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Theorem aks4d1p1p5 42076
Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p5.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p5.4 (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p5.5 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p5.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p5.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p5 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p5.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 aks4d1p1p5.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
3 aks4d1p1p5.3 . 2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4 3re 12346 . . . 4 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
6 4re 12350 . . . 4 4 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
81nnred 12281 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
95lep1d 12199 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ (3 + 1))
10 3p1e4 12411 . . . 4 (3 + 1) = 4
119, 10breqtrdi 5184 . . 3 (𝜑 → 3 ≤ 4)
12 aks4d1p1p5.4 . . 3 (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
135, 7, 8, 11, 12letrd 11418 . 2 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
14 aks4d1p1p5.5 . 2 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
15 aks4d1p1p5.6 . 2 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
16 aks4d1p1p5.7 . 2 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
17 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
19 2pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 2)
21 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
227, 8, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
2322biimpd 229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁))
2524simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ∈ ℝ)
29 4pos 12373 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 4)
3124simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ≤ 𝑥)
3227, 28, 25, 30, 31ltletrd 11421 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 𝑥)
33 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 2)
3633, 35ltned 11397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≠ 2)
3736necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 1)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ≠ 1)
3918, 20, 25, 32, 38relogbcld 41974 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
40 5nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 5 ∈ ℕ0)
4239, 41reexpcld 14203 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
43 1red 11262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
4442, 43readdcld 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4527, 43readdcld 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4627ltp1d 12198 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < (0 + 1))
4741nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 5 ∈ ℤ)
48 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
4948, 18sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
5027, 20gtned 11396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ≠ 0)
51 logb1 26812 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5249, 50, 38, 51syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 1) = 0)
53 1lt4 12442 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 4
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 < 4)
5543, 28, 25, 54, 31ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 < 𝑥)
56 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ ℤ)
5857uzidd 12894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
59 1rp 13038 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 ∈ ℝ+)
6125, 32elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
62 logblt 26827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6358, 60, 61, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6455, 63mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 1) < (2 logb 𝑥))
6552, 64eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < (2 logb 𝑥))
66 expgt0 14136 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb 𝑥) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑥)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
6739, 47, 65, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
6827, 42, 43, 67ltadd1dd 11874 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
6927, 45, 44, 46, 68lttrd 11422 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
7018, 20, 44, 69, 38relogbcld 41974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
7118, 70remulcld 11291 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
72 0red 11264 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (4[,]𝑁))
747, 8jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7675, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
7773, 76mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁))
7877simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ≤ 𝑥)
7972, 28, 25, 30, 78ltletrd 11421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 𝑥)
8018, 20, 25, 79, 38relogbcld 41974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
8180resqcld 14165 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℝ)
8271, 81readdcld 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) ∈ ℝ)
8382fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(4[,]𝑁)⟶ℝ)
8448a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85 3lt4 12440 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 < 4)
878, 33readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
888ltp1d 12198 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
897, 8, 87, 12, 88lelttrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 4 < (𝑁 + 1))
9086, 89jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1)))
915rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℝ*)
9287rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ*)
937rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 4 ∈ ℝ*)
94 elioo5 13444 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9690, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
975, 7, 8, 86, 12ltletrd 11421 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 < 𝑁)
9897, 88jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)))
998rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
100 elioo5 13444 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1))))
10191, 92, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1))))
10298, 101mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
103 iccssioo2 13460 . . . . . . . 8 ((4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)))
10496, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)))
105104resmptd 6058 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) = (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))))
106 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℂ)
10717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
10819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < 2)
109 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
111 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 ∈ ℝ)
1124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
113 3pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < 3)
115 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) → (3 < 𝑥𝑥 < (𝑁 + 1)))
116 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 < 𝑥𝑥 < (𝑁 + 1)) → 3 < 𝑥)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) → 3 < 𝑥)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 3 < 𝑥)
119111, 112, 110, 114, 118lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < 𝑥)
12037adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ≠ 1)
121107, 108, 110, 119, 120relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
12240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 5 ∈ ℕ0)
123121, 122reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
124 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
126111, 124readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
127111ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < (0 + 1))
128122nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 5 ∈ ℤ)
12934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 < 2)
130 2lt3 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 < 3
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 < 3)
132124, 107, 112, 129, 131lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 < 3)
133124, 112, 110, 132, 118lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 < 𝑥)
134110, 119elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
135 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℝ+)
137134, 136, 129jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)))
138 logbgt0b 26836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑥) ↔ 1 < 𝑥))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (0 < (2 logb 𝑥) ↔ 1 < 𝑥))
140133, 139mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < (2 logb 𝑥))
141121, 128, 140, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
142111, 123, 124, 141ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
143111, 126, 125, 127, 142lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
144124, 129ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 ≠ 2)
145144necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ≠ 1)
146107, 108, 125, 143, 145relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
147146recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
148106, 147mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℂ)
14948, 121sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
150149sqcld 14184 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℂ)
151148, 150addcld 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) ∈ ℂ)
152151fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ)
153 ioossre 13448 . . . . . . . . . 10 (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ
154153a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ)
15584, 152, 1543jca 1129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ))
156136relogcld 26665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘2) ∈ ℝ)
157125, 156remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ∈ ℝ)
15848, 123sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℂ)
159 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
160158, 159addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℂ)
161111, 108gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ≠ 0)
162106, 161logcld 26612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘2) ∈ ℂ)
163111, 143gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ≠ 0)
164 loggt0b 26674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
165135, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
16635, 165sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < (log‘2))
16726, 166ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
168167necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘2) ≠ 0)
170160, 162, 163, 169mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ≠ 0)
171124, 157, 170redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) ∈ ℝ)
172 5re 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 5 ∈ ℝ)
174 4nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℕ0
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 4 ∈ ℕ0)
176121, 175reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
177173, 176remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ℝ)
178110, 156remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
17948, 110sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
180111, 119gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ≠ 0)
181179, 162, 180, 169mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
182124, 178, 181redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
183177, 182remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) ∈ ℝ)
184183, 111readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0) ∈ ℝ)
185171, 184remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)) ∈ ℝ)
186107, 185remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) ∈ ℝ)
187156resqcld 14165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑2) ∈ ℝ)
18856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℤ)
189162, 169, 188expne0d 14192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑2) ≠ 0)
190107, 187, 189redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 / ((log‘2)↑2)) ∈ ℝ)
191134relogcld 26665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
192 2m1e1 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − 1) = 1
193 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
194192, 193eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) ∈ ℕ0
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 − 1) ∈ ℕ0)
196191, 195reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘𝑥)↑(2 − 1)) ∈ ℝ)
197196, 110, 180redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
198190, 197remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
199186, 198readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ∈ ℝ)
200199ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ∈ ℝ)
201 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(3(,)(𝑁 + 1))
202201fnmptf 6704 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
203200, 202syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
2045leidd 11829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ 3)
2058lep1d 12199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
2065, 8, 87, 13, 205letrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ (𝑁 + 1))
2075, 87, 204, 206aks4d1p1p6 42074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
208207fneq1d 6661 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
209203, 208mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
210209fndmd 6673 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
211 dvcn 25957 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
212155, 210, 211syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
213 rescncf 24923 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
214104, 213syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
215212, 214mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
216105, 215eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
217 cncfcdm 24924 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
21884, 216, 217syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
21983, 218mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
220174a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ∈ ℕ0)
22139, 220reexpcld 14203 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
222221fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(4[,]𝑁)⟶ℝ)
223104resmptd 6058 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) = (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)))
22448, 176sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℂ)
225224fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ)
22684, 225, 1543jca 1129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ))
2276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 4 ∈ ℝ)
228156, 175reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑4) ∈ ℝ)
229 4z 12651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℤ
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 4 ∈ ℤ)
231162, 169, 230expne0d 14192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑4) ≠ 0)
232227, 228, 231redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (4 / ((log‘2)↑4)) ∈ ℝ)
233 4m1e3 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 − 1) = 3
234 3nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
235233, 234eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 − 1) ∈ ℕ0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (4 − 1) ∈ ℕ0)
237191, 236reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘𝑥)↑(4 − 1)) ∈ ℝ)
238237, 110, 180redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
239232, 238remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
240239ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
241201fnmptf 6704 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
243113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 3)
244 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))
245 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)))
246 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (4 / ((log‘2)↑4)) = (4 / ((log‘2)↑4))
247 4nn 12349 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
2495, 87, 243, 206, 244, 245, 246, 248dvrelogpow2b 42069 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))))
250249fneq1d 6661 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
251242, 250mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
252251fndmd 6673 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
253 dvcn 25957 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
254226, 252, 253syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
255 rescncf 24923 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
256104, 255syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
257254, 256mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
258223, 257eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
259 cncfcdm 24924 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
26084, 258, 259syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
261222, 260mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
2627, 8, 11, 12aks4d1p1p6 42074 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
26329a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 4)
264 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))
265 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)))
2667, 8, 263, 12, 264, 265, 246, 248dvrelogpow2b 42069 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))))
267233a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → (4 − 1) = 3)
268267oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → ((log‘𝑥)↑(4 − 1)) = ((log‘𝑥)↑3))
269268oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥) = (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥))
270269oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) = ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥)))
271270mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥))))
272266, 271eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥))))
273 elioore 13417 . . . . 5 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
274273adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2756a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 4 ∈ ℝ)
276 eliooord 13446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) → (4 < 𝑥𝑥 < 𝑁))
277276simpld 494 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) → 4 < 𝑥)
278277adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 4 < 𝑥)
279275, 274, 278ltled 11409 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 4 ≤ 𝑥)
280274, 279aks4d1p1p7 42075 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ≤ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥)))
281 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 4 → (2 logb 𝑥) = (2 logb 4))
282281oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 4 → ((2 logb 𝑥)↑5) = ((2 logb 4)↑5))
283282oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 4 → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) = (((2 logb 4)↑5) + 1))
284283oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 4 → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)))
285284oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))))
286281oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 = 4 → ((2 logb 𝑥)↑2) = ((2 logb 4)↑2))
287285, 286oveq12d 7449 . . 3 (𝑥 = 4 → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) = ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)))
288281oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = 4 → ((2 logb 𝑥)↑4) = ((2 logb 4)↑4))
289 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (2 logb 𝑥) = (2 logb 𝑁))
290289oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
291290oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) = (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
292291oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
293292oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (2 · (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
29414a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
295294oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝐶) = (2 · (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
296295eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) = (2 · 𝐶))
297293, 296eqtrd 2777 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (2 · 𝐶))
298289oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
29915a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
300299eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
301298, 300eqtrd 2777 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑2) = 𝐷)
302297, 301oveq12d 7449 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) = ((2 · 𝐶) + 𝐷))
303289oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4))
30416a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
305304eqcomd 2743 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
306303, 305eqtrd 2777 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑4) = 𝐸)
307 sq2 14236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑2) = 4
308307oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4)
309308a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4))
310309eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 4) = (2 logb (2↑2)))
311135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
31256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
313 relogbexp 26823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1 ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑2)) = 2)
314311, 37, 312, 313syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb (2↑2)) = 2)
315310, 314eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 logb 4) = 2)
316315oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 4)↑5) = (2↑5))
317316oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 4)↑5) + 1) = ((2↑5) + 1))
318317oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) = (2 logb ((2↑5) + 1)))
31917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
320319leidd 11829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 2)
321315, 319eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 4) ∈ ℝ)
32240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
323321, 322reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 4)↑5) ∈ ℝ)
324316, 323eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑5) ∈ ℝ)
325324, 33readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑5) + 1) ∈ ℝ)
326322nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
32719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 2)
328327, 315breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < (2 logb 4))
329321, 326, 3283jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 4)))
330 expgt0 14136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 4)) → 0 < ((2 logb 4)↑5))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 4)↑5))
332331, 316breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (2↑5))
333324ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑5) < ((2↑5) + 1))
33426, 324, 325, 332, 333lttrd 11422 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((2↑5) + 1))
335 6nn0 12547 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ0
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 6 ∈ ℕ0)
337319, 336reexpcld 14203 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑6) ∈ ℝ)
338336nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 6 ∈ ℤ)
339 expgt0 14136 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑6))
340319, 338, 327, 339syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2↑6))
341324, 324readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) ∈ ℝ)
34233, 319, 35ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 2)
343319, 322, 342expge1d 14205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (2↑5))
34433, 324, 324, 343leadd2dd 11878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑5) + 1) ≤ ((2↑5) + (2↑5)))
345341leidd 11829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) ≤ ((2↑5) + (2↑5)))
346 df-6 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 = (5 + 1)
347346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 6 = (5 + 1))
348347oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑6) = (2↑(5 + 1)))
349 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
350349a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
351193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
352350, 351, 322expaddd 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑(5 + 1)) = ((2↑5) · (2↑1)))
353348, 352eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑6) = ((2↑5) · (2↑1)))
354350exp1d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑1) = 2)
355354oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑5) · (2↑1)) = ((2↑5) · 2))
356353, 355eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑6) = ((2↑5) · 2))
35748, 324sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑5) ∈ ℂ)
358357times2d 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2↑5) · 2) = ((2↑5) + (2↑5)))
359356, 358eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2↑6) = ((2↑5) + (2↑5)))
360359eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) = (2↑6))
361345, 360breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) ≤ (2↑6))
362325, 341, 337, 344, 361letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑5) + 1) ≤ (2↑6))
363312, 320, 325, 334, 337, 340, 362logblebd 41977 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb ((2↑5) + 1)) ≤ (2 logb (2↑6)))
364311, 37, 338relogbexpd 41975 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb (2↑6)) = 6)
365363, 364breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb ((2↑5) + 1)) ≤ 6)
366318, 365eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≤ 6)
367 6t2e12 12837 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
368 6cn 12357 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
369368a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 6 ∈ ℂ)
370 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
371193, 370decnncl 12753 . . . . . . . . . . . . 13 12 ∈ ℕ
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑12 ∈ ℕ)
373372nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑12 ∈ ℝ)
374373recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑12 ∈ ℂ)
37526, 327gtned 11396 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
376369, 350, 374, 375ldiv 12101 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((6 · 2) = 12 ↔ 6 = (12 / 2)))
377367, 376mpbii 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → 6 = (12 / 2))
378366, 377breqtrd 5169 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≤ (12 / 2))
379323, 33readdcld 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 4)↑5) + 1) ∈ ℝ)
38026, 33readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
38126ltp1d 12198 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
38226, 323, 33, 331ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 1) < (((2 logb 4)↑5) + 1))
38326, 380, 379, 381, 382lttrd 11422 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((2 logb 4)↑5) + 1))
384319, 327, 379, 383, 37relogbcld 41974 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
385384, 373, 311lemuldiv2d 13127 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ 12 ↔ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≤ (12 / 2)))
386378, 385mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ 12)
387315oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 logb 4)↑2) = (2↑2))
388387, 307eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 4)↑2) = 4)
389388oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (16 − ((2 logb 4)↑2)) = (16 − 4))
390 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
391 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 12 = 12
392 4cn 12351 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
393 4p2e6 12419 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
394392, 349, 393addcomli 11453 . . . . . . . . . 10 (2 + 4) = 6
395193, 390, 174, 391, 394decaddi 12793 . . . . . . . . 9 (12 + 4) = 16
396392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
397 6nn 12355 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
398193, 397decnncl 12753 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ ℕ
399398a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑16 ∈ ℕ)
400399nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑16 ∈ ℝ)
40148, 400sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑16 ∈ ℂ)
402374, 396, 401addlsub 11679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((12 + 4) = 16 ↔ 12 = (16 − 4)))
403395, 402mpbii 233 . . . . . . . 8 (𝜑12 = (16 − 4))
404389, 403eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (16 − ((2 logb 4)↑2)) = 12)
405404eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑12 = (16 − ((2 logb 4)↑2)))
406386, 405breqtrd 5169 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ (16 − ((2 logb 4)↑2)))
407319, 384remulcld 11291 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
408321resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ)
409 leaddsub 11739 . . . . . 6 (((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ ∧ 16 ∈ ℝ) → (((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ 16 ↔ (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ (16 − ((2 logb 4)↑2))))
410407, 408, 400, 409syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ 16 ↔ (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ (16 − ((2 logb 4)↑2))))
411406, 410mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ 16)
412315oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 4)↑4) = (2↑4))
413 2exp4 17122 . . . . . 6 (2↑4) = 16
414412, 413eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 4)↑4) = 16)
415414eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑16 = ((2 logb 4)↑4))
416411, 415breqtrd 5169 . . 3 (𝜑 → ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ ((2 logb 4)↑4))
4177, 8, 219, 261, 262, 272, 280, 287, 288, 302, 306, 416, 12dvle2 42073 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
4181, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 417aks4d1p1p4 42072 1 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cfl 13830  cceil 13831  cexp 14102  cprod 15939  cnccncf 24902   D cdv 25898  logclog 26596   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42077
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