MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footexlem1 28497
Description: Lemma for footex 28499. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (𝜑𝐶𝑃)
foot.y (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
footexlem.e (𝜑𝐸𝑃)
footexlem.f (𝜑𝐹𝑃)
footexlem.r (𝜑𝑅𝑃)
footexlem.x (𝜑𝑋𝑃)
footexlem.y (𝜑𝑌𝑃)
footexlem.z (𝜑𝑍𝑃)
footexlem.d (𝜑𝐷𝑃)
footexlem.1 (𝜑𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2 (𝜑𝐸𝐹)
footexlem.3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
footexlem.4 (𝜑 → (𝐸 𝑌) = (𝐸 𝐶))
footexlem.5 (𝜑𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
footexlem.6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝑅))
footexlem.q (𝜑𝑄𝑃)
footexlem.8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9 (𝜑 → (𝑌 𝑄) = (𝑌 𝐸))
footexlem.10 (𝜑𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
footexlem.11 (𝜑 → (𝑌 𝐷) = (𝑌 𝐶))
footexlem.12 (𝜑𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
footexlem1 (𝜑𝑋𝐴)

Proof of Theorem footexlem1
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isperp.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 isperp.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 footexlem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
6 footexlem.z . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
7 footexlem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
8 isperp.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
9 footexlem.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑃)
10 footexlem.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 𝑅))
1110eqcomd 2733 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑅) = (𝑌 𝑍))
12 footexlem.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
13 footexlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝑃)
14 footexlem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑃)
15 footexlem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸𝐹)
1615necomd 2991 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝐸)
17 footexlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
181, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17btwnlng3 28399 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹𝐿𝐸))
191, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18lncom 28400 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20 footexlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
2119, 20eleqtrrd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
22 foot.y . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐴)
23 nelne2 3035 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝑌𝐶)
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝐶)
2524necomd 2991 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑌)
2612, 25eqnetrrd 3004 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌)
27 eqid 2727 . . . . . . . 8 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
28 eqid 2727 . . . . . . . 8 ((pInvG‘𝐺)‘𝑅) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑅)
291, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5mirinv 28444 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) = 𝑌𝑅 = 𝑌))
3029necon3bid 2980 . . . . . 6 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌𝑅𝑌))
3126, 30mpbid 231 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑌)
3231necomd 2991 . . . 4 (𝜑𝑌𝑅)
331, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32tgcgrneq 28261 . . 3 (𝜑𝑌𝑍)
3433necomd 2991 . . . 4 (𝜑𝑍𝑌)
35 eqid 2727 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑍) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑍)
36 eqid 2727 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
37 footexlem.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
381, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37mircl 28439 . . . . 5 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) ∈ 𝑃)
39 foot.x . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
40 footexlem.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
411, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5mirbtwn 28436 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
4212oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐼𝑌) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
4341, 42eleqtrrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝑌))
44 footexlem.8 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
451, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44tgbtwnouttr2 28273 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶𝐼𝑄))
461, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45tgbtwncom 28266 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝐶))
47 footexlem.10 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
48 eqid 2727 . . . . . . . 8 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
49 footexlem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 𝑌) = (𝐸 𝐶))
5012oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 𝐶) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
5149, 50eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 𝑌) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
521, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5israg 28475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 𝑌) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))))
5351, 52mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
54 footexlem.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 𝑄) = (𝑌 𝐸))
551, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49tgcgrcomlr 28258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 𝐸) = (𝐶 𝐸))
5654, 55eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝑌 𝑄))
571, 2, 3, 4, 13, 14, 15tglinerflx1 28411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
5857, 20eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸𝐴)
59 nelne2 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝐴 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝐸𝐶)
6058, 22, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝐶)
6160necomd 2991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝐸)
621, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61tgcgrneq 28261 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑄)
6362necomd 2991 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄𝑌)
641, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44tgbtwncom 28266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65 footexlem.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
661, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54tgcgrcomlr 28258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 𝑌) = (𝐸 𝑌))
671, 8, 2, 4, 37, 13axtgcgrrflx 28240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 𝐸) = (𝐸 𝑄))
6854eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 𝐸) = (𝑌 𝑄))
691, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68axtg5seg 28243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 𝐸) = (𝑍 𝑄))
701, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69tgcgrcomlr 28258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 𝑅) = (𝑄 𝑍))
711, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11tgcgrcomlr 28258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 𝑌) = (𝑍 𝑌))
721, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68trgcgr 28294 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩)
731, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72ragcgr 28485 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
741, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73ragcom 28476 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
751, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37israg 28475 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑌 𝑄) = (𝑌 (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))))
7674, 75mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝑄) = (𝑌 (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)))
77 footexlem.11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 𝐷) = (𝑌 𝐶))
7877eqcomd 2733 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝐶) = (𝑌 𝐷))
79 eqidd 2728 . . . . 5 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))
80 footexlem.12 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
811, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80krippen 28469 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
821, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81btwnlng3 28399 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82lncom 28400 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
84 isperp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8549eqcomd 2733 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 𝐶) = (𝐸 𝑌))
861, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60tgcgrneq 28261 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑌)
871, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65btwnlng3 28399 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝐸𝐿𝑌))
881, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21tglinethru 28414 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐸𝐿𝑌))
8987, 88eleqtrrd 2831 . . 3 (𝜑𝑍𝐴)
901, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89tglinethru 28414 . 2 (𝜑𝐴 = (𝑌𝐿𝑍))
9183, 90eleqtrrd 2831 1 (𝜑𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  ran crn 5673  cfv 6542  (class class class)co 7414  ⟨“cs3 14811  Basecbs 17165  distcds 17227  TarskiGcstrkg 28205  Itvcitv 28211  LineGclng 28212  cgrGccgrg 28288  pInvGcmir 28430  ∟Gcrag 28471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-s1 14564  df-s2 14817  df-s3 14818  df-trkgc 28226  df-trkgb 28227  df-trkgcb 28228  df-trkg 28231  df-cgrg 28289  df-leg 28361  df-mir 28431  df-rag 28472
This theorem is referenced by:  footexlem2  28498  footex  28499
  Copyright terms: Public domain W3C validator