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Theorem trgcopy 27520
Description: Triangle construction: a copy of a given triangle can always be constructed in such a way that one side is lying on a half-line, and the third vertex is on a given half-plane: existence part. First part of Theorem 10.16 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcopy.m = (dist‘𝐺)
trgcopy.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
trgcopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
trgcopy.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
trgcopy.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (𝜑𝐴𝑃)
trgcopy.b (𝜑𝐵𝑃)
trgcopy.c (𝜑𝐶𝑃)
trgcopy.d (𝜑𝐷𝑃)
trgcopy.e (𝜑𝐸𝑃)
trgcopy.f (𝜑𝐹𝑃)
trgcopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
trgcopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
Assertion
Ref Expression
trgcopy (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑓,𝐿   𝑃,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐾

Proof of Theorem trgcopy
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 𝑞 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 trgcopy.m . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4 trgcopy.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 trgcopy.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑃)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐴𝑃)
1211ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐴𝑃)
13 trgcopy.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑃)
1413ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐵𝑃)
1615ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐵𝑃)
17 trgcopy.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
1817ad6antr 734 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝐶𝑃)
1918adantr 482 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐶𝑃)
20 trgcopy.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑃)
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐷𝑃)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐷𝑃)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐷𝑃)
24 trgcopy.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝑃)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐸𝑃)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐸𝑃)
2726ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐸𝑃)
28 simprl 769 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑓𝑃)
29 trgcopy.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
3029ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
3130ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
32 trgcopy.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
33 trgcopy.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (LineG‘𝐺)
34 trgcopy.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
351, 33, 32, 4, 13, 17, 9, 34ncoltgdim2 27281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
3635ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐺DimTarskiG≥2)
3736ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
381, 32, 33, 4, 9, 13, 17, 34ncolne1 27341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
391, 32, 33, 4, 9, 13, 38tgelrnln 27346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
41 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
421, 33, 32, 5, 40, 41tglnpt 27265 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥𝑃)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝑥𝑃)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝑥𝑃)
4544adantr 482 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑥𝑃)
46 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝑦𝑃)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝑦𝑃)
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑦𝑃)
4941ad5antr 732 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5038ad7antr 736 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐴𝐵)
511, 32, 33, 8, 12, 16, 50tglinecom 27351 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
5249, 51eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑥 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
53 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
5433, 8, 53perpln1 27426 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐶𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
5540ad5antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
561, 2, 32, 33, 8, 54, 55, 53perpcom 27429 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑥))
571, 33, 32, 4, 13, 17, 9, 34ncolrot2 27279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
58 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
5957, 58sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
6059simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
62 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥𝐶)
6341, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑥𝐶)
6463ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝑥𝐶)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑥𝐶)
6665necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐶𝑥)
671, 32, 33, 8, 19, 45, 66tglinecom 27351 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐶𝐿𝑥) = (𝑥𝐿𝐶))
6856, 51, 673brtr3d 5131 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑥𝐿𝐶))
691, 2, 32, 33, 8, 16, 12, 52, 19, 68perprag 27442 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐵𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
70 trgcopy.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝑃)
71 trgcopy.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
721, 32, 33, 4, 20, 24, 70, 71ncolne1 27341 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐸)
7372necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝐷)
7473ad7antr 736 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐸𝐷)
7572ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐷𝐸)
7675neneqd 2946 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → ¬ 𝐷 = 𝐸)
7741orcd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
781, 33, 32, 5, 10, 14, 42, 77colrot2 27276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐴) ∨ 𝑥 = 𝐴))
791, 33, 32, 5, 42, 10, 14, 78colcom 27274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
8079ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
81 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩)
821, 33, 32, 6, 11, 15, 43, 3, 22, 26, 46, 80, 81lnxfr 27282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝑦) ∨ 𝐷 = 𝑦))
831, 33, 32, 6, 22, 46, 26, 82colrot2 27276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
841, 33, 32, 6, 26, 22, 46, 83colcom 27274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
8584orcomd 869 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (𝐷 = 𝐸𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸)))
8685ord 862 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (¬ 𝐷 = 𝐸𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸)))
8776, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
8887ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑦 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
891, 32, 33, 8, 27, 23, 48, 74, 88lncom 27338 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐿𝐷))
90 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶))
9190eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑥 𝐶) = (𝑦 𝑓))
921, 2, 32, 8, 45, 19, 48, 28, 91, 65tgcgrneq 27199 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑦𝑓)
931, 32, 33, 8, 48, 28, 92tgelrnln 27346 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑦𝐿𝑓) ∈ ran 𝐿)
941, 32, 33, 8, 27, 23, 74tgelrnln 27346 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐸𝐿𝐷) ∈ ran 𝐿)
95 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑞𝑃)
96 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝑞𝑃)
97 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦))
9833, 7, 97perpln2 27427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → (𝑞𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
991, 32, 33, 7, 96, 47, 98tglnne 27344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝑞𝑦)
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑞𝑦)
101100necomd 2997 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑦𝑞)
1021, 32, 33, 8, 48, 95, 101tgelrnln 27346 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑦𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
10397adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦))
1041, 32, 33, 8, 27, 23, 74tglinecom 27351 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐸𝐿𝐷) = (𝐷𝐿𝐸))
1051, 32, 33, 8, 48, 95, 101tglinecom 27351 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑦𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝑦))
106103, 104, 1053brtr4d 5132 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐸𝐿𝐷)(⟂G‘𝐺)(𝑦𝐿𝑞))
1071, 2, 32, 33, 8, 94, 102, 106perpcom 27429 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑦𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐸𝐿𝐷))
108 trgcopy.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (hlG‘𝐺)
109 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑓(𝐾𝑦)𝑞)
1101, 32, 108, 28, 95, 48, 8, 33, 109hlln 27323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑓 ∈ (𝑞𝐿𝑦))
1111, 32, 33, 8, 48, 95, 28, 101, 110lncom 27338 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐿𝑞))
112111orcd 871 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑓 ∈ (𝑦𝐿𝑞) ∨ 𝑦 = 𝑞))
1131, 2, 32, 33, 8, 48, 95, 28, 107, 112, 92colperp 27445 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑦𝐿𝑓)(⟂G‘𝐺)(𝐸𝐿𝐷))
1141, 2, 32, 33, 8, 93, 94, 113perpcom 27429 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐸𝐿𝐷)(⟂G‘𝐺)(𝑦𝐿𝑓))
1151, 2, 32, 33, 8, 27, 23, 89, 28, 114perprag 27442 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐸𝑦𝑓”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
11681ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩)
1171, 2, 32, 3, 8, 12, 16, 45, 23, 27, 48, 116cgr3simp2 27237 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐵 𝑥) = (𝐸 𝑦))
1181, 2, 32, 8, 37, 16, 45, 19, 27, 48, 28, 69, 115, 117, 91hypcgr 27517 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑓))
119 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
12051, 68eqbrtrd 5122 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑥𝐿𝐶))
1211, 2, 32, 33, 8, 12, 16, 49, 19, 120perprag 27442 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝑥𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1221, 2, 32, 33, 119, 8, 12, 45, 19, 121ragcom 27414 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐶𝑥𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
123104, 114eqbrtrrd 5124 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑦𝐿𝑓))
1241, 2, 32, 33, 8, 23, 27, 88, 28, 123perprag 27442 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐷𝑦𝑓”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1251, 2, 32, 33, 119, 8, 23, 48, 28, 124ragcom 27414 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝑓𝑦𝐷”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1261, 2, 32, 8, 45, 19, 48, 28, 91tgcgrcomlr 27196 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐶 𝑥) = (𝑓 𝑦))
1271, 2, 32, 3, 8, 12, 16, 45, 23, 27, 48, 116cgr3simp3 27238 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐷))
1281, 2, 32, 8, 37, 19, 45, 12, 28, 48, 23, 122, 125, 126, 127hypcgr 27517 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐶 𝐴) = (𝑓 𝐷))
1291, 2, 3, 8, 12, 16, 19, 23, 27, 28, 31, 118, 128trgcgr 27232 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
1301, 32, 33, 4, 20, 24, 72tgelrnln 27346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
131130ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
132131ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
133 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → 𝑤 = 𝑘)
134133eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → (𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))))
135 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → 𝑣 = 𝑙)
136135eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → (𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ↔ 𝑙 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))))
137134, 136anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → ((𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ↔ (𝑘 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)))))
138 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) ∧ 𝑧 = 𝑗) → 𝑧 = 𝑗)
139 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) ∧ 𝑧 = 𝑗) → 𝑤 = 𝑘)
140 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) ∧ 𝑧 = 𝑗) → 𝑣 = 𝑙)
141139, 140oveq12d 7364 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) ∧ 𝑧 = 𝑗) → (𝑤𝐼𝑣) = (𝑘𝐼𝑙))
142138, 141eleq12d 2832 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) ∧ 𝑧 = 𝑗) → (𝑧 ∈ (𝑤𝐼𝑣) ↔ 𝑗 ∈ (𝑘𝐼𝑙)))
143142cbvrexdva 3325 . . . . . . . . 9 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → (∃𝑧 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (𝑤𝐼𝑣) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑗 ∈ (𝑘𝐼𝑙)))
144137, 143anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((𝑤 = 𝑘𝑣 = 𝑙) → (((𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (𝑤𝐼𝑣)) ↔ ((𝑘 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑗 ∈ (𝑘𝐼𝑙))))
145144cbvopabv 5173 . . . . . . 7 {⟨𝑤, 𝑣⟩ ∣ ((𝑤 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (𝑤𝐼𝑣))} = {⟨𝑘, 𝑙⟩ ∣ ((𝑘 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑗 ∈ (𝑘𝐼𝑙))}
1468adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14719adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐶𝑃)
14816adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐵𝑃)
14912adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐴𝑃)
15023adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐷𝑃)
15127adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐸𝑃)
15228adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑓𝑃)
15373ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝐸𝐷)
154 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
1551, 32, 33, 146, 151, 150, 152, 153, 154lncom 27338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑓 ∈ (𝐸𝐿𝐷))
156155orcd 871 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → (𝑓 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
1571, 33, 32, 146, 151, 150, 152, 156colrot1 27275 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝑓) ∨ 𝐷 = 𝑓))
158129adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩)
1591, 2, 32, 3, 146, 149, 148, 147, 150, 151, 152, 158trgcgrcom 27244 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → ⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
1601, 33, 32, 146, 150, 151, 152, 3, 149, 148, 147, 157, 159lnxfr 27282 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
1611, 33, 32, 146, 149, 147, 148, 160colrot1 27275 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
1621, 33, 32, 146, 147, 148, 149, 161colcom 27274 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
16334ad8antr 738 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
164162, 163pm2.65da 815 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
1651, 32, 33, 8, 132, 48, 145, 108, 88, 28, 95, 164, 109hphl 27487 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑞)
16670ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → 𝐹𝑃)
167166ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → 𝐹𝑃)
168167adantr 482 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝐹𝑃)
169 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
1701, 32, 33, 8, 132, 28, 145, 95, 165, 168, 169hpgtr 27484 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
171129, 170jca 513 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (𝑓𝑃 ∧ (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
1721, 32, 108, 47, 44, 18, 7, 96, 2, 99, 64hlcgrex 27332 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → ∃𝑓𝑃 (𝑓(𝐾𝑦)𝑞 ∧ (𝑦 𝑓) = (𝑥 𝐶)))
173171, 172reximddv 3166 . . . 4 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) ∧ 𝑞𝑃) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
1741, 33, 32, 4, 24, 70, 20, 71ncolrot2 27279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸))
175 ioran 982 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∨ 𝐷 = 𝐸) ↔ (¬ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ 𝐷 = 𝐸))
176174, 175sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ 𝐷 = 𝐸))
177176simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
178177ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → ¬ 𝐹 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
1791, 2, 32, 33, 6, 36, 131, 145, 87, 166, 178lnperpex 27519 . . . 4 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → ∃𝑞𝑃 ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝑦) ∧ 𝑞((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
180173, 179r19.29a 3157 . . 3 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
1811, 33, 32, 5, 10, 14, 42, 3, 21, 25, 2, 79, 30lnext 27283 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑦”⟩)
182180, 181r19.29a 3157 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
1831, 2, 32, 33, 4, 39, 17, 60footex 27437 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐿𝐵)(𝐶𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
184182, 183r19.29a 3157 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑓”⟩ ∧ 𝑓((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cdif 3902   class class class wbr 5100  {copab 5162  ran crn 5628  cfv 6488  (class class class)co 7346  2c2 12138  ⟨“cs3 14659  Basecbs 17014  distcds 17073  TarskiGcstrkg 27143  DimTarskiGcstrkgld 27147  Itvcitv 27149  LineGclng 27150  cgrGccgrg 27226  hlGchlg 27316  pInvGcmir 27368  ⟂Gcperpg 27411  hpGchpg 27473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-oadd 8380  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-dju 9767  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-xnn0 12416  df-z 12430  df-uz 12693  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-hash 14155  df-word 14327  df-concat 14383  df-s1 14408  df-s2 14665  df-s3 14666  df-trkgc 27164  df-trkgb 27165  df-trkgcb 27166  df-trkgld 27168  df-trkg 27169  df-cgrg 27227  df-ismt 27249  df-leg 27299  df-hlg 27317  df-mir 27369  df-rag 27410  df-perpg 27412  df-hpg 27474  df-mid 27490  df-lmi 27491
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