Theorem 2timesd 12425

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
2timesd	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2times 12317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-mulcom 11132  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-1rid 11138  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-2 12249

This theorem is referenced by:  lt2addmuld  12432  nn0le2x  12496  fzctr  13601  flhalf  13792  2submod  13897  modaddmodup  13899  m1expeven  14074  expmulnbnd  14200  discr  14205  crre  15080  imval2  15117  abslem2  15306  sqreulem  15326  amgm2  15336  caucvgrlem  15639  iseraltlem2  15649  iseraltlem3  15650  arisum2  15827  fallrisefac  15991  efival  16120  sinadd  16132  cosadd  16133  addsin  16138  subsin  16139  cosmul  16141  addcos  16142  subcos  16143  sin2t  16145  cos2t  16146  eirrlem  16172  sadadd2lem2  16420  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem15  16800  pythagtriplem17  16802  difsqpwdvds  16858  prmreclem6  16892  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  vdwlem3  16954  vdwlem8  16959  vdwlem9  16960  vdwlem10  16961  bl2in  24288  tcphcphlem1  25135  nmparlem  25139  cphipval2  25141  minveclem2  25326  minveclem4  25332  ovolunlem1  25398  uniioombllem5  25488  sineq0  26433  cosordlem  26439  tanarg  26528  heron  26748  dcubic1  26755  dquartlem1  26761  quart1lem  26765  sinasin  26799  asinsin  26802  cosasin  26814  efiatan2  26827  2efiatan  26828  atantan  26833  atantayl2  26848  leibpi  26852  log2cnv  26854  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  basellem5  26995  basellem6  26996  ppiub  27115  chtublem  27122  chtub  27123  bcctr  27186  pcbcctr  27187  bcmono  27188  bcmax  27189  bcp1ctr  27190  bposlem1  27195  bposlem2  27196  bposlem9  27203  gausslemma2d  27285  lgsquadlem1  27291  chebbnd1lem2  27381  dchrisumlem2  27401  dchrisum0lem1b  27426  mulog2sumlem1  27445  logdivbnd  27467  selberg3lem1  27468  pntrsumbnd2  27478  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg34r  27482  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntlemg  27509  pntlemr  27513  pntlemo  27518  ostth2lem1  27529  ostth3  27549  finsumvtxdg2ssteplem4  29476  nrt2irr  30402  nvge0  30602  minvecolem2  30804  minvecolem4  30809  cdj3lem1  32363  binom2subadd  32665  constrrtcc  33725  constraddcl  33752  sqsscirc1  33898  bcprod  35725  unbdqndv2lem1  36497  irrdifflemf  37313  mblfinlem3  37653  ftc1anclem7  37693  areacirclem1  37702  areacirc  37707  isbnd3  37778  lcmineqlem18  42034  aks6d1c7lem1  42168  sumcubes  42301  3cubeslem2  42673  3cubeslem3r  42675  pellfundex  42874  rmxluc  42925  rmyluc  42926  rmxdbl  42928  rmydbl  42929  jm2.24nn  42948  acongeq  42972  jm2.16nn0  42993  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  sqrtcval  43630  imo72b2lem0  44154  sineq0ALT  44926  sinmulcos  45863  stirlinglem5  46076  fourierdlem79  46183  fouriercnp  46224  hoicvrrex  46554  2leaddle2  47299  modmkpkne  47362  modmknepk  47363  lighneallem4a  47609  gpg5nbgrvtx13starlem2  48063  gpg3kgrtriexlem2  48075  gpg3kgrtriexlem5  48078  nnpw2pmod  48572  itschlc0yqe  48749  sinhpcosh  49729