Theorem flatcgra 27183

Description: Flat angles are congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
flatcgra.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
flatcgra.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
flatcgra.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
flatcgra.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
flatcgra.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
flatcgra.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
flatcgra	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem flatcgra

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.m	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4		cgracol.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		cgracol.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		cgracol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		cgracol.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
13		cgracol.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14	13	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
15		simplr 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
16		cgracol.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
17		simprlr 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴))
18	1, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17	tgcgrcomlr 26839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
19	18	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐸))
20		simprrr 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
21	20	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑦))
22		cgracol.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
24		cgracol.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	24	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
26		flatcgra.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	26	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
28		flatcgra.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
29	28	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
30		flatcgra.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
31	1, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30	tgbtwncom 26847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
32	31	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
33		simprll 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥))
34		simprrl 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
35	1, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34	tgbtwnconn22 26938	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
36		flatcgra.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	36	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
38	1, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20	tgcgrextend 26844	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐶))
39	38	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝑥 − 𝑦))
40	1, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39	tgcgrcomlr 26839	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝑦 − 𝑥))
41	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40	trgcgr 26875	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
42	17	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝑥))
43		flatcgra.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
44	43	necomd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
45	44	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐴)
46	1, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 42, 45	tgcgrneq 26842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ≠ 𝑥)
47	46	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
48	1, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32	tgbtwnconn2 26935	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
49	47, 29, 48	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥))))
50		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
51	1, 16, 50, 12, 25, 14, 5	ishlg 26961	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ↔ (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))))
52	49, 51	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
53		flatcgra.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
54	53	necomd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
55	54	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
56	1, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55	tgcgrneq 26842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ≠ 𝑦)
57	56	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
58	30	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
59	1, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58	tgbtwnconn2 26935	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
60	57, 27, 59	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
61	1, 16, 50, 15, 23, 14, 5	ishlg 26961	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
62	60, 61	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
63	41, 52, 62	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
64	1, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6	axtgsegcon 26823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)))
65	1, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10	axtgsegcon 26823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
66		reeanv 3293	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
67	64, 65, 66	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
68	63, 67	reximddv2 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
69	1, 16, 50, 4, 6, 8, 10, 24, 13, 22	iscgra 27168	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
70	68, 69	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5076  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  ⟨“cs3 14553  Basecbs 16910  distcds 16969  TarskiGcstrkg 26786  Itvcitv 26792  cgrGccgrg 26869  hlGchlg 26959  cgrAccgra 27166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-oadd 8299  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-dju 9657  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-hash 14043  df-word 14216  df-concat 14272  df-s1 14299  df-s2 14559  df-s3 14560  df-trkgc 26807  df-trkgb 26808  df-trkgcb 26809  df-trkg 26812  df-cgrg 26870  df-hlg 26960  df-cgra 27167

This theorem is referenced by: (None)