MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flatcgra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flatcgra 28832
Description: Flat angles are congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m = (dist‘𝐺)
cgracol.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (𝜑𝐴𝑃)
cgracol.b (𝜑𝐵𝑃)
cgracol.c (𝜑𝐶𝑃)
cgracol.d (𝜑𝐷𝑃)
cgracol.e (𝜑𝐸𝑃)
cgracol.f (𝜑𝐹𝑃)
flatcgra.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
flatcgra.2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
flatcgra.3 (𝜑𝐴𝐵)
flatcgra.4 (𝜑𝐶𝐵)
flatcgra.5 (𝜑𝐷𝐸)
flatcgra.6 (𝜑𝐹𝐸)
Assertion
Ref Expression
flatcgra (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem flatcgra
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 cgracol.m . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 eqid 2737 . . . . 5 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4 cgracol.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
76ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐴𝑃)
8 cgracol.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
98ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝑃)
10 cgracol.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
1110ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐶𝑃)
12 simpllr 776 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥𝑃)
13 cgracol.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑃)
1413ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸𝑃)
15 simplr 769 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦𝑃)
16 cgracol.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
17 simprlr 780 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴))
181, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17tgcgrcomlr 28488 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑥 𝐸) = (𝐴 𝐵))
1918eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝐸))
20 simprrr 782 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶))
2120eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑦))
22 cgracol.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑃)
2322ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐹𝑃)
24 cgracol.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑃)
2524ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐷𝑃)
26 flatcgra.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐸)
2726ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐹𝐸)
28 flatcgra.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐸)
2928ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐷𝐸)
30 flatcgra.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
311, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30tgbtwncom 28496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
3231ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
33 simprll 779 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥))
34 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
351, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34tgbtwnconn22 28587 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
36 flatcgra.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
3736ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
381, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20tgcgrextend 28493 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑥 𝑦) = (𝐴 𝐶))
3938eqcomd 2743 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐴 𝐶) = (𝑥 𝑦))
401, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39tgcgrcomlr 28488 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐶 𝐴) = (𝑦 𝑥))
411, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40trgcgr 28524 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
4217eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝑥))
43 flatcgra.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
4443necomd 2996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
4544ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝐴)
461, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 42, 45tgcgrneq 28491 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸𝑥)
4746necomd 2996 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥𝐸)
481, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32tgbtwnconn2 28584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
4947, 29, 483jca 1129 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑥𝐸𝐷𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥))))
50 eqid 2737 . . . . . 6 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
511, 16, 50, 12, 25, 14, 5ishlg 28610 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ↔ (𝑥𝐸𝐷𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))))
5249, 51mpbird 257 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
53 flatcgra.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐵)
5453necomd 2996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐶)
5554ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝐶)
561, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55tgcgrneq 28491 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸𝑦)
5756necomd 2996 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦𝐸)
5830ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
591, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58tgbtwnconn2 28584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
6057, 27, 593jca 1129 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑦𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
611, 16, 50, 15, 23, 14, 5ishlg 28610 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝑦𝐸𝐹𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
6260, 61mpbird 257 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
6341, 52, 623jca 1129 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
641, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6axtgsegcon 28472 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)))
651, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10axtgsegcon 28472 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶)))
66 reeanv 3229 . . . 4 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶))) ↔ (∃𝑥𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ ∃𝑦𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶))))
6764, 65, 66sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 𝑥) = (𝐵 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 𝑦) = (𝐵 𝐶))))
6863, 67reximddv2 3215 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
691, 16, 50, 4, 6, 8, 10, 24, 13, 22iscgra 28817 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
7068, 69mpbird 257 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  cgrGccgrg 28518  hlGchlg 28608  cgrAccgra 28815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-hlg 28609  df-cgra 28816
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator