Theorem hlcgrex 28962

Description: Construct a point on a half-line, at a given distance of its origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgrex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgrex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hlcgrex.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		ishlg.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12	axtgsegcon 28806	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
14	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	10	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
18	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
20	1, 2, 3, 14, 18, 17, 15, 16, 19	tgcgrcoml 28821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐶))
21	20	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑥 − 𝐴))
22		hlcgrex.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
23	22	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
24	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23	tgcgrneq 28825	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
25		hlcgrex.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
26	25	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
27	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
28		hltr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦))
31	30	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ≠ 𝑦)
32	31	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑦 ≠ 𝐴)
33		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥))
34	30	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
35	1, 2, 3, 14, 29, 18, 27, 34	tgbtwncom 28831	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝐷))
36	1, 3, 14, 27, 18, 17, 29, 32, 33, 35	tgbtwnconn2 28919	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))
37		ishlg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
38	1, 3, 37, 17, 29, 18, 14	ishlg 28948	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑥)))))
39	24, 26, 36, 38	mpbir3and 1361	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
40	39, 19	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
41	40	ex 418	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))))
42	41	reximdva 3177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))))
43	13, 42	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
44	1	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
46	45, 9, 11, 22	nehash2 14541	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
47	1, 2, 3, 4, 28, 7, 46	tgbtwndiff 28849	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦))
48	43, 47	r19.29a 3172	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  hlGchlg 28943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkg 28795  df-cgrg 28854  df-hlg 28944

This theorem is used by:  hlcgreu  28964  trgcopy  29191  cgraswap  29207  cgracom  29209  cgratr  29210  zerocgra  29211  acopy  29221  acopyeu  29222  ragcgra  29223  tgaaddcpbllem1  29229  tgaaddcpbl  29232  angmgmaddeu1  29259  angmgmaddlid  29272  angmgmaddrid  29273  tgasa1  29283  tgaltai  29325