MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footexlem1 27970
Description: Lemma for footex 27972. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
foot.y (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
footexlem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
footexlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
footexlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (πΉπΌπ‘Œ))
footexlem.4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐢))
footexlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
footexlem.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑅))
footexlem.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ 𝐸))
footexlem.10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)𝐼𝐷))
footexlem.11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐷) = (π‘Œ βˆ’ 𝐢))
footexlem.12 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
footexlem1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footexlem1
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 isperp.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 isperp.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 footexlem.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
6 footexlem.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
7 footexlem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 isperp.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
9 footexlem.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
10 footexlem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ βˆ’ 𝑅))
1110eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑅) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
12 footexlem.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ))
13 footexlem.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
14 footexlem.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
15 footexlem.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
1615necomd 2997 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝐸)
17 footexlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (πΉπΌπ‘Œ))
181, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17btwnlng3 27872 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹𝐿𝐸))
191, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18lncom 27873 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20 footexlem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
2119, 20eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
22 foot.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴)
23 nelne2 3041 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
2421, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝐢)
2524necomd 2997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  π‘Œ)
2612, 25eqnetrrd 3010 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ) β‰  π‘Œ)
27 eqid 2733 . . . . . . . 8 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)
291, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5mirinv 27917 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ) = π‘Œ ↔ 𝑅 = π‘Œ))
3029necon3bid 2986 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ) β‰  π‘Œ ↔ 𝑅 β‰  π‘Œ))
3126, 30mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  π‘Œ)
3231necomd 2997 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑅)
331, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32tgcgrneq 27734 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
3433necomd 2997 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  π‘Œ)
35 eqid 2733 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)
36 eqid 2733 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)
37 footexlem.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
381, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37mircl 27912 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„) ∈ 𝑃)
39 foot.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
40 footexlem.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
411, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5mirbtwn 27909 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
4212oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΆπΌπ‘Œ) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
4341, 42eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (πΆπΌπ‘Œ))
44 footexlem.8 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑅𝐼𝑄))
451, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44tgbtwnouttr2 27746 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐢𝐼𝑄))
461, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45tgbtwncom 27739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑄𝐼𝐢))
47 footexlem.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)𝐼𝐷))
48 eqid 2733 . . . . . . . 8 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
49 footexlem.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ 𝐢))
5012oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
5149, 50eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
521, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5israg 27948 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (𝐸 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
5351, 52mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
54 footexlem.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ 𝐸))
551, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49tgcgrcomlr 27731 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐸) = (𝐢 βˆ’ 𝐸))
5654, 55eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐸) = (π‘Œ βˆ’ 𝑄))
571, 2, 3, 4, 13, 14, 15tglinerflx1 27884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
5857, 20eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐴)
59 nelne2 3041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
6058, 22, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐢)
6160necomd 2997 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐸)
621, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61tgcgrneq 27734 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑄)
6362necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  π‘Œ)
641, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44tgbtwncom 27739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65 footexlem.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐸𝐼𝑍))
661, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54tgcgrcomlr 27731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ π‘Œ) = (𝐸 βˆ’ π‘Œ))
671, 8, 2, 4, 37, 13axtgcgrrflx 27713 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝐸) = (𝐸 βˆ’ 𝑄))
6854eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐸) = (π‘Œ βˆ’ 𝑄))
691, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68axtg5seg 27716 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐸) = (𝑍 βˆ’ 𝑄))
701, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69tgcgrcomlr 27731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝑅) = (𝑄 βˆ’ 𝑍))
711, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11tgcgrcomlr 27731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Œ) = (𝑍 βˆ’ π‘Œ))
721, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68trgcgr 27767 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΈπ‘…π‘Œβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘„π‘π‘Œβ€βŸ©)
731, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72ragcgr 27958 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘„π‘π‘Œβ€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
741, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73ragcom 27949 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘Œπ‘π‘„β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
751, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37israg 27948 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ‘Œπ‘π‘„β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„))))
7674, 75mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑄) = (π‘Œ βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„)))
77 footexlem.11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐷) = (π‘Œ βˆ’ 𝐢))
7877eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐢) = (π‘Œ βˆ’ 𝐷))
79 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘)β€˜π‘„))
80 footexlem.12 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘‹)β€˜πΆ))
811, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80krippen 27942 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑍𝐼𝑋))
821, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81btwnlng3 27872 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘πΏπ‘Œ))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82lncom 27873 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
84 isperp.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8549eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ π‘Œ))
861, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60tgcgrneq 27734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  π‘Œ)
871, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65btwnlng3 27872 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (πΈπΏπ‘Œ))
881, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21tglinethru 27887 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (πΈπΏπ‘Œ))
8987, 88eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐴)
901, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89tglinethru 27887 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘ŒπΏπ‘))
9183, 90eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  βŸ¨β€œcs3 14793  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  cgrGccgrg 27761  pInvGcmir 27903  βˆŸGcrag 27944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834  df-mir 27904  df-rag 27945
This theorem is referenced by:  footexlem2  27971  footex  27972
  Copyright terms: Public domain W3C validator