, 65, 81, 64, 123, 127	tgcgrneq 28555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐵)
129	10, 12, 13, 53, 61, 64, 65, 81, 92, 98, 128	ncolncol 28718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑞 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
130	10, 12, 13, 53, 81, 64, 65, 129	ncolne2 28698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑞 ≠ 𝐴)
131	130	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑞)
132		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
133	132	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
134	10, 12, 13, 53, 65, 81, 55, 131, 133	btwnlng1 28691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
135	10, 12, 13, 53, 81, 65, 55, 130, 134	lncom 28694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ∈ (𝑞𝐿𝐴))
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐴)
138	10, 12, 13, 75, 82, 77, 78, 76, 114, 136, 137	ncolncol 28718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → ¬ (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
139	10, 12, 13, 75, 76, 77, 78, 138	ncolne2 28698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) ∧ 𝑟 ≠ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝐶)
140	74, 139	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ≠ 𝐶)
141		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))))
142	141	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
143	142	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶))
144	10, 13, 12, 53, 55, 62, 61, 143	btwncolg3 28629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 ∈ (𝑟𝐿𝑥) ∨ 𝑟 = 𝑥))
145		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
146		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
147	146	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
148	147	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
149		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))
150	124	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
153	34	ad8antr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
154	153	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
155	10, 11, 12, 42, 48, 52	axtgcgrrflx 28534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
156	10, 11, 12, 42, 60, 48, 117, 60, 52, 80, 52, 48, 70, 152, 96, 153, 121, 154, 155	axtg5seg 28537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑝 − 𝐵) = (𝑞 − 𝐴))
157	10, 11, 12, 42, 117, 52, 80, 48, 156	tgcgrcomlr 28552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
158	157	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑝) = (𝐴 − 𝑞))
159		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)
160	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp2 28593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑝) = (𝑠 − 𝑞))
161	10, 11, 12, 53, 64, 65	axtgcgrrflx 28534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
162	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 65, 65, 145, 81, 64, 148, 149, 158, 160, 161, 123	tgifscgr 28580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐴) = (𝑠 − 𝐵))
163		simp-10l 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝜑)
164	125	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
165	10, 12, 13, 53, 61, 65, 118, 71, 164	btwnlng3 28693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
166	10, 12, 13, 53, 61, 65, 64, 118, 83, 165, 127	ncolncol 28718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
167	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
168		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
169	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
170	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
171		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
172	10, 13, 12, 167, 168, 169, 170, 171	colrot1 28631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴)) → (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
173	172	stoic1a 1773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ¬ (𝑝 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
174	163, 118, 166, 173	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝑝𝐿𝐴) ∨ 𝑝 = 𝐴))
175	10, 12, 13, 53, 118, 65, 64, 166	ncolne2 28698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑝 ≠ 𝐵)
176	175	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑝)
177	176	neneqd 2937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ¬ 𝐵 = 𝑝)
178	10, 13, 12, 53, 65, 81, 55, 133	btwncolg1 28627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 ∈ (𝐴𝐿𝑞) ∨ 𝐴 = 𝑞))
179	10, 11, 12, 53, 55, 65, 145, 64, 162	tgcgrcomlr 28552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐵 − 𝑠))
180	120	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))
181	10, 11, 12, 53, 118, 81	axtgcgrrflx 28534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑝 − 𝑞) = (𝑞 − 𝑝))
182	10, 11, 12, 53, 64, 55, 118, 81, 65, 145, 81, 118, 148, 149, 158, 160, 180, 181	tgifscgr 28580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝑞) = (𝑠 − 𝑝))
183	10, 11, 12, 53, 65, 145, 81, 149	tgbtwncom 28560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝑞𝐼𝐴))
184	10, 11, 12, 42, 52, 54, 117, 147	tgbtwncom 28560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
185	184	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝑝𝐼𝐵))
186	160	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝑞) = (𝑟 − 𝑝))
187	10, 11, 12, 53, 145, 81, 55, 118, 186	tgcgrcomlr 28552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝑠) = (𝑝 − 𝑟))
188	10, 11, 12, 63, 53, 64, 55, 118, 65, 145, 81, 159	cgr3simp1 28592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 − 𝑟) = (𝐴 − 𝑠))
189	188	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐴 − 𝑠) = (𝐵 − 𝑟))
190	10, 11, 12, 53, 65, 145, 64, 55, 189	tgcgrcomlr 28552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐴) = (𝑟 − 𝐵))
191	10, 11, 12, 53, 81, 145, 65, 118, 55, 64, 183, 185, 187, 190	tgcgrextend 28557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑞 − 𝐴) = (𝑝 − 𝐵))
192	10, 11, 63, 53, 65, 55, 81, 64, 145, 118, 179, 182, 191	trgcgr 28588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → ⟨“𝐴𝑟𝑞”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝑠𝑝”⟩)
193	10, 13, 12, 53, 65, 55, 81, 63, 64, 145, 118, 178, 192	lnxfr 28638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝) ∨ 𝐵 = 𝑝))
194	193	orcomd 871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐵 = 𝑝 ∨ 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
195	194	ord 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (¬ 𝐵 = 𝑝 → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝)))
196	177, 195	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
197	10, 12, 13, 53, 64, 118, 55, 176, 148	btwnlng1 28691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐿𝑝))
198	10, 12, 13, 53, 65, 81, 145, 131, 149	btwnlng1 28691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝑞))
199	10, 12, 13, 53, 64, 118, 65, 81, 174, 196, 197, 198, 134	tglineinteq 28717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → 𝑠 = 𝑟)
200	199	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑠 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐵))
201	162, 200	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑟 − 𝐵) = (𝑟 − 𝐴))
202	154	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐴))
203	10, 13, 12, 53, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 140, 144, 201, 202	lncgr 28641	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩)) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
204	10, 11, 12, 63, 42, 52, 54, 117, 48, 80, 147, 157	tgcgrxfr 28590	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → ∃𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ ⟨“𝐵𝑟𝑝”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝑠𝑞”⟩))
205	203, 204	r19.29a 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐴))
206		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
207	10, 11, 12, 42, 48, 43, 52, 206	tgbtwncom 28560	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
208	10, 11, 12, 13, 14, 42, 43, 2, 48, 52, 205, 207	ismir 28731	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
209		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑃)
210		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))
211	10, 11, 12, 41, 59, 51, 116, 47, 209, 151, 210	axtgpasch 28539	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑟𝐼𝐶)))
212	208, 211	reximddv 3152	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
213	10, 11, 12, 40, 58, 46, 115, 150	tgbtwncom 28560	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ (𝑝𝐼𝐶))
214	10, 11, 12, 40, 58, 50, 79, 95	tgbtwncom 28560	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝑞𝐼𝐶))
215	10, 11, 12, 40, 115, 79, 58, 46, 50, 213, 214	axtgpasch 28539	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ (𝐴𝐼𝑞) ∧ 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑝)))
216	212, 215	r19.29a 3144	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
217		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
218	10, 11, 12, 39, 57, 49, 45, 217	axtgsegcon 28536	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝑞) ∧ (𝐵 − 𝑞) = (𝐴 − 𝑝)))
219	216, 218	r19.29a 3144	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
220	10	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝑃 ∈ V)
222	221, 56, 44, 69	nehash2 14397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
223	10, 11, 12, 38, 56, 44, 222	tgbtwndiff 28578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
224	219, 223	r19.29a 3144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
225	37, 224	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = (𝑀‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ∃wrex 3060 Vcvv 3440 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ⟨“cs3 14765 Basecbs 17136 distcds 17186 TarskiGcstrkg 28499 Itvcitv 28505 LineGclng 28506 cgrGccgrg 28582 pInvGcmir 28724

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-oadd 8401 df-er 8635 df-pm 8766 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-dju 9813 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-xnn0 12475 df-z 12489 df-uz 12752 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-hash 14254 df-word 14437 df-concat 14494 df-s1 14520 df-s2 14771 df-s3 14772 df-trkgc 28520 df-trkgb 28521 df-trkgcb 28522 df-trkg 28525 df-cgrg 28583 df-mir 28725

This theorem is referenced by: footexALT 28790 footex 28793 colperpexlem3 28804 opphllem 28807

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