Theorem flatcgra 28880

Description: Flat angles are congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
flatcgra.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
flatcgra.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
flatcgra.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
flatcgra.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
flatcgra.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
flatcgra.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
flatcgra	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem flatcgra

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.m	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4		cgracol.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		cgracol.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		cgracol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		cgracol.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
13		cgracol.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14	13	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
15		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
16		cgracol.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
17		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴))
18	1, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17	tgcgrcomlr 28536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
19	18	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐸))
20		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
21	20	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑦))
22		cgracol.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
24		cgracol.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	24	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
26		flatcgra.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	26	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
28		flatcgra.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
29	28	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
30		flatcgra.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
31	1, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30	tgbtwncom 28544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
32	31	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
33		simprll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥))
34		simprrl 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
35	1, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34	tgbtwnconn22 28635	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
36		flatcgra.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	36	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
38	1, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20	tgcgrextend 28541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐶))
39	38	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝑥 − 𝑦))
40	1, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39	tgcgrcomlr 28536	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝑦 − 𝑥))
41	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40	trgcgr 28572	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
42	17	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝑥))
43		flatcgra.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
44	43	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
45	44	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐴)
46	1, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 42, 45	tgcgrneq 28539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ≠ 𝑥)
47	46	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
48	1, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32	tgbtwnconn2 28632	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
49	47, 29, 48	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥))))
50		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
51	1, 16, 50, 12, 25, 14, 5	ishlg 28658	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ↔ (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))))
52	49, 51	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
53		flatcgra.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
54	53	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
55	54	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
56	1, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55	tgcgrneq 28539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ≠ 𝑦)
57	56	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
58	30	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
59	1, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58	tgbtwnconn2 28632	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
60	57, 27, 59	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
61	1, 16, 50, 15, 23, 14, 5	ishlg 28658	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
62	60, 61	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
63	41, 52, 62	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
64	1, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6	axtgsegcon 28520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)))
65	1, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10	axtgsegcon 28520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
66		reeanv 3210	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
67	64, 65, 66	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
68	63, 67	reximddv2 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
69	1, 16, 50, 4, 6, 8, 10, 24, 13, 22	iscgra 28865	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
70	68, 69	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ⟨“cs3 14766  Basecbs 17137  distcds 17187  TarskiGcstrkg 28483  Itvcitv 28489  cgrGccgrg 28566  hlGchlg 28656  cgrAccgra 28863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-hash 14255  df-word 14438  df-concat 14495  df-s1 14521  df-s2 14772  df-s3 14773  df-trkgc 28504  df-trkgb 28505  df-trkgcb 28506  df-trkg 28509  df-cgrg 28567  df-hlg 28657  df-cgra 28864

This theorem is referenced by: (None)