MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flatcgra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flatcgra 27808
Description: Flat angles are congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
flatcgra.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
flatcgra.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
flatcgra.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
flatcgra.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
flatcgra.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
flatcgra.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
Assertion
Ref Expression
flatcgra (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)

Proof of Theorem flatcgra
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.m . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2737 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgracol.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgracol.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgracol.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 simpllr 775 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgracol.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
15 simplr 768 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgracol.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 779 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
181, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17tgcgrcomlr 27464 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐸) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
1918eqcomd 2743 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (π‘₯ βˆ’ 𝐸))
20 simprrr 781 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
2120eqcomd 2743 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝑦))
22 cgracol.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
24 cgracol.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
26 flatcgra.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
28 flatcgra.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
2928ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
30 flatcgra.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
311, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30tgbtwncom 27472 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
3231ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
33 simprll 778 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯))
34 simprrl 780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
351, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34tgbtwnconn22 27563 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))
36 flatcgra.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
3736ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
381, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20tgcgrextend 27469 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐢))
3938eqcomd 2743 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
401, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39tgcgrcomlr 27464 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑦 βˆ’ π‘₯))
411, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40trgcgr 27500 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ©)
4217eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ π‘₯))
43 flatcgra.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
4443necomd 3000 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
4544ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
461, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 42, 45tgcgrneq 27467 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 β‰  π‘₯)
4746necomd 3000 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ β‰  𝐸)
481, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32tgbtwnconn2 27560 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯)))
4947, 29, 483jca 1129 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ β‰  𝐸 ∧ 𝐷 β‰  𝐸 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯))))
50 eqid 2737 . . . . . 6 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
511, 16, 50, 12, 25, 14, 5ishlg 27586 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ↔ (π‘₯ β‰  𝐸 ∧ 𝐷 β‰  𝐸 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯)))))
5249, 51mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷)
53 flatcgra.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
5453necomd 3000 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
5554ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
561, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55tgcgrneq 27467 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 β‰  𝑦)
5756necomd 3000 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦 β‰  𝐸)
5830ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
591, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58tgbtwnconn2 27560 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
6057, 27, 593jca 1129 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝑦 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
611, 16, 50, 15, 23, 14, 5ishlg 27586 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹 ↔ (𝑦 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
6260, 61mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)
6341, 52, 623jca 1129 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹))
641, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6axtgsegcon 27448 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
651, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10axtgsegcon 27448 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
66 reeanv 3220 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
6764, 65, 66sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
6863, 67reximddv2 3207 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹))
691, 16, 50, 4, 6, 8, 10, 24, 13, 22iscgra 27793 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)))
7068, 69mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  cgrGccgrg 27494  hlGchlg 27584  cgrAccgra 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-hlg 27585  df-cgra 27792
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator