Theorem footexlem1 28644

Description: Lemma for footex 28646. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
foot.x	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
foot.y	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
footexlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
footexlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
footexlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
footexlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
footexlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
footexlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
footexlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
footexlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
footexlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
footexlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
footexlem.4	⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
footexlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
footexlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
footexlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
footexlem.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
footexlem.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
footexlem.9	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
footexlem.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
footexlem.11	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
footexlem.12	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
footexlem1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem footexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		footexlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		footexlem.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		footexlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		footexlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
10		footexlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝑅))
11	10	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑅) = (𝑌 − 𝑍))
12		footexlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))
13		footexlem.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		footexlem.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		footexlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
16	15	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐸)
17		footexlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝑌))
18	1, 2, 3, 4, 14, 13, 5, 16, 17	btwnlng3 28546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹𝐿𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 13, 14, 5, 15, 18	lncom 28547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
20		footexlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝐹))
21	19, 20	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
22		foot.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
23		nelne2 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝑌 ≠ 𝐶)
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐶)
25	24	necomd 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑌)
26	12, 25	eqnetrrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌)
27		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
28		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑅) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑅)
29	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirinv 28591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) = 𝑌 ↔ 𝑅 = 𝑌))
30	29	necon3bid 2976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌) ≠ 𝑌 ↔ 𝑅 ≠ 𝑌))
31	26, 30	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑌)
32	31	necomd 2987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑅)
33	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11, 32	tgcgrneq 28408	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	necomd 2987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑍) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑍)
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
37		footexlem.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
38	1, 8, 2, 3, 27, 4, 6, 35, 37	mircl 28586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) ∈ 𝑃)
39		foot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
40		footexlem.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
41	1, 8, 2, 3, 27, 4, 9, 28, 5	mirbtwn 28583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
42	12	oveq1d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐼𝑌) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)𝐼𝑌))
43	41, 42	eleqtrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝑌))
44		footexlem.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
45	1, 8, 2, 4, 39, 9, 5, 37, 31, 43, 44	tgbtwnouttr2 28420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶𝐼𝑄))
46	1, 8, 2, 4, 39, 5, 37, 45	tgbtwncom 28413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝐶))
47		footexlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)𝐼𝐷))
48		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
49		footexlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − 𝐶))
50	12	oveq2d 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
51	49, 50	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌)))
52	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5	israg 28622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 − 𝑌) = (𝐸 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑅)‘𝑌))))
53	51, 52	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
54		footexlem.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − 𝐸))
55	1, 8, 2, 4, 13, 5, 13, 39, 49	tgcgrcomlr 28405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝐶 − 𝐸))
56	54, 55	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 13, 14, 15	tglinerflx1 28558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐸𝐿𝐹))
58	57, 20	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴)
59		nelne2 3030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐸 ≠ 𝐶)
60	58, 22, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐶)
61	60	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐸)
62	1, 8, 2, 4, 39, 13, 5, 37, 56, 61	tgcgrneq 28408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
63	62	necomd 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑌)
64	1, 8, 2, 4, 9, 5, 37, 44	tgbtwncom 28413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
65		footexlem.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐸𝐼𝑍))
66	1, 8, 2, 4, 5, 37, 5, 13, 54	tgcgrcomlr 28405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑌) = (𝐸 − 𝑌))
67	1, 8, 2, 4, 37, 13	axtgcgrrflx 28387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝐸) = (𝐸 − 𝑄))
68	54	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐸) = (𝑌 − 𝑄))
69	1, 8, 2, 4, 37, 5, 9, 13, 5, 6, 13, 37, 63, 64, 65, 66, 11, 67, 68	axtg5seg 28390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝐸) = (𝑍 − 𝑄))
70	1, 8, 2, 4, 9, 13, 6, 37, 69	tgcgrcomlr 28405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝑅) = (𝑄 − 𝑍))
71	1, 8, 2, 4, 5, 9, 5, 6, 11	tgcgrcomlr 28405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
72	1, 8, 48, 4, 13, 9, 5, 37, 6, 5, 70, 71, 68	trgcgr 28441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝑅𝑌”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩)
73	1, 8, 2, 3, 27, 4, 13, 9, 5, 48, 37, 6, 5, 53, 72	ragcgr 28632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑄𝑍𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
74	1, 8, 2, 3, 27, 4, 37, 6, 5, 73	ragcom 28623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
75	1, 8, 2, 3, 27, 4, 5, 6, 37	israg 28622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑌𝑍𝑄”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))))
76	74, 75	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑄) = (𝑌 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄)))
77		footexlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐷) = (𝑌 − 𝐶))
78	77	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐶) = (𝑌 − 𝐷))
79		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑍)‘𝑄))
80		footexlem.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝐶))
81	1, 8, 2, 3, 27, 4, 35, 36, 37, 38, 5, 39, 40, 6, 7, 46, 47, 76, 78, 79, 80	krippen 28616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
82	1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 34, 81	btwnlng3 28546	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 82	lncom 28547	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
84		isperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
85	49	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐶) = (𝐸 − 𝑌))
86	1, 8, 2, 4, 13, 39, 13, 5, 85, 60	tgcgrneq 28408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝑌)
87	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 86, 65	btwnlng3 28546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐸𝐿𝑌))
88	1, 2, 3, 4, 13, 5, 86, 86, 84, 58, 21	tglinethru 28561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸𝐿𝑌))
89	87, 88	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 33, 33, 84, 21, 89	tglinethru 28561	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌𝐿𝑍))
91	83, 90	eleqtrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ran crn 5655  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ⟨“cs3 14859  Basecbs 17226  distcds 17278  TarskiGcstrkg 28352  Itvcitv 28358  LineGclng 28359  cgrGccgrg 28435  pInvGcmir 28577  ∟Gcrag 28618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14347  df-word 14530  df-concat 14587  df-s1 14612  df-s2 14865  df-s3 14866  df-trkgc 28373  df-trkgb 28374  df-trkgcb 28375  df-trkg 28378  df-cgrg 28436  df-leg 28508  df-mir 28578  df-rag 28619

This theorem is referenced by:  footexlem2  28645  footex  28646