MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flatcgra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flatcgra 28583
Description: Flat angles are congruent. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
flatcgra.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
flatcgra.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
flatcgra.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
flatcgra.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
flatcgra.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
flatcgra.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
Assertion
Ref Expression
flatcgra (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)

Proof of Theorem flatcgra
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.m . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgracol.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracol.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgracol.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgracol.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 simpllr 773 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgracol.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
15 simplr 766 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgracol.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 777 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
181, 2, 16, 5, 14, 12, 9, 7, 17tgcgrcomlr 28239 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐸) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
1918eqcomd 2732 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (π‘₯ βˆ’ 𝐸))
20 simprrr 779 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
2120eqcomd 2732 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝑦))
22 cgracol.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2322ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
24 cgracol.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2524ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
26 flatcgra.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
2726ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
28 flatcgra.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
2928ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
30 flatcgra.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
311, 2, 16, 4, 24, 13, 22, 30tgbtwncom 28247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
3231ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
33 simprll 776 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯))
34 simprrl 778 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
351, 16, 5, 23, 14, 25, 12, 15, 27, 29, 32, 33, 34tgbtwnconn22 28338 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))
36 flatcgra.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
3736ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
381, 2, 16, 5, 12, 14, 15, 7, 9, 11, 35, 37, 18, 20tgcgrextend 28244 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐢))
3938eqcomd 2732 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
401, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 39tgcgrcomlr 28239 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑦 βˆ’ π‘₯))
411, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 40trgcgr 28275 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ©)
4217eqcomd 2732 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ π‘₯))
43 flatcgra.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
4443necomd 2990 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
4544ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
461, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 42, 45tgcgrneq 28242 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 β‰  π‘₯)
4746necomd 2990 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ β‰  𝐸)
481, 16, 5, 23, 14, 12, 25, 27, 33, 32tgbtwnconn2 28335 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯)))
4947, 29, 483jca 1125 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯ β‰  𝐸 ∧ 𝐷 β‰  𝐸 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯))))
50 eqid 2726 . . . . . 6 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
511, 16, 50, 12, 25, 14, 5ishlg 28361 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ↔ (π‘₯ β‰  𝐸 ∧ 𝐷 β‰  𝐸 ∧ (π‘₯ ∈ (𝐸𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼π‘₯)))))
5249, 51mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷)
53 flatcgra.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
5453necomd 2990 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
5554ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
561, 2, 16, 5, 9, 11, 14, 15, 21, 55tgcgrneq 28242 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 β‰  𝑦)
5756necomd 2990 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦 β‰  𝐸)
5830ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
591, 16, 5, 25, 14, 15, 23, 29, 34, 58tgbtwnconn2 28335 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))
6057, 27, 593jca 1125 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝑦 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦))))
611, 16, 50, 15, 23, 14, 5ishlg 28361 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹 ↔ (𝑦 β‰  𝐸 ∧ 𝐹 β‰  𝐸 ∧ (𝑦 ∈ (𝐸𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑦)))))
6260, 61mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)
6341, 52, 623jca 1125 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹))
641, 2, 16, 4, 22, 13, 8, 6axtgsegcon 28223 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
651, 2, 16, 4, 24, 13, 8, 10axtgsegcon 28223 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
66 reeanv 3220 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
6764, 65, 66sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯) ∧ (𝐸 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ (𝐸 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
6863, 67reximddv2 3206 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹))
691, 16, 50, 4, 6, 8, 10, 24, 13, 22iscgra 28568 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)))
7068, 69mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  βŸ¨β€œcs3 14799  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  cgrGccgrg 28269  hlGchlg 28359  cgrAccgra 28566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-hlg 28360  df-cgra 28567
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator