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Theorem opphllem3 26543
 Description: Lemma for opphl 26548: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem3.t (𝜑𝑅𝑆)
opphllem3.l (𝜑 → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
opphllem3.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem3.v (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
opphllem3 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem3
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 opphl.k . . . . 5 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 opphllem3.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑃)
54ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑈𝑃)
6 opphllem5.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
76ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐴𝑃)
8 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 opphllem5.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐷)
121, 8, 2, 9, 10, 11tglnpt 26343 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑃)
1312ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑅𝑃)
149ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15 simplr 768 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑝𝑃)
16 simprl 770 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
17 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
188, 9, 17perpln2 26505 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
191, 2, 8, 9, 6, 12, 18tglnne 26422 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑅)
2019ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐴𝑅)
21 hpg.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
22 opphllem5.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
2322ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐶𝑃)
24 opphllem5.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝐷)
251, 8, 2, 9, 10, 24tglnpt 26343 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑃)
2625ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑆𝑃)
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))
281, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27tgcgrcomlr 26274 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝐶 𝑆) = (𝑝 𝑅))
29 opphllem5.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
3029ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
318, 14, 30perpln2 26505 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
321, 2, 8, 14, 23, 26, 31tglnne 26422 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐶𝑆)
331, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32tgcgrneq 26277 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑝𝑅)
341, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33hlbtwn 26405 . . . 4 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴𝑈(𝐾𝑅)𝑝))
35 eqid 2798 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
3614adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37 opphllem5.n . . . . . . 7 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
38 opphllem5.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑃)
3938ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑀𝑃)
405adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑈𝑃)
41 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑝𝑃)
4213adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑅𝑃)
43 simpr 488 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑈(𝐾𝑅)𝑝)
441, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43mirhl 26473 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑈)(𝐾‘(𝑁𝑅))(𝑁𝑝))
45 eqidd 2799 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑈) = (𝑁𝑈))
46 opphllem3.v . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
4746ad5antr 733 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
4847fveq2d 6649 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝐾‘(𝑁𝑅)) = (𝐾𝑆))
49 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))
5014ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚𝑃)
5238ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑀𝑃)
5326ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑆𝑃)
5413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅𝑃)
55 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆))
5655eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
5737fveq1i 6646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑆) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆)
581, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46mircom 26457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁𝑆) = 𝑅)
5957, 58syl5eqr 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
6059ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
611, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60miduniq 26479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚 = 𝑀)
6261fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀))
6362, 37eqtr4di 2851 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = 𝑁)
6463fveq1d 6647 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝) = (𝑁𝑝))
6549, 64eqtr2d 2834 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
66 opphllem3.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝑆)
6766ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑅𝑆)
6867necomd 3042 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑆𝑅)
6910ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
70 simp-4r 783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡𝐷)
711, 8, 2, 14, 69, 70tglnpt 26343 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡𝑃)
7224ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑆𝐷)
7311ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑅𝐷)
741, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73tglinethru 26430 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷 = (𝑆𝐿𝑅))
7517ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
7674, 75eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
771, 2, 8, 14, 23, 26, 32tglinecom 26429 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
7830, 74, 773brtr3d 5061 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
7970, 74eleqtrd 2892 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐿𝑅))
80 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
811, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27opphllem 26529 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → ∃𝑚𝑃 (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝)))
8265, 81r19.29a 3248 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
8382adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
8445, 48, 83breq123d 5044 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → ((𝑁𝑈)(𝐾‘(𝑁𝑅))(𝑁𝑝) ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
8544, 84mpbid 235 . . . . 5 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶)
8614adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8738ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑀𝑃)
881, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4mircl 26455 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ 𝑃)
8988ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑈) ∈ 𝑃)
9023adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝐶𝑃)
9126adantr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑆𝑃)
92 simpr 488 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶)
931, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92mirhl 26473 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁𝑈))(𝐾‘(𝑁𝑆))(𝑁𝐶))
945adantr 484 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑈𝑃)
951, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94mirmir 26456 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = 𝑈)
9613adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑅𝑃)
9746ad5antr 733 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
981, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97mircom 26457 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑆) = 𝑅)
9998fveq2d 6649 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝐾‘(𝑁𝑆)) = (𝐾𝑅))
100 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑝𝑃)
10182adantr 484 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
1021, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101mircom 26457 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝐶) = 𝑝)
10395, 99, 102breq123d 5044 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → ((𝑁‘(𝑁𝑈))(𝐾‘(𝑁𝑆))(𝑁𝐶) ↔ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝))
10493, 103mpbid 235 . . . . 5 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑈(𝐾𝑅)𝑝)
10585, 104impbida 800 . . . 4 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑈(𝐾𝑅)𝑝 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
10634, 105bitrd 282 . . 3 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
107 opphllem3.l . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
108 eqid 2798 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
1091, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6legov 26379 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ↔ ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))))
110107, 109mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝)))
111110ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝)))
112106, 111r19.29a 3248 . 2 (((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
113 opphllem5.o . . . 4 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
114 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
1151, 21, 2, 114, 6, 22islnopp 26533 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
116113, 115mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
117116simprd 499 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
118112, 117r19.29a 3248 1 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   class class class wbr 5030  {copab 5092  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  ≤Gcleg 26376  hlGchlg 26394  pInvGcmir 26446  ⟂Gcperpg 26489 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-cgrg 26305  df-leg 26377  df-hlg 26395  df-mir 26447  df-rag 26488  df-perpg 26490 This theorem is referenced by:  opphllem4  26544  opphllem6  26546
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