Theorem footexlem1 27080

Description: Lemma for footex 27082. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
footexlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footexlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
footexlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
footexlem.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
footexlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
footexlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
footexlem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
footexlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
footexlem.11	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
footexlem.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
footexlem1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		footexlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		footexlem.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		footexlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		footexlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
10		footexlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
11	10	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑅) = (𝑌 − 𝑍))
12		footexlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
13		footexlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		footexlem.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		footexlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
16	15	necomd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
17		footexlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
18	1, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17	btwnlng3 26982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹𝐿𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18	lncom 26983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20		footexlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
21	19, 20	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
22		foot.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
23		nelne2 3042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑌 ≠ 𝐶)
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐶)
25	24	necomd 2999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑌)
26	12, 25	eqnetrrd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌)
27		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑅) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑅)
29	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirinv 27027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) = 𝑌 ↔ 𝑅 = 𝑌))
30	29	necon3bid 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌 ↔ 𝑅 ≠ 𝑌))
31	26, 30	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑌)
32	31	necomd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑅)
33	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32	tgcgrneq 26844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	necomd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
35		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑍) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑍)
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
37		footexlem.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
38	1, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37	mircl 27022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) ∈ 𝑃)
39		foot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
40		footexlem.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirbtwn 27019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
42	12	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐼𝑌) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
43	41, 42	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝑌))
44		footexlem.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
45	1, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44	tgbtwnouttr2 26856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐼𝑄))
46	1, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45	tgbtwncom 26849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝐶))
47		footexlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
48		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
49		footexlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
50	12	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
51	49, 50	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
52	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5	israg 27058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))))
53	51, 52	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
54		footexlem.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
55	1, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
56	54, 55	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15	tglinerflx1 26994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
58	57, 20	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
59		nelne2 3042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐸 ≠ 𝐶)
60	58, 22, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐶)
61	60	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
62	1, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61	tgcgrneq 26844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
63	62	necomd 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑌)
64	1, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44	tgbtwncom 26849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65		footexlem.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
66	1, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑌) = (𝐸 − 𝑌))
67	1, 8, 2, 4, 37, 13	axtgcgrrflx 26823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝐸) = (𝐸 − 𝑄))
68	54	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
69	1, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68	axtg5seg 26826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝐸) = (𝑍 − 𝑄))
70	1, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑅) = (𝑄 − 𝑍))
71	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
72	1, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68	trgcgr 26877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩)
73	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72	ragcgr 27068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
74	1, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73	ragcom 27059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
75	1, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37	israg 27058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))))
76	74, 75	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)))
77		footexlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
78	77	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐶) = (𝑌 − 𝐷))
79		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))
80		footexlem.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
81	1, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80	krippen 27052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
82	1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81	btwnlng3 26982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82	lncom 26983	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
84		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
85	49	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑌))
86	1, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60	tgcgrneq 26844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
87	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65	btwnlng3 26982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐸𝐿𝑌))
88	1, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21	tglinethru 26997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝑌))
89	87, 88	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89	tglinethru 26997	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌𝐿𝑍))
91	83, 90	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  cgrGccgrg 26871  pInvGcmir 27013  ∟Gcrag 27054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944  df-mir 27014  df-rag 27055

This theorem is referenced by:  footexlem2  27081  footex  27082