Theorem hlcgrex 27266

Description: Construct a point on a half-line, at a given distance of its origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgrex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgrex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hlcgrex.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		ishlg.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12	axtgsegcon 27114	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
14	5	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	10	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	12	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18	8	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
20	1, 2, 3, 14, 18, 17, 15, 16, 19	tgcgrcoml 27129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐶))
21	20	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑥 − 𝐴))
22		hlcgrex.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
23	22	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
24	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23	tgcgrneq 27133	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
25		hlcgrex.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
26	25	ad4antr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
27	6	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
28		hltr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦))
31	30	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ≠ 𝑦)
32	31	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝐴)
33		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥))
34	30	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
35	1, 2, 3, 14, 29, 18, 27, 34	tgbtwncom 27138	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝐷))
36	1, 3, 14, 27, 18, 17, 29, 32, 33, 35	tgbtwnconn2 27226	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))
37		ishlg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
38	1, 3, 37, 17, 29, 18, 14	ishlg 27252	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))))
39	24, 26, 36, 38	mpbir3and 1341	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
40	39, 19	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
41	40	ex 413	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))))
42	41	reximdva 3161	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))))
43	13, 42	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
44	1	fvexi 6839	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
46	45, 9, 11, 22	nehash2 14288	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
47	1, 2, 3, 4, 28, 7, 46	tgbtwndiff 27156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦))
48	43, 47	r19.29a 3155	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3441   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  distcds 17068  TarskiGcstrkg 27077  Itvcitv 27083  hlGchlg 27250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-s2 14660  df-s3 14661  df-trkgc 27098  df-trkgb 27099  df-trkgcb 27100  df-trkg 27103  df-cgrg 27161  df-hlg 27251

This theorem is referenced by:  hlcgreu  27268  trgcopy  27454  cgraswap  27470  cgracom  27472  cgratr  27473  acopy  27483  acopyeu  27484  tgasa1  27508