opphllem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem opphllem3 27110

Description: Lemma for opphl 27115: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n	⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
opphllem5.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
opphllem5.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem3.t	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑆)
opphllem3.l	⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴))
opphllem3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
opphllem3.v	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
opphllem3	⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑎,𝑏 𝐼,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑡,𝐴 𝑡,𝐷 𝑡,𝑅 𝑡,𝐶 𝑡,𝐺 𝑡,𝐿 𝑡,𝑈 𝑡,𝐼 𝑡,𝐾 𝑡,𝑀 𝑡,𝑂 𝑡,𝑁 𝑡,𝑃 𝑡,𝑆 𝜑,𝑡 𝑡, − 𝑡,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑎,𝑏) 𝐴(𝑎,𝑏) 𝐶(𝑎,𝑏) 𝑅(𝑎,𝑏) 𝑆(𝑎,𝑏) 𝑈(𝑎,𝑏) 𝐺(𝑎,𝑏) 𝐾(𝑎,𝑏) 𝐿(𝑎,𝑏) 𝑀(𝑎,𝑏) − (𝑎,𝑏) 𝑁(𝑎,𝑏) 𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem3 Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		opphl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		opphllem3.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
5	4	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑈 ∈ 𝑃)
6		opphllem5.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		opphl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		opphl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		opphllem5.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	tglnpt 26910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
13	12	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
14	9	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
16		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
17		opphllem5.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
18	8, 9, 17	perpln2 27072	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
19	1, 2, 8, 9, 6, 12, 18	tglnne 26989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
20	19	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑅)
21		hpg.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
22		opphllem5.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24		opphllem5.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
25	1, 8, 2, 9, 10, 24	tglnpt 26910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
26	25	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑆 ∈ 𝑃)
27		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))
28	1, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27	tgcgrcomlr 26841	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑆) = (𝑝 − 𝑅))
29		opphllem5.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
30	29	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
31	8, 14, 30	perpln2 27072	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
32	1, 2, 8, 14, 23, 26, 31	tglnne 26989	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝑆)
33	1, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32	tgcgrneq 26844	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝑅)
34	1, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33	hlbtwn 26972	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝))
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
36	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37		opphllem5.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
38		opphllem5.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39	38	ad5antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑀 ∈ 𝑃)
40	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑈 ∈ 𝑃)
41		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑅 ∈ 𝑃)
43		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝)
44	1, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43	mirhl 27040	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑈)(𝐾‘(𝑁‘𝑅))(𝑁‘𝑝))
45		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑈) = (𝑁‘𝑈))
46		opphllem3.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
47	46	ad5antr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
48	47	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝐾‘(𝑁‘𝑅)) = (𝐾‘𝑆))
49		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))
50	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚 ∈ 𝑃)
52	38	ad6antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
53	26	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑆 ∈ 𝑃)
54	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
55		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆))
56	55	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
57	37	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝑆) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆)
58	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46	mircom 27024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = 𝑅)
59	57, 58	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
60	59	ad6antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
61	1, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60	miduniq 27046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚 = 𝑀)
62	61	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀))
63	62, 37	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = 𝑁)
64	63	fveq1d 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝) = (𝑁‘𝑝))
65	49, 64	eqtr2d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
66		opphllem3.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑆)
67	66	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ≠ 𝑆)
68	67	necomd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑆 ≠ 𝑅)
69	10	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
70		simp-4r 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
71	1, 8, 2, 14, 69, 70	tglnpt 26910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
72	24	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑆 ∈ 𝐷)
73	11	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73	tglinethru 26997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 = (𝑆𝐿𝑅))
75	17	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
76	74, 75	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
77	1, 2, 8, 14, 23, 26, 32	tglinecom 26996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
78	30, 74, 77	3brtr3d 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
79	70, 74	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐿𝑅))
80		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
81	1, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27	opphllem 27096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → ∃𝑚 ∈ 𝑃 (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝)))
82	65, 81	r19.29a 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
83	82	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
84	45, 48, 83	breq123d 5088	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → ((𝑁‘𝑈)(𝐾‘(𝑁‘𝑅))(𝑁‘𝑝) ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
85	44, 84	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶)
86	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87	38	ad5antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑀 ∈ 𝑃)
88	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4	mircl 27022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑃)
89	88	ad5antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑃)
90	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
91	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑆 ∈ 𝑃)
92		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶)
93	1, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92	mirhl 27040	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘(𝑁‘𝑆))(𝑁‘𝐶))
94	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑈 ∈ 𝑃)
95	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94	mirmir 27023	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = 𝑈)
96	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑅 ∈ 𝑃)
97	46	ad5antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
98	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97	mircom 27024	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑆) = 𝑅)
99	98	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝐾‘(𝑁‘𝑆)) = (𝐾‘𝑅))
100		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑝 ∈ 𝑃)
101	82	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
102	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101	mircom 27024	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝐶) = 𝑝)
103	95, 99, 102	breq123d 5088	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → ((𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘(𝑁‘𝑆))(𝑁‘𝐶) ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝))
104	93, 103	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝)
105	85, 104	impbida 798	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
106	34, 105	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
107		opphllem3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴))
108		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
109	1, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6	legov 26946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))))
110	107, 109	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝)))
111	110	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝)))
112	106, 111	r19.29a 3218	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
113		opphllem5.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
114		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
115	1, 21, 2, 114, 6, 22	islnopp 27100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
116	113, 115	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
117	116	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
118	112, 117	r19.29a 3218	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3065 ∖ cdif 3884 class class class wbr 5074 {copab 5136 ran crn 5590 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 Basecbs 16912 distcds 16971 TarskiGcstrkg 26788 Itvcitv 26794 LineGclng 26795 ≤Gcleg 26943 hlGchlg 26961 pInvGcmir 27013 ⟂Gcperpg 27056

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-oadd 8301 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-xnn0 12306 df-z 12320 df-uz 12583 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-hash 14045 df-word 14218 df-concat 14274 df-s1 14301 df-s2 14561 df-s3 14562 df-trkgc 26809 df-trkgb 26810 df-trkgcb 26811 df-trkg 26814 df-cgrg 26872 df-leg 26944 df-hlg 26962 df-mir 27014 df-rag 27055 df-perpg 27057

This theorem is referenced by: opphllem4 27111 opphllem6 27113

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