MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgrex 27022
Description: Construct a point on a half-line, at a given distance of its origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hlcgrex.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
hlcgrex.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
Assertion
Ref Expression
hlcgrex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑃   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem hlcgrex
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hlcgrex.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 ishlg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hlln.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simplr 767 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
7 ishlg.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
87ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
9 ishlg.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
109ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
11 ishlg.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1211ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
131, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12axtgsegcon 26870 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
145ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1510ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1612ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
17 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
188ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
19 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
201, 2, 3, 14, 18, 17, 15, 16, 19tgcgrcoml 26885 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐴) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
2120eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (π‘₯ βˆ’ 𝐴))
22 hlcgrex.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
2322ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
241, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23tgcgrneq 26889 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
25 hlcgrex.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
2625ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
276ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
28 hltr.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2928ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
30 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦))
3130simprd 497 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 β‰  𝑦)
3231necomd 2997 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝑦 β‰  𝐴)
33 simprl 769 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯))
3430simpld 496 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
351, 2, 3, 14, 29, 18, 27, 34tgbtwncom 26894 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝐷))
361, 3, 14, 27, 18, 17, 29, 32, 33, 35tgbtwnconn2 26982 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼π‘₯)))
37 ishlg.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
381, 3, 37, 17, 29, 18, 14ishlg 27008 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ↔ (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ 𝐷 β‰  𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼π‘₯)))))
3924, 26, 36, 38mpbir3and 1342 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷)
4039, 19jca 513 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
4140ex 414 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
4241reximdva 3162 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼π‘₯) ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
4313, 42mpd 15 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
441fvexi 6818 . . . . 5 𝑃 ∈ V
4544a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ V)
4645, 9, 11, 22nehash2 14233 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
471, 2, 3, 4, 28, 7, 46tgbtwndiff 26912 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦))
4843, 47r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  distcds 17016  TarskiGcstrkg 26833  Itvcitv 26839  hlGchlg 27006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-er 8529  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-xnn0 12352  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-hash 14091  df-word 14263  df-concat 14319  df-s1 14346  df-s2 14606  df-s3 14607  df-trkgc 26854  df-trkgb 26855  df-trkgcb 26856  df-trkg 26859  df-cgrg 26917  df-hlg 27007
This theorem is referenced by:  hlcgreu  27024  trgcopy  27210  cgraswap  27226  cgracom  27228  cgratr  27229  acopy  27239  acopyeu  27240  tgasa1  27264
  Copyright terms: Public domain W3C validator