Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cgracol.p |
. . . . 5
β’ π = (BaseβπΊ) |
2 | | cgracol.m |
. . . . 5
β’ β =
(distβπΊ) |
3 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(cgrGβπΊ) =
(cgrGβπΊ) |
4 | | cgracol.g |
. . . . . 6
β’ (π β πΊ β TarskiG) |
5 | 4 | ad3antrrr 729 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΊ β TarskiG) |
6 | | cgracol.a |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π) |
7 | 6 | ad3antrrr 729 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π΄ β π) |
8 | | cgracol.b |
. . . . . 6
β’ (π β π΅ β π) |
9 | 8 | ad3antrrr 729 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π΅ β π) |
10 | | cgracol.c |
. . . . . 6
β’ (π β πΆ β π) |
11 | 10 | ad3antrrr 729 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΆ β π) |
12 | | simpllr 775 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π₯ β π) |
13 | | cgracol.e |
. . . . . 6
β’ (π β πΈ β π) |
14 | 13 | ad3antrrr 729 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β π) |
15 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π¦ β π) |
16 | | cgracol.i |
. . . . . . 7
β’ πΌ = (ItvβπΊ) |
17 | | simprlr 779 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) |
18 | 1, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17 | tgcgrcomlr 27464 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π₯ β πΈ) = (π΄ β π΅)) |
19 | 18 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π΄ β π΅) = (π₯ β πΈ)) |
20 | | simprrr 781 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)) |
21 | 20 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π΅ β πΆ) = (πΈ β π¦)) |
22 | | cgracol.f |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ β π) |
23 | 22 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΉ β π) |
24 | | cgracol.d |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π· β π) |
25 | 24 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π· β π) |
26 | | flatcgra.6 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ β πΈ) |
27 | 26 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΉ β πΈ) |
28 | | flatcgra.5 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π· β πΈ) |
29 | 28 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π· β πΈ) |
30 | | flatcgra.2 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΈ β (π·πΌπΉ)) |
31 | 1, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30 | tgbtwncom 27472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΈ β (πΉπΌπ·)) |
32 | 31 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β (πΉπΌπ·)) |
33 | | simprll 778 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β (πΉπΌπ₯)) |
34 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β (π·πΌπ¦)) |
35 | 1, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34 | tgbtwnconn22 27563 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β (π₯πΌπ¦)) |
36 | | flatcgra.1 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΅ β (π΄πΌπΆ)) |
37 | 36 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π΅ β (π΄πΌπΆ)) |
38 | 1, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20 | tgcgrextend 27469 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π₯ β π¦) = (π΄ β πΆ)) |
39 | 38 | eqcomd 2743 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π΄ β πΆ) = (π₯ β π¦)) |
40 | 1, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39 | tgcgrcomlr 27464 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (πΆ β π΄) = (π¦ β π₯)) |
41 | 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40 | trgcgr 27500 |
. . . 4
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ₯πΈπ¦ββ©) |
42 | 17 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π΅ β π΄) = (πΈ β π₯)) |
43 | | flatcgra.3 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π΅) |
44 | 43 | necomd 3000 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΅ β π΄) |
45 | 44 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π΅ β π΄) |
46 | 1, 2, 16, 5, 9, 7,
14, 12, 42, 45 | tgcgrneq 27467 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β π₯) |
47 | 46 | necomd 3000 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π₯ β πΈ) |
48 | 1, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32 | tgbtwnconn2 27560 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π₯ β (πΈπΌπ·) β¨ π· β (πΈπΌπ₯))) |
49 | 47, 29, 48 | 3jca 1129 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π₯ β πΈ β§ π· β πΈ β§ (π₯ β (πΈπΌπ·) β¨ π· β (πΈπΌπ₯)))) |
50 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(hlGβπΊ) =
(hlGβπΊ) |
51 | 1, 16, 50, 12, 25, 14, 5 | ishlg 27586 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π₯((hlGβπΊ)βπΈ)π· β (π₯ β πΈ β§ π· β πΈ β§ (π₯ β (πΈπΌπ·) β¨ π· β (πΈπΌπ₯))))) |
52 | 49, 51 | mpbird 257 |
. . . 4
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π₯((hlGβπΊ)βπΈ)π·) |
53 | | flatcgra.4 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΆ β π΅) |
54 | 53 | necomd 3000 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΅ β πΆ) |
55 | 54 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π΅ β πΆ) |
56 | 1, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55 | tgcgrneq 27467 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β π¦) |
57 | 56 | necomd 3000 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π¦ β πΈ) |
58 | 30 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β πΈ β (π·πΌπΉ)) |
59 | 1, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58 | tgbtwnconn2 27560 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π¦ β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ¦))) |
60 | 57, 27, 59 | 3jca 1129 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π¦ β πΈ β§ πΉ β πΈ β§ (π¦ β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ¦)))) |
61 | 1, 16, 50, 15, 23, 14, 5 | ishlg 27586 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (π¦((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ β (π¦ β πΈ β§ πΉ β πΈ β§ (π¦ β (πΈπΌπΉ) β¨ πΉ β (πΈπΌπ¦))))) |
62 | 60, 61 | mpbird 257 |
. . . 4
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β π¦((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ) |
63 | 41, 52, 62 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((π β§ π₯ β π) β§ π¦ β π) β§ ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ₯πΈπ¦ββ© β§ π₯((hlGβπΊ)βπΈ)π· β§ π¦((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ)) |
64 | 1, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6 | axtgsegcon 27448 |
. . . 4
β’ (π β βπ₯ β π (πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄))) |
65 | 1, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10 | axtgsegcon 27448 |
. . . 4
β’ (π β βπ¦ β π (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ))) |
66 | | reeanv 3220 |
. . . 4
β’
(βπ₯ β
π βπ¦ β π ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ))) β (βπ₯ β π (πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ βπ¦ β π (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) |
67 | 64, 65, 66 | sylanbrc 584 |
. . 3
β’ (π β βπ₯ β π βπ¦ β π ((πΈ β (πΉπΌπ₯) β§ (πΈ β π₯) = (π΅ β π΄)) β§ (πΈ β (π·πΌπ¦) β§ (πΈ β π¦) = (π΅ β πΆ)))) |
68 | 63, 67 | reximddv2 3207 |
. 2
β’ (π β βπ₯ β π βπ¦ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ₯πΈπ¦ββ© β§ π₯((hlGβπΊ)βπΈ)π· β§ π¦((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ)) |
69 | 1, 16, 50, 4, 6, 8,
10, 24, 13, 22 | iscgra 27793 |
. 2
β’ (π β (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ© β βπ₯ β π βπ¦ β π (β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrGβπΊ)β¨βπ₯πΈπ¦ββ© β§ π₯((hlGβπΊ)βπΈ)π· β§ π¦((hlGβπΊ)βπΈ)πΉ))) |
70 | 68, 69 | mpbird 257 |
1
β’ (π β β¨βπ΄π΅πΆββ©(cgrAβπΊ)β¨βπ·πΈπΉββ©) |