Theorem flatcgra 28847

Description: Flat angles are congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
flatcgra.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
flatcgra.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
flatcgra.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
flatcgra.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
flatcgra.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
flatcgra.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
flatcgra	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem flatcgra

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.m	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
4		cgracol.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		cgracol.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		cgracol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		cgracol.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
13		cgracol.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14	13	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
15		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
16		cgracol.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
17		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴))
18	1, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17	tgcgrcomlr 28503	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 − 𝐸) = (𝐴 − 𝐵))
19	18	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝐸))
20		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
21	20	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑦))
22		cgracol.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
24		cgracol.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
25	24	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
26		flatcgra.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	26	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
28		flatcgra.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
29	28	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
30		flatcgra.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
31	1, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30	tgbtwncom 28511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
32	31	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
33		simprll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥))
34		simprrl 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
35	1, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34	tgbtwnconn22 28602	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
36		flatcgra.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
37	36	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
38	1, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20	tgcgrextend 28508	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐶))
39	38	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝑥 − 𝑦))
40	1, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39	tgcgrcomlr 28503	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝑦 − 𝑥))
41	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40	trgcgr 28539	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
42	17	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝑥))
43		flatcgra.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
44	43	necomd 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
45	44	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐴)
46	1, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 42, 45	tgcgrneq 28506	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ≠ 𝑥)
47	46	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ≠ 𝐸)
48	1, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32	tgbtwnconn2 28599	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))
49	47, 29, 48	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥))))
50		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
51	1, 16, 50, 12, 25, 14, 5	ishlg 28625	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ↔ (𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑥)))))
52	49, 51	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
53		flatcgra.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
54	53	necomd 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
55	54	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
56	1, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55	tgcgrneq 28506	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ≠ 𝑦)
57	56	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ≠ 𝐸)
58	30	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
59	1, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58	tgbtwnconn2 28599	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
60	57, 27, 59	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
61	1, 16, 50, 15, 23, 14, 5	ishlg 28625	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹 ↔ (𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
62	60, 61	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
63	41, 52, 62	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
64	1, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6	axtgsegcon 28487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)))
65	1, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10	axtgsegcon 28487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
66		reeanv 3227	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
67	64, 65, 66	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑥) ∧ (𝐸 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
68	63, 67	reximddv2 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹))
69	1, 16, 50, 4, 6, 8, 10, 24, 13, 22	iscgra 28832	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)))
70	68, 69	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  cgrGccgrg 28533  hlGchlg 28623  cgrAccgra 28830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-hlg 28624  df-cgra 28831

This theorem is referenced by: (None)