MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgsas3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgsas3 28612
Description: First congruence theorem: SAS. Theorem 11.49 of [Schwabhauser] p. 107. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tgsas.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgsas.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tgsas.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgsas.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tgsas.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tgsas.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tgsas.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgsas.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgsas.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgsas.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgsas.1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
tgsas.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
tgsas.3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
tgsas2.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
Assertion
Ref Expression
tgsas3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΈπΉπ·β€βŸ©)

Proof of Theorem tgsas3
StepHypRef Expression
1 tgsas.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tgsas.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 eqid 2726 . 2 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
4 tgsas.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgsas.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
6 tgsas.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
7 tgsas.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 tgsas.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
9 tgsas.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
10 tgsas.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
11 tgsas.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
12 eqid 2726 . . 3 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
13 tgsas.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
14 tgsas.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
15 tgsas.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
161, 11, 2, 4, 7, 5, 6, 10, 8, 9, 13, 14, 15tgsas 28610 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
171, 11, 2, 12, 4, 7, 5, 6, 10, 8, 9, 16cgr3rotl 28282 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΈπΉπ·β€βŸ©)
181, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 10, 8, 9, 14cgrane4 28570 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
191, 2, 3, 8, 7, 9, 4, 18hlid 28364 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΉ)𝐸)
201, 11, 2, 4, 7, 5, 6, 10, 8, 9, 13, 14, 15tgsas1 28609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
211, 11, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 20tgcgrcomlr 28235 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
22 tgsas2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
231, 11, 2, 4, 7, 6, 10, 9, 21, 22tgcgrneq 28238 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐹)
241, 2, 3, 10, 7, 9, 4, 23hlid 28364 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΉ)𝐷)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 8, 10, 17, 19, 24iscgrad 28566 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΅πΆπ΄β€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΈπΉπ·β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  βŸ¨β€œcs3 14797  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28182  Itvcitv 28188  cgrGccgrg 28265  hlGchlg 28355  cgrAccgra 28562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 28203  df-trkgb 28204  df-trkgcb 28205  df-trkg 28208  df-cgrg 28266  df-leg 28338  df-hlg 28356  df-cgra 28563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator