Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | iscgra.p |
. . 3
β’ π = (BaseβπΊ) |
2 | | iscgra.i |
. . 3
β’ πΌ = (ItvβπΊ) |
3 | | iscgra.k |
. . 3
β’ πΎ = (hlGβπΊ) |
4 | | iscgra.g |
. . 3
β’ (π β πΊ β TarskiG) |
5 | | iscgra.a |
. . 3
β’ (π β π΄ β π) |
6 | | iscgra.b |
. . 3
β’ (π β π΅ β π) |
7 | | iscgra.c |
. . 3
β’ (π β πΆ β π) |
8 | | iscgra.d |
. . 3
β’ (π β π· β π) |
9 | | iscgra.e |
. . 3
β’ (π β πΈ β π) |
10 | | iscgra.f |
. . 3
β’ (π β πΉ β π) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | iscgra 27793 |
. 2
β’ (π β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ© β βπ¦ β π βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
12 | 9 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β πΈ β π) |
13 | 6 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π΅ β π) |
14 | 5 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π΄ β π) |
15 | 4 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β πΊ β TarskiG) |
16 | 8 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π· β π) |
17 | | iscgra1.m |
. . . . . . . 8
β’ β =
(distβπΊ) |
18 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π¦ β π) |
19 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π¦(πΎβπΈ)π·) |
20 | 1, 2, 3, 18, 16, 12, 15, 19 | hlne2 27590 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π· β πΈ) |
21 | | iscgra1.1 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π΅) |
22 | 21 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π΄ β π΅) |
23 | 22 | necomd 3000 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π΅ β π΄) |
24 | 1, 2, 3, 16, 12, 12, 15, 20 | hlid 27593 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π·(πΎβπΈ)π·) |
25 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(cgrGβπΊ) =
(cgrGβπΊ) |
26 | 7 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β πΆ β π) |
27 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π₯ β π) |
28 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ©) |
29 | 1, 17, 2, 25, 15, 14, 13, 26, 18, 12, 27, 28 | cgr3simp1 27504 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (π΄ β π΅) = (π¦ β πΈ)) |
30 | 29 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (π¦ β πΈ) = (π΄ β π΅)) |
31 | 1, 17, 2, 15, 18, 12, 14, 13, 30 | tgcgrcomlr 27464 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (πΈ β π¦) = (π΅ β π΄)) |
32 | | iscgra1.2 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π΄ β π΅) = (π· β πΈ)) |
33 | 32 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (π΄ β π΅) = (π· β πΈ)) |
34 | 33 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (π· β πΈ) = (π΄ β π΅)) |
35 | 1, 17, 2, 15, 16, 12, 14, 13, 34 | tgcgrcomlr 27464 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (πΈ β π·) = (π΅ β π΄)) |
36 | 1, 2, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 24, 31, 35 | hlcgreulem 27601 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π¦ = π·) |
37 | | simpr3 1197 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β π₯(πΎβπΈ)πΉ) |
38 | 36, 28, 37 | jca32 517 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
39 | | simprrl 780 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ©) |
40 | | simprl 770 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β π¦ = π·) |
41 | 8 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β π· β π) |
42 | 9 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β πΈ β π) |
43 | 4 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β πΊ β TarskiG) |
44 | 1, 17, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 32, 21 | tgcgrneq 27467 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π· β πΈ) |
45 | 44 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β π· β πΈ) |
46 | 1, 2, 3, 41, 41, 42, 43, 45 | hlid 27593 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β π·(πΎβπΈ)π·) |
47 | 40, 46 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β π¦(πΎβπΈ)π·) |
48 | | simprrr 781 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β π₯(πΎβπΈ)πΉ) |
49 | 39, 47, 48 | 3jca 1129 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β§ (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) |
50 | 38, 49 | impbida 800 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π¦ β π) β§ π₯ β π) β ((β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ) β (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)))) |
51 | 50 | rexbidva 3174 |
. . . 4
β’ ((π β§ π¦ β π) β (βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ) β βπ₯ β π (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)))) |
52 | | r19.42v 3188 |
. . . 4
β’
(βπ₯ β
π (π¦ = π· β§ (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β (π¦ = π· β§ βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
53 | 51, 52 | bitrdi 287 |
. . 3
β’ ((π β§ π¦ β π) β (βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ) β (π¦ = π· β§ βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)))) |
54 | 53 | rexbidva 3174 |
. 2
β’ (π β (βπ¦ β π βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π¦(πΎβπΈ)π· β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ) β βπ¦ β π (π¦ = π· β§ βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)))) |
55 | | id 22 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = π· β π¦ = π·) |
56 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = π· β πΈ = πΈ) |
57 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = π· β π₯ = π₯) |
58 | 55, 56, 57 | s3eqd 14760 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = π· β β¨βπ¦πΈπ₯ββ© = β¨βπ·πΈπ₯ββ©) |
59 | 58 | breq2d 5122 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = π· β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ·πΈπ₯ββ©)) |
60 | 59 | anbi1d 631 |
. . . . 5
β’ (π¦ = π· β ((β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ) β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ·πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
61 | 60 | rexbidv 3176 |
. . . 4
β’ (π¦ = π· β (βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ) β βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ·πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
62 | 61 | ceqsrexv 3610 |
. . 3
β’ (π· β π β (βπ¦ β π (π¦ = π· β§ βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ·πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
63 | 8, 62 | syl 17 |
. 2
β’ (π β (βπ¦ β π (π¦ = π· β§ βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ¦πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ)) β βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ·πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |
64 | 11, 54, 63 | 3bitrd 305 |
1
β’ (π β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ© β βπ₯ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ·πΈπ₯ββ© β§ π₯(πΎβπΈ)πΉ))) |