MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footexlem2 28009
Description: Lemma for footex 28010. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
foot.y (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
footexlem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
footexlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
footexlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (πΉπΌπ‘Œ))
footexlem.4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐢))
footexlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
footexlem.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑅))
footexlem.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ 𝐸))
footexlem.10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)𝐼𝐷))
footexlem.11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐷) = (π‘Œ βˆ’ 𝐢))
footexlem.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
footexlem2 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐿𝑋)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)

Proof of Theorem footexlem2
StepHypRef Expression
1 isperp.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.d . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 isperp.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 isperp.l . 2 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 isperp.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 foot.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
7 footexlem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 isperp.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9 foot.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
10 footexlem.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
11 footexlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 footexlem.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
13 footexlem.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
14 footexlem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
15 footexlem.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
16 footexlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
17 footexlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
18 footexlem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (πΉπΌπ‘Œ))
19 footexlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐢))
20 footexlem.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
21 footexlem.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐼𝑍))
22 footexlem.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑅))
23 footexlem.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
24 footexlem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑅𝐼𝑄))
25 footexlem.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ 𝐸))
26 footexlem.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)𝐼𝐷))
27 footexlem.11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐷) = (π‘Œ βˆ’ 𝐢))
28 footexlem.12 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ))
291, 2, 3, 4, 5, 8, 6, 9, 10, 11, 12, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28footexlem1 28008 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
30 nelne2 3040 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 β‰  𝐢)
3129, 9, 30syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝐢)
3231necomd 2996 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝑋)
331, 3, 4, 5, 6, 7, 32tgelrnln 27919 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
341, 3, 4, 5, 6, 7, 32tglinerflx2 27923 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐢𝐿𝑋))
3534, 29elind 4194 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((𝐢𝐿𝑋) ∩ 𝐴))
361, 3, 4, 5, 6, 7, 32tglinerflx1 27922 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐢𝐿𝑋))
3717necomd 2996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
381, 3, 4, 5, 11, 10, 13, 37, 18btwnlng3 27910 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹𝐿𝐸))
391, 3, 4, 5, 10, 11, 13, 17, 38lncom 27911 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐿𝐹))
4039, 16eleqtrrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
41 eqid 2732 . . . . 5 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
425adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4310adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
4413adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
4512adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
466adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
47 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐢 = 𝐢)
48 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ π‘Œ = 𝑋)
49 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐸 = 𝐸)
5047, 48, 49s3eqd 14817 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπΆπ‘ŒπΈβ€βŸ© = βŸ¨β€œπΆπ‘‹πΈβ€βŸ©)
517adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
5214adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)
541, 2, 3, 4, 41, 5, 14, 53, 23mircl 27950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„) ∈ 𝑃)
551, 2, 3, 5, 10, 13, 10, 6, 19tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐸))
5625, 55eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (π‘Œ βˆ’ 𝑄))
571, 3, 4, 5, 10, 11, 17tglinerflx1 27922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
5857, 16eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐴)
59 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
6058, 9, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐸)
621, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 23, 56, 61tgcgrneq 27772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑄)
6362necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  π‘Œ)
64 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
6540, 9, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
6665necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  π‘Œ)
6720, 66eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ) β‰  π‘Œ)
68 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)
691, 2, 3, 4, 41, 5, 12, 68, 13mirinv 27955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = π‘Œ ↔ 𝑅 = π‘Œ))
7069necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ) β‰  π‘Œ ↔ 𝑅 β‰  π‘Œ))
7167, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  π‘Œ)
721, 2, 3, 4, 41, 5, 12, 68, 13mirbtwn 27947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
7320oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΆπΌπ‘Œ) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
7472, 73eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (πΆπΌπ‘Œ))
751, 2, 3, 5, 6, 12, 13, 23, 71, 74, 24tgbtwnouttr2 27784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐢𝐼𝑄))
761, 2, 3, 5, 6, 13, 23, 75tgbtwncom 27777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑄𝐼𝐢))
77 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
7820oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
7919, 78eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
801, 2, 3, 4, 41, 5, 10, 12, 13israg 27986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
8179, 80mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
821, 2, 3, 5, 12, 13, 23, 24tgbtwncom 27777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑄𝐼𝑅))
831, 2, 3, 5, 13, 23, 13, 10, 25tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ π‘Œ))
8422eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑅) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
851, 2, 3, 5, 23, 10axtgcgrrflx 27751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝐸) = (𝐸 βˆ’ 𝑄))
8625eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐸) = (π‘Œ βˆ’ 𝑄))
871, 2, 3, 5, 23, 13, 12, 10, 13, 14, 10, 23, 63, 82, 21, 83, 84, 85, 86axtg5seg 27754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐸) = (𝑍 βˆ’ 𝑄))
881, 2, 3, 5, 12, 10, 14, 23, 87tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝑅) = (𝑄 βˆ’ 𝑍))
891, 2, 3, 5, 13, 12, 13, 14, 84tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Œ) = (𝑍 βˆ’ π‘Œ))
901, 2, 77, 5, 10, 12, 13, 23, 14, 13, 88, 89, 86trgcgr 27805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘„π‘π‘Œβ€βŸ©)
911, 2, 3, 4, 41, 5, 10, 12, 13, 77, 23, 14, 13, 81, 90ragcgr 27996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘„π‘π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
921, 2, 3, 4, 41, 5, 23, 14, 13, 91ragcom 27987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘Œπ‘π‘„β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
931, 2, 3, 4, 41, 5, 13, 14, 23israg 27986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ‘Œπ‘π‘„β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„))))
9492, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)))
951, 2, 3, 5, 13, 23, 13, 54, 94tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ π‘Œ) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„) βˆ’ π‘Œ))
9627eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) = (π‘Œ βˆ’ 𝐷))
971, 2, 3, 4, 41, 5, 14, 53, 23mircgr 27946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)) = (𝑍 βˆ’ 𝑄))
9897eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝑄) = (𝑍 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)))
991, 2, 3, 5, 14, 23, 14, 54, 98tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝑍) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„) βˆ’ 𝑍))
100 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
1011, 2, 3, 5, 23, 13, 6, 54, 13, 15, 14, 14, 63, 76, 26, 95, 96, 99, 100axtg5seg 27754 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑍) = (𝐷 βˆ’ 𝑍))
1021, 2, 3, 5, 6, 14, 15, 14, 101tgcgrcomlr 27769 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝐢) = (𝑍 βˆ’ 𝐷))
10328oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝐷) = (𝑍 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ)))
104102, 103eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ’ 𝐢) = (𝑍 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ)))
1051, 2, 3, 4, 41, 5, 14, 7, 6israg 27986 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ‘π‘‹πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝑍 βˆ’ 𝐢) = (𝑍 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ))))
106104, 105mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘π‘‹πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
107106adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπ‘π‘‹πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
10871necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑅)
1091, 2, 3, 5, 13, 12, 13, 14, 84, 108tgcgrneq 27772 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
110109necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  π‘Œ)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑍 β‰  π‘Œ)
112111, 48neeqtrd 3010 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
11319eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ π‘Œ))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ π‘Œ))
11560adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
1161, 2, 3, 42, 43, 46, 43, 44, 114, 115tgcgrneq 27772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐸 β‰  π‘Œ)
117116necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ π‘Œ β‰  𝐸)
1181, 2, 3, 5, 10, 6, 10, 13, 113, 60tgcgrneq 27772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  π‘Œ)
1191, 3, 4, 5, 10, 13, 14, 118, 21btwnlng3 27910 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (πΈπΏπ‘Œ))
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ (πΈπΏπ‘Œ))
1211, 3, 4, 42, 44, 43, 52, 117, 120lncom 27911 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπΈ))
12248oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ (π‘ŒπΏπΈ) = (𝑋𝐿𝐸))
123121, 122eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝐸))
124123orcd 871 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝐸) ∨ 𝑋 = 𝐸))
1251, 2, 3, 4, 41, 42, 52, 51, 46, 43, 107, 112, 124ragcol 27988 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘‹πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1261, 2, 3, 4, 41, 42, 43, 51, 46, 125ragcom 27987 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπΆπ‘‹πΈβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
12750, 126eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπΆπ‘ŒπΈβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
12866adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ 𝐢 β‰  π‘Œ)
1291, 2, 3, 5, 6, 12, 13, 74tgbtwncom 27777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (π‘ŒπΌπΆ))
1301, 4, 3, 5, 13, 12, 6, 129btwncolg3 27846 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (π‘ŒπΏπ‘…) ∨ π‘Œ = 𝑅))
131130adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ (𝐢 ∈ (π‘ŒπΏπ‘…) ∨ π‘Œ = 𝑅))
1321, 2, 3, 4, 41, 42, 46, 44, 43, 45, 127, 128, 131ragcol 27988 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπ‘…π‘ŒπΈβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1331, 2, 3, 4, 41, 42, 45, 44, 43, 132ragcom 27987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘Œπ‘…β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
13481adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1351, 2, 3, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 133, 134ragflat 27993 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ π‘Œ = 𝑅)
136108adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ π‘Œ β‰  𝑅)
137136neneqd 2945 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑋) β†’ Β¬ π‘Œ = 𝑅)
138135, 137pm2.65da 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ = 𝑋)
139138neqned 2947 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑋)
14028oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐷) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ)))
14196, 140eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ)))
1421, 2, 3, 4, 41, 5, 13, 7, 6israg 27986 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ‘Œπ‘‹πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ))))
143141, 142mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘Œπ‘‹πΆβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1441, 2, 3, 4, 41, 5, 13, 7, 6, 143ragcom 27987 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
1451, 2, 3, 4, 5, 33, 8, 35, 36, 40, 32, 139, 144ragperp 28006 1 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐿𝑋)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  βŸ¨β€œcs3 14795  Basecbs 17146  distcds 17208  TarskiGcstrkg 27716  Itvcitv 27722  LineGclng 27723  cgrGccgrg 27799  pInvGcmir 27941  βˆŸGcrag 27982  βŸ‚Gcperpg 27984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 27737  df-trkgb 27738  df-trkgcb 27739  df-trkg 27742  df-cgrg 27800  df-leg 27872  df-mir 27942  df-rag 27983  df-perpg 27985
This theorem is referenced by:  footex  28010
  Copyright terms: Public domain W3C validator