Theorem footexlem1 29127

Description: Lemma for footex 29129. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
footexlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footexlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
footexlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
footexlem.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
footexlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
footexlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
footexlem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
footexlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
footexlem.11	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
footexlem.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
footexlem1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		footexlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		footexlem.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		footexlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		footexlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
10		footexlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
11	10	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑅) = (𝑌 − 𝑍))
12		footexlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
13		footexlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		footexlem.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		footexlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
16	15	necomd 3010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
17		footexlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
18	1, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17	btwnlng3 29022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹𝐿𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18	lncom 29023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20		footexlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
21	19, 20	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
22		foot.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
23		nelne2 3053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑌 ≠ 𝐶)
24	21, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐶)
25	24	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑌)
26	12, 25	eqnetrrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌)
27		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
28		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑅) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑅)
29	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirinv 29071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) = 𝑌 ↔ 𝑅 = 𝑌))
30	29	necon3bid 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌 ↔ 𝑅 ≠ 𝑌))
31	26, 30	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑌)
32	31	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑅)
33	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32	tgcgrneq 28878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
35		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑍) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑍)
36		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
37		footexlem.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
38	1, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37	mircl 29066	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) ∈ 𝑃)
39		foot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
40		footexlem.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirbtwn 29063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
42	12	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐼𝑌) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
43	41, 42	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝑌))
44		footexlem.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
45	1, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44	tgbtwnouttr2 28891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐼𝑄))
46	1, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45	tgbtwncom 28884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝐶))
47		footexlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
48		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
49		footexlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
50	12	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
51	49, 50	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
52	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5	israg 29105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))))
53	51, 52	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
54		footexlem.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
55	1, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49	tgcgrcomlr 28875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
56	54, 55	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15	tglinerflx1 29034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
58	57, 20	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
59		nelne2 3053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐸 ≠ 𝐶)
60	58, 22, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐶)
61	60	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
62	1, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61	tgcgrneq 28878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
63	62	necomd 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑌)
64	1, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44	tgbtwncom 28884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65		footexlem.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
66	1, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54	tgcgrcomlr 28875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑌) = (𝐸 − 𝑌))
67	1, 8, 2, 4, 37, 13	axtgcgrrflx 28857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝐸) = (𝐸 − 𝑄))
68	54	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
69	1, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68	axtg5seg 28860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝐸) = (𝑍 − 𝑄))
70	1, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69	tgcgrcomlr 28875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑅) = (𝑄 − 𝑍))
71	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11	tgcgrcomlr 28875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
72	1, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68	trgcgr 28912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩)
73	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72	ragcgr 29115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
74	1, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73	ragcom 29106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
75	1, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37	israg 29105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))))
76	74, 75	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)))
77		footexlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
78	77	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐶) = (𝑌 − 𝐷))
79		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))
80		footexlem.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
81	1, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80	krippen 29096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
82	1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81	btwnlng3 29022	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82	lncom 29023	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
84		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
85	49	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑌))
86	1, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60	tgcgrneq 28878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
87	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65	btwnlng3 29022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐸𝐿𝑌))
88	1, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21	tglinethru 29037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝑌))
89	87, 88	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89	tglinethru 29037	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌𝐿𝑍))
91	83, 90	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ⟨“cs3 14960  Basecbs 17348  distcds 17398  TarskiGcstrkg 28822  Itvcitv 28828  LineGclng 28829  cgrGccgrg 28906  pInvGcmir 29057  ∟Gcrag 29101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-leg 28979  df-mir 29058  df-rag 29102

This theorem is used by:  footexlem2  29128  footex  29129