opphllem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem opphllem3 28839

Description: Lemma for opphl 28844: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n	⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
opphllem5.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
opphllem5.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem3.t	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑆)
opphllem3.l	⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴))
opphllem3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
opphllem3.v	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
opphllem3	⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑎,𝑏 𝐼,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑡,𝐴 𝑡,𝐷 𝑡,𝑅 𝑡,𝐶 𝑡,𝐺 𝑡,𝐿 𝑡,𝑈 𝑡,𝐼 𝑡,𝐾 𝑡,𝑀 𝑡,𝑂 𝑡,𝑁 𝑡,𝑃 𝑡,𝑆 𝜑,𝑡 𝑡, − 𝑡,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑎,𝑏) 𝐴(𝑎,𝑏) 𝐶(𝑎,𝑏) 𝑅(𝑎,𝑏) 𝑆(𝑎,𝑏) 𝑈(𝑎,𝑏) 𝐺(𝑎,𝑏) 𝐾(𝑎,𝑏) 𝐿(𝑎,𝑏) 𝑀(𝑎,𝑏) − (𝑎,𝑏) 𝑁(𝑎,𝑏) 𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem3 Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		opphl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		opphllem3.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
5	4	ad4antr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑈 ∈ 𝑃)
6		opphllem5.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		opphl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		opphl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		opphllem5.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	tglnpt 28639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
13	12	ad4antr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
14	9	ad4antr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		simplr 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
16		simprl 777	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
17		opphllem5.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
18	8, 9, 17	perpln2 28801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
19	1, 2, 8, 9, 6, 12, 18	tglnne 28718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
20	19	ad4antr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑅)
21		hpg.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
22		opphllem5.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	22	ad4antr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24		opphllem5.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
25	1, 8, 2, 9, 10, 24	tglnpt 28639	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
26	25	ad4antr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑆 ∈ 𝑃)
27		simprr 779	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))
28	1, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27	tgcgrcomlr 28570	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝐶 − 𝑆) = (𝑝 − 𝑅))
29		opphllem5.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
30	29	ad4antr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
31	8, 14, 30	perpln2 28801	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
32	1, 2, 8, 14, 23, 26, 31	tglnne 28718	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐶 ≠ 𝑆)
33	1, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32	tgcgrneq 28573	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝑅)
34	1, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33	hlbtwn 28701	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝))
35		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
36	14	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37		opphllem5.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
38		opphllem5.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39	38	ad5antr 741	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑀 ∈ 𝑃)
40	5	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑈 ∈ 𝑃)
41		simpllr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42	13	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑅 ∈ 𝑃)
43		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝)
44	1, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43	mirhl 28769	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑈)(𝐾‘(𝑁‘𝑅))(𝑁‘𝑝))
45		eqidd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑈) = (𝑁‘𝑈))
46		opphllem3.v	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
47	46	ad5antr 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
48	47	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝐾‘(𝑁‘𝑅)) = (𝐾‘𝑆))
49		simprr 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))
50	14	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51		simplr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚 ∈ 𝑃)
52	38	ad6antr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
53	26	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑆 ∈ 𝑃)
54	13	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅 ∈ 𝑃)
55		simprl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆))
56	55	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
57	37	fveq1i 6832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝑆) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆)
58	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46	mircom 28753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = 𝑅)
59	57, 58	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
60	59	ad6antr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
61	1, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60	miduniq 28775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚 = 𝑀)
62	61	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀))
63	62, 37	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = 𝑁)
64	63	fveq1d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝) = (𝑁‘𝑝))
65	49, 64	eqtr2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
66		opphllem3.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑆)
67	66	ad4antr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ≠ 𝑆)
68	67	necomd 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑆 ≠ 𝑅)
69	10	ad4antr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
70		simp-4r 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
71	1, 8, 2, 14, 69, 70	tglnpt 28639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
72	24	ad4antr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑆 ∈ 𝐷)
73	11	ad4antr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73	tglinethru 28726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 = (𝑆𝐿𝑅))
75	17	ad4antr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
76	74, 75	eqbrtrrd 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
77	1, 2, 8, 14, 23, 26, 32	tglinecom 28725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
78	30, 74, 77	3brtr3d 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
79	70, 74	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐿𝑅))
80		simpllr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
81	1, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27	opphllem 28825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → ∃𝑚 ∈ 𝑃 (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝)))
82	65, 81	r19.29a 3149	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
83	82	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
84	45, 48, 83	breq123d 5089	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → ((𝑁‘𝑈)(𝐾‘(𝑁‘𝑅))(𝑁‘𝑝) ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
85	44, 84	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝) → (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶)
86	14	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87	38	ad5antr 741	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑀 ∈ 𝑃)
88	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4	mircl 28751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑃)
89	88	ad5antr 741	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑃)
90	23	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
91	26	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑆 ∈ 𝑃)
92		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶)
93	1, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92	mirhl 28769	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘(𝑁‘𝑆))(𝑁‘𝐶))
94	5	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑈 ∈ 𝑃)
95	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94	mirmir 28752	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = 𝑈)
96	13	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑅 ∈ 𝑃)
97	46	ad5antr 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
98	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97	mircom 28753	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑆) = 𝑅)
99	98	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝐾‘(𝑁‘𝑆)) = (𝐾‘𝑅))
100		simpllr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑝 ∈ 𝑃)
101	82	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝑝) = 𝐶)
102	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101	mircom 28753	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → (𝑁‘𝐶) = 𝑝)
103	95, 99, 102	breq123d 5089	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → ((𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘(𝑁‘𝑆))(𝑁‘𝐶) ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝))
104	93, 103	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) ∧ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶) → 𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝)
105	85, 104	impbida 807	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝑝 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
106	34, 105	bitrd 281	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
107		opphllem3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴))
108		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
109	1, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6	legov 28675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝))))
110	107, 109	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝)))
111	110	ad2antrr 733	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 − 𝐶) = (𝑅 − 𝑝)))
112	106, 111	r19.29a 3149	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
113		opphllem5.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
114		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
115	1, 21, 2, 114, 6, 22	islnopp 28829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
116	113, 115	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
117	116	simprd 497	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
118	112, 117	r19.29a 3149	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ≠ wne 2936 ∃wrex 3065 ∖ cdif 3882 class class class wbr 5075 {copab 5137 ran crn 5622 ‘cfv 6489 (class class class)co 7360 Basecbs 17174 distcds 17224 TarskiGcstrkg 28517 Itvcitv 28523 LineGclng 28524 ≤Gcleg 28672 hlGchlg 28690 pInvGcmir 28742 ⟂Gcperpg 28785

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-rep 5202 ax-sep 5221 ax-nul 5231 ax-pow 5297 ax-pr 5365 ax-un 7682 ax-cnex 11089 ax-resscn 11090 ax-1cn 11091 ax-icn 11092 ax-addcl 11093 ax-addrcl 11094 ax-mulcl 11095 ax-mulrcl 11096 ax-mulcom 11097 ax-addass 11098 ax-mulass 11099 ax-distr 11100 ax-i2m1 11101 ax-1ne0 11102 ax-1rid 11103 ax-rnegex 11104 ax-rrecex 11105 ax-cnre 11106 ax-pre-lttri 11107 ax-pre-lttrn 11108 ax-pre-ltadd 11109 ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3726 df-csb 3834 df-dif 3888 df-un 3890 df-in 3892 df-ss 3902 df-pss 3905 df-nul 4265 df-if 4458 df-pw 4534 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4842 df-int 4881 df-iun 4926 df-br 5076 df-opab 5138 df-mpt 5157 df-tr 5183 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-oadd 8403 df-er 8637 df-map 8769 df-pm 8770 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-dju 9820 df-card 9858 df-pnf 11176 df-mnf 11177 df-xr 11178 df-ltxr 11179 df-le 11180 df-sub 11374 df-neg 11375 df-nn 12170 df-2 12239 df-3 12240 df-n0 12433 df-xnn0 12506 df-z 12520 df-uz 12784 df-fz 13457 df-fzo 13604 df-hash 14288 df-word 14471 df-concat 14528 df-s1 14554 df-s2 14805 df-s3 14806 df-trkgc 28538 df-trkgb 28539 df-trkgcb 28540 df-trkg 28543 df-cgrg 28601 df-leg 28673 df-hlg 28691 df-mir 28743 df-rag 28784 df-perpg 28786

This theorem is referenced by: opphllem4 28840 opphllem6 28842

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