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Theorem aks4d1p1p5 42057
Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p5.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p5.4 (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p5.5 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p5.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p5.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p5 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p5.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 aks4d1p1p5.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
3 aks4d1p1p5.3 . 2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4 3re 12344 . . . 4 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
6 4re 12348 . . . 4 4 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
81nnred 12279 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
95lep1d 12197 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ (3 + 1))
10 3p1e4 12409 . . . 4 (3 + 1) = 4
119, 10breqtrdi 5189 . . 3 (𝜑 → 3 ≤ 4)
12 aks4d1p1p5.4 . . 3 (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
135, 7, 8, 11, 12letrd 11416 . 2 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
14 aks4d1p1p5.5 . 2 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
15 aks4d1p1p5.6 . 2 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
16 aks4d1p1p5.7 . 2 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
17 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
19 2pos 12367 . . . . . . . . 9 0 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 2)
21 elicc2 13449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
227, 8, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
2322biimpd 229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁))
2524simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26 0red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ∈ ℝ)
29 4pos 12371 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 4)
3124simp2d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ≤ 𝑥)
3227, 28, 25, 30, 31ltletrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 𝑥)
33 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 2)
3633, 35ltned 11395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≠ 2)
3736necomd 2994 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 1)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ≠ 1)
3918, 20, 25, 32, 38relogbcld 41955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
40 5nn0 12544 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 5 ∈ ℕ0)
4239, 41reexpcld 14200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
43 1red 11260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
4442, 43readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4527, 43readdcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4627ltp1d 12196 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < (0 + 1))
4741nn0zd 12637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 5 ∈ ℤ)
48 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
4948, 18sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
5027, 20gtned 11394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ≠ 0)
51 logb1 26827 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5249, 50, 38, 51syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 1) = 0)
53 1lt4 12440 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 4
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 < 4)
5543, 28, 25, 54, 31ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 < 𝑥)
56 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ ℤ)
5857uzidd 12892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
59 1rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 1 ∈ ℝ+)
6125, 32elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
62 logblt 26842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6358, 60, 61, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6455, 63mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 1) < (2 logb 𝑥))
6552, 64eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < (2 logb 𝑥))
66 expgt0 14133 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb 𝑥) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑥)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
6739, 47, 65, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
6827, 42, 43, 67ltadd1dd 11872 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
6927, 45, 44, 46, 68lttrd 11420 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
7018, 20, 44, 69, 38relogbcld 41955 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
7118, 70remulcld 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
72 0red 11262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (4[,]𝑁))
747, 8jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7675, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁)))
7773, 76mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑥𝑥𝑁))
7877simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ≤ 𝑥)
7972, 28, 25, 30, 78ltletrd 11419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 0 < 𝑥)
8018, 20, 25, 79, 38relogbcld 41955 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
8180resqcld 14162 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℝ)
8271, 81readdcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) ∈ ℝ)
8382fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(4[,]𝑁)⟶ℝ)
8448a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85 3lt4 12438 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 < 4)
878, 33readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
888ltp1d 12196 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
897, 8, 87, 12, 88lelttrd 11417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 4 < (𝑁 + 1))
9086, 89jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1)))
915rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℝ*)
9287rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ*)
937rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 4 ∈ ℝ*)
94 elioo5 13441 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) → (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9690, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
975, 7, 8, 86, 12ltletrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 < 𝑁)
9897, 88jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)))
998rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
100 elioo5 13441 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1))))
10191, 92, 99, 100syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1))))
10298, 101mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
103 iccssioo2 13457 . . . . . . . 8 ((4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)))
10496, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)))
105104resmptd 6060 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) = (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))))
106 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℂ)
10717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℝ)
10819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < 2)
109 elioore 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
111 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 ∈ ℝ)
1124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 3 ∈ ℝ)
113 3pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < 3)
115 eliooord 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) → (3 < 𝑥𝑥 < (𝑁 + 1)))
116 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 < 𝑥𝑥 < (𝑁 + 1)) → 3 < 𝑥)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) → 3 < 𝑥)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 3 < 𝑥)
119111, 112, 110, 114, 118lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < 𝑥)
12037adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ≠ 1)
121107, 108, 110, 119, 120relogbcld 41955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
12240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 5 ∈ ℕ0)
123121, 122reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
124 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
126111, 124readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
127111ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < (0 + 1))
128122nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 5 ∈ ℤ)
12934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 < 2)
130 2lt3 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 < 3
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 < 3)
132124, 107, 112, 129, 131lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 < 3)
133124, 112, 110, 132, 118lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 < 𝑥)
134110, 119elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
135 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℝ+)
137134, 136, 129jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)))
138 logbgt0b 26851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) → (0 < (2 logb 𝑥) ↔ 1 < 𝑥))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (0 < (2 logb 𝑥) ↔ 1 < 𝑥))
140133, 139mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < (2 logb 𝑥))
141121, 128, 140, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
142111, 123, 124, 141ltadd1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
143111, 126, 125, 127, 142lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
144124, 129ltned 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 ≠ 2)
145144necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ≠ 1)
146107, 108, 125, 143, 145relogbcld 41955 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
147146recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
148106, 147mulcld 11279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℂ)
14948, 121sselid 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
150149sqcld 14181 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℂ)
151148, 150addcld 11278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) ∈ ℂ)
152151fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ)
153 ioossre 13445 . . . . . . . . . 10 (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ
154153a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ)
15584, 152, 1543jca 1127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ))
156136relogcld 26680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘2) ∈ ℝ)
157125, 156remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ∈ ℝ)
15848, 123sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℂ)
159 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
160158, 159addcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℂ)
161111, 108gtned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ≠ 0)
162106, 161logcld 26627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘2) ∈ ℂ)
163111, 143gtned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ≠ 0)
164 loggt0b 26689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
165135, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
16635, 165sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < (log‘2))
16726, 166ltned 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
168167necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘2) ≠ 0)
170160, 162, 163, 169mulne0d 11913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ≠ 0)
171124, 157, 170redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) ∈ ℝ)
172 5re 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 5 ∈ ℝ)
174 4nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℕ0
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 4 ∈ ℕ0)
176121, 175reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
177173, 176remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ℝ)
178110, 156remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
17948, 110sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
180111, 119gtned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 𝑥 ≠ 0)
181179, 162, 180, 169mulne0d 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
182124, 178, 181redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
183177, 182remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) ∈ ℝ)
184183, 111readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0) ∈ ℝ)
185171, 184remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)) ∈ ℝ)
186107, 185remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) ∈ ℝ)
187156resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑2) ∈ ℝ)
18856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 2 ∈ ℤ)
189162, 169, 188expne0d 14189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑2) ≠ 0)
190107, 187, 189redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 / ((log‘2)↑2)) ∈ ℝ)
191134relogcld 26680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
192 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − 1) = 1
193 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
194192, 193eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) ∈ ℕ0
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (2 − 1) ∈ ℕ0)
196191, 195reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘𝑥)↑(2 − 1)) ∈ ℝ)
197196, 110, 180redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
198190, 197remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
199186, 198readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ∈ ℝ)
200199ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ∈ ℝ)
201 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(3(,)(𝑁 + 1))
202201fnmptf 6705 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
203200, 202syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
2045leidd 11827 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ 3)
2058lep1d 12197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
2065, 8, 87, 13, 205letrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ (𝑁 + 1))
2075, 87, 204, 206aks4d1p1p6 42055 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
208207fneq1d 6662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
209203, 208mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
210209fndmd 6674 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
211 dvcn 25972 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
212155, 210, 211syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
213 rescncf 24937 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
214104, 213syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
215212, 214mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
216105, 215eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
217 cncfcdm 24938 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
21884, 216, 217syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
21983, 218mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
220174a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → 4 ∈ ℕ0)
22139, 220reexpcld 14200 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4[,]𝑁)) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
222221fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(4[,]𝑁)⟶ℝ)
223104resmptd 6060 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) = (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)))
22448, 176sselid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℂ)
225224fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ)
22684, 225, 1543jca 1127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ))
2276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 4 ∈ ℝ)
228156, 175reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑4) ∈ ℝ)
229 4z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℤ
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → 4 ∈ ℤ)
231162, 169, 230expne0d 14189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘2)↑4) ≠ 0)
232227, 228, 231redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (4 / ((log‘2)↑4)) ∈ ℝ)
233 4m1e3 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 − 1) = 3
234 3nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ0
235233, 234eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 − 1) ∈ ℕ0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (4 − 1) ∈ ℕ0)
237191, 236reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((log‘𝑥)↑(4 − 1)) ∈ ℝ)
238237, 110, 180redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
239232, 238remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) → ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
240239ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
241201fnmptf 6705 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
243113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 3)
244 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))
245 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)))
246 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (4 / ((log‘2)↑4)) = (4 / ((log‘2)↑4))
247 4nn 12347 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
2495, 87, 243, 206, 244, 245, 246, 248dvrelogpow2b 42050 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))))
250249fneq1d 6662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
251242, 250mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
252251fndmd 6674 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
253 dvcn 25972 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))⟶ℂ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
254226, 252, 253syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ))
255 rescncf 24937 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) ⊆ (3(,)(𝑁 + 1)) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
256104, 255syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)))
257254, 256mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ↾ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
258223, 257eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ))
259 cncfcdm 24938 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
26084, 258, 259syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)):(4[,]𝑁)⟶ℝ))
261222, 260mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
2627, 8, 11, 12aks4d1p1p6 42055 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
26329a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 4)
264 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4)) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))
265 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)))
2667, 8, 263, 12, 264, 265, 246, 248dvrelogpow2b 42050 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))))
267233a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → (4 − 1) = 3)
268267oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → ((log‘𝑥)↑(4 − 1)) = ((log‘𝑥)↑3))
269268oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥) = (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥))
270269oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥)) = ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥)))
271270mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑(4 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥))))
272266, 271eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb 𝑥)↑4))) = (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥))))
273 elioore 13414 . . . . 5 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
274273adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2756a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 4 ∈ ℝ)
276 eliooord 13443 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) → (4 < 𝑥𝑥 < 𝑁))
277276simpld 494 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (4(,)𝑁) → 4 < 𝑥)
278277adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 4 < 𝑥)
279275, 274, 278ltled 11407 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → 4 ≤ 𝑥)
280274, 279aks4d1p1p7 42056 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (4(,)𝑁)) → ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) ≤ ((4 / ((log‘2)↑4)) · (((log‘𝑥)↑3) / 𝑥)))
281 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 4 → (2 logb 𝑥) = (2 logb 4))
282281oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 4 → ((2 logb 𝑥)↑5) = ((2 logb 4)↑5))
283282oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 4 → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) = (((2 logb 4)↑5) + 1))
284283oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 4 → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)))
285284oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))))
286281oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 = 4 → ((2 logb 𝑥)↑2) = ((2 logb 4)↑2))
287285, 286oveq12d 7449 . . 3 (𝑥 = 4 → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) = ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)))
288281oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = 4 → ((2 logb 𝑥)↑4) = ((2 logb 4)↑4))
289 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (2 logb 𝑥) = (2 logb 𝑁))
290289oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
291290oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) = (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
292291oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
293292oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (2 · (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
29414a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
295294oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝐶) = (2 · (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
296295eqcomd 2741 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) = (2 · 𝐶))
297293, 296eqtrd 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (2 · 𝐶))
298289oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
29915a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
300299eqcomd 2741 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
301298, 300eqtrd 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑2) = 𝐷)
302297, 301oveq12d 7449 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)) = ((2 · 𝐶) + 𝐷))
303289oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4))
30416a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
305304eqcomd 2741 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
306303, 305eqtrd 2775 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((2 logb 𝑥)↑4) = 𝐸)
307 sq2 14233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑2) = 4
308307oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4)
309308a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4))
310309eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 4) = (2 logb (2↑2)))
311135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
31256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
313 relogbexp 26838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1 ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑2)) = 2)
314311, 37, 312, 313syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb (2↑2)) = 2)
315310, 314eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 logb 4) = 2)
316315oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 4)↑5) = (2↑5))
317316oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 4)↑5) + 1) = ((2↑5) + 1))
318317oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) = (2 logb ((2↑5) + 1)))
31917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
320319leidd 11827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 2)
321315, 319eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 4) ∈ ℝ)
32240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
323321, 322reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 4)↑5) ∈ ℝ)
324316, 323eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑5) ∈ ℝ)
325324, 33readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑5) + 1) ∈ ℝ)
326322nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
32719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 2)
328327, 315breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < (2 logb 4))
329321, 326, 3283jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 4)))
330 expgt0 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 4)) → 0 < ((2 logb 4)↑5))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 4)↑5))
332331, 316breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (2↑5))
333324ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑5) < ((2↑5) + 1))
33426, 324, 325, 332, 333lttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((2↑5) + 1))
335 6nn0 12545 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ0
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 6 ∈ ℕ0)
337319, 336reexpcld 14200 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑6) ∈ ℝ)
338336nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 6 ∈ ℤ)
339 expgt0 14133 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑6))
340319, 338, 327, 339syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2↑6))
341324, 324readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) ∈ ℝ)
34233, 319, 35ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 2)
343319, 322, 342expge1d 14202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (2↑5))
34433, 324, 324, 343leadd2dd 11876 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑5) + 1) ≤ ((2↑5) + (2↑5)))
345341leidd 11827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) ≤ ((2↑5) + (2↑5)))
346 df-6 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 = (5 + 1)
347346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 6 = (5 + 1))
348347oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑6) = (2↑(5 + 1)))
349 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
350349a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
351193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
352350, 351, 322expaddd 14185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑(5 + 1)) = ((2↑5) · (2↑1)))
353348, 352eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑6) = ((2↑5) · (2↑1)))
354350exp1d 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑1) = 2)
355354oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑5) · (2↑1)) = ((2↑5) · 2))
356353, 355eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑6) = ((2↑5) · 2))
35748, 324sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑5) ∈ ℂ)
358357times2d 12508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2↑5) · 2) = ((2↑5) + (2↑5)))
359356, 358eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2↑6) = ((2↑5) + (2↑5)))
360359eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) = (2↑6))
361345, 360breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑5) + (2↑5)) ≤ (2↑6))
362325, 341, 337, 344, 361letrd 11416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑5) + 1) ≤ (2↑6))
363312, 320, 325, 334, 337, 340, 362logblebd 41958 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb ((2↑5) + 1)) ≤ (2 logb (2↑6)))
364311, 37, 338relogbexpd 41956 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb (2↑6)) = 6)
365363, 364breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb ((2↑5) + 1)) ≤ 6)
366318, 365eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≤ 6)
367 6t2e12 12835 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
368 6cn 12355 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
369368a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 6 ∈ ℂ)
370 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
371193, 370decnncl 12751 . . . . . . . . . . . . 13 12 ∈ ℕ
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑12 ∈ ℕ)
373372nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑12 ∈ ℝ)
374373recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑12 ∈ ℂ)
37526, 327gtned 11394 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
376369, 350, 374, 375ldiv 12099 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((6 · 2) = 12 ↔ 6 = (12 / 2)))
377367, 376mpbii 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → 6 = (12 / 2))
378366, 377breqtrd 5174 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≤ (12 / 2))
379323, 33readdcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 logb 4)↑5) + 1) ∈ ℝ)
38026, 33readdcld 11288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
38126ltp1d 12196 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
38226, 323, 33, 331ltadd1dd 11872 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 1) < (((2 logb 4)↑5) + 1))
38326, 380, 379, 381, 382lttrd 11420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((2 logb 4)↑5) + 1))
384319, 327, 379, 383, 37relogbcld 41955 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
385384, 373, 311lemuldiv2d 13125 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ 12 ↔ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≤ (12 / 2)))
386378, 385mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ 12)
387315oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 logb 4)↑2) = (2↑2))
388387, 307eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 4)↑2) = 4)
389388oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (16 − ((2 logb 4)↑2)) = (16 − 4))
390 2nn0 12541 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
391 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 12 = 12
392 4cn 12349 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
393 4p2e6 12417 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
394392, 349, 393addcomli 11451 . . . . . . . . . 10 (2 + 4) = 6
395193, 390, 174, 391, 394decaddi 12791 . . . . . . . . 9 (12 + 4) = 16
396392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
397 6nn 12353 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
398193, 397decnncl 12751 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ ℕ
399398a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑16 ∈ ℕ)
400399nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑16 ∈ ℝ)
40148, 400sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (𝜑16 ∈ ℂ)
402374, 396, 401addlsub 11677 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((12 + 4) = 16 ↔ 12 = (16 − 4)))
403395, 402mpbii 233 . . . . . . . 8 (𝜑12 = (16 − 4))
404389, 403eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (16 − ((2 logb 4)↑2)) = 12)
405404eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑12 = (16 − ((2 logb 4)↑2)))
406386, 405breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ (16 − ((2 logb 4)↑2)))
407319, 384remulcld 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
408321resqcld 14162 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ)
409 leaddsub 11737 . . . . . 6 (((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ ∧ 16 ∈ ℝ) → (((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ 16 ↔ (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ (16 − ((2 logb 4)↑2))))
410407, 408, 400, 409syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ 16 ↔ (2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≤ (16 − ((2 logb 4)↑2))))
411406, 410mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ 16)
412315oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 4)↑4) = (2↑4))
413 2exp4 17119 . . . . . 6 (2↑4) = 16
414412, 413eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 4)↑4) = 16)
415414eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑16 = ((2 logb 4)↑4))
416411, 415breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → ((2 · (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≤ ((2 logb 4)↑4))
4177, 8, 219, 261, 262, 272, 280, 287, 288, 302, 306, 416, 12dvle2 42054 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
4181, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 417aks4d1p1p4 42053 1 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  0cn0 12524  cz 12611  cdc 12731  cuz 12876  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  cfl 13827  cceil 13828  cexp 14099  cprod 15936  cnccncf 24916   D cdv 25913  logclog 26611   logb clogb 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42058
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