Theorem footexlem1 26191

Description: Lemma for footex 26193 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
footexlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footexlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
footexlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
footexlem.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
footexlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
footexlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
footexlem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
footexlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
footexlem.11	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
footexlem.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
footexlem1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		footexlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		footexlem.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		footexlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		footexlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
10		footexlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
11	10	eqcomd 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑅) = (𝑌 − 𝑍))
12		footexlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
13		footexlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		footexlem.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		footexlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
16	15	necomd 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
17		footexlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
18	1, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17	btwnlng3 26093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹𝐿𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18	lncom 26094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20		footexlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
21	19, 20	eleqtrrd 2888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
22		foot.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
23		nelne2 3085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑌 ≠ 𝐶)
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐶)
25	24	necomd 3041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑌)
26	12, 25	eqnetrrd 3054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌)
27		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
28		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑅) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑅)
29	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirinv 26138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) = 𝑌 ↔ 𝑅 = 𝑌))
30	29	necon3bid 3030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌 ↔ 𝑅 ≠ 𝑌))
31	26, 30	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑌)
32	31	necomd 3041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑅)
33	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32	tgcgrneq 25955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	necomd 3041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
35		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑍) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑍)
36		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
37		footexlem.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
38	1, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37	mircl 26133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) ∈ 𝑃)
39		foot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
40		footexlem.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirbtwn 26130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
42	12	oveq1d 7038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐼𝑌) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
43	41, 42	eleqtrrd 2888	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝑌))
44		footexlem.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
45	1, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44	tgbtwnouttr2 25967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐼𝑄))
46	1, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45	tgbtwncom 25960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝐶))
47		footexlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
48		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
49		footexlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
50	12	oveq2d 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
51	49, 50	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
52	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5	israg 26169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))))
53	51, 52	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
54		footexlem.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
55	1, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49	tgcgrcomlr 25952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
56	54, 55	eqtr2d 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15	tglinerflx1 26105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
58	57, 20	eleqtrrd 2888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
59		nelne2 3085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐸 ≠ 𝐶)
60	58, 22, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐶)
61	60	necomd 3041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
62	1, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61	tgcgrneq 25955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
63	62	necomd 3041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑌)
64	1, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44	tgbtwncom 25960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65		footexlem.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
66	1, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54	tgcgrcomlr 25952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑌) = (𝐸 − 𝑌))
67	1, 8, 2, 4, 37, 13	axtgcgrrflx 25934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝐸) = (𝐸 − 𝑄))
68	54	eqcomd 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
69	1, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68	axtg5seg 25937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝐸) = (𝑍 − 𝑄))
70	1, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69	tgcgrcomlr 25952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑅) = (𝑄 − 𝑍))
71	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11	tgcgrcomlr 25952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
72	1, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68	trgcgr 25988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩)
73	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72	ragcgr 26179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
74	1, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73	ragcom 26170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
75	1, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37	israg 26169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))))
76	74, 75	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)))
77		footexlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
78	77	eqcomd 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐶) = (𝑌 − 𝐷))
79		eqidd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))
80		footexlem.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
81	1, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80	krippen 26163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
82	1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81	btwnlng3 26093	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82	lncom 26094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
84		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
85	49	eqcomd 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑌))
86	1, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60	tgcgrneq 25955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
87	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65	btwnlng3 26093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐸𝐿𝑌))
88	1, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21	tglinethru 26108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝑌))
89	87, 88	eleqtrrd 2888	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89	tglinethru 26108	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌𝐿𝑍))
91	83, 90	eleqtrrd 2888	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ran crn 5451  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ⟨“cs3 14044  Basecbs 16316  distcds 16407  TarskiGcstrkg 25902  Itvcitv 25908  LineGclng 25909  cgrGccgrg 25982  pInvGcmir 26124  ∟Gcrag 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-hash 13545  df-word 13712  df-concat 13773  df-s1 13798  df-s2 14050  df-s3 14051  df-trkgc 25920  df-trkgb 25921  df-trkgcb 25922  df-trkg 25925  df-cgrg 25983  df-leg 26055  df-mir 26125  df-rag 26166

This theorem is referenced by:  footexlem2  26192  footex  26193