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Theorem aks4d1p1p5 41601
Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p5.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aks4d1p1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
aks4d1p1p5.3 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p5.4 (πœ‘ β†’ 4 ≀ 𝑁)
aks4d1p1p5.5 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p5.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p5.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝐸(π‘˜)
Proof of Theorem aks4d1p1p5
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p5.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 aks4d1p1p5.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
3 aks4d1p1p5.3 . 2 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
4 3re 12320 . . . 4 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
6 4re 12324 . . . 4 4 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ)
81nnred 12255 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
95lep1d 12173 . . . 4 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (3 + 1))
10 3p1e4 12385 . . . 4 (3 + 1) = 4
119, 10breqtrdi 5184 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 4)
12 aks4d1p1p5.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 4 ≀ 𝑁)
135, 7, 8, 11, 12letrd 11399 . 2 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
14 aks4d1p1p5.5 . 2 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
15 aks4d1p1p5.6 . 2 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
16 aks4d1p1p5.7 . 2 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
17 2re 12314 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ ℝ)
19 2pos 12343 . . . . . . . . 9 0 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < 2)
21 elicc2 13419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
227, 8, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
2322biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
2423imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁))
2524simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 0red 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ∈ ℝ)
29 4pos 12347 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < 4)
3124simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
3227, 28, 25, 30, 31ltletrd 11402 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < π‘₯)
33 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
34 1lt2 12411 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
3633, 35ltned 11378 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
3736necomd 2986 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 β‰  1)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 β‰  1)
3918, 20, 25, 32, 38relogbcld 41498 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
40 5nn0 12520 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ β„•0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 5 ∈ β„•0)
4239, 41reexpcld 14157 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ ℝ)
43 1red 11243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ)
4442, 43readdcld 11271 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4527, 43readdcld 11271 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
4627ltp1d 12172 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (0 + 1))
4741nn0zd 12612 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 5 ∈ β„€)
48 ax-resscn 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
4948, 18sselid 3970 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ β„‚)
5027, 20gtned 11377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 β‰  0)
51 logb1 26717 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 2 β‰  1) β†’ (2 logb 1) = 0)
5249, 50, 38, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb 1) = 0)
53 1lt4 12416 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 4
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 < 4)
5543, 28, 25, 54, 31ltletrd 11402 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 < π‘₯)
56 2z 12622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„€
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ β„€)
5857uzidd 12866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
59 1rp 13008 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ+)
6125, 32elrpd 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
62 logblt 26732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 < π‘₯ ↔ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯)))
6358, 60, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (1 < π‘₯ ↔ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯)))
6455, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯))
6552, 64eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (2 logb π‘₯))
66 expgt0 14090 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb π‘₯) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb π‘₯)) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
6739, 47, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
6827, 42, 43, 67ltadd1dd 11853 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (0 + 1) < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
6927, 45, 44, 46, 68lttrd 11403 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
7018, 20, 44, 69, 38relogbcld 41498 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
7118, 70remulcld 11272 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
72 0red 11245 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
73 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁))
747, 8jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7574adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7675, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
7773, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁))
7877simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
7972, 28, 25, 30, 78ltletrd 11402 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < π‘₯)
8018, 20, 25, 79, 38relogbcld 41498 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
8180resqcld 14119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) ∈ ℝ)
8271, 81readdcld 11271 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) ∈ ℝ)
8382fmpttd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„)
8448a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85 3lt4 12414 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 < 4)
878, 33readdcld 11271 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
888ltp1d 12172 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
897, 8, 87, 12, 88lelttrd 11400 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 < (𝑁 + 1))
9086, 89jca 510 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1)))
915rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ*)
9287rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ*)
937rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ*)
94 elioo5 13411 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) β†’ (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9690, 95mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
975, 7, 8, 86, 12ltletrd 11402 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 < 𝑁)
9897, 88jca 510 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
998rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
100 elioo5 13411 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1))))
10191, 92, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1))))
10298, 101mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
103 iccssioo2 13427 . . . . . . . 8 ((4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)))
10496, 102, 103syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)))
105104resmptd 6039 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) = (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))))
106 2cnd 12318 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ β„‚)
10717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ ℝ)
10819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < 2)
109 elioore 13384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111 0red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
1124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 3 ∈ ℝ)
113 3pos 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < 3)
115 eliooord 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ (3 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑁 + 1)))
116 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑁 + 1)) β†’ 3 < π‘₯)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ 3 < π‘₯)
118117adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 3 < π‘₯)
119111, 112, 110, 114, 118lttrd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < π‘₯)
12037adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  1)
121107, 108, 110, 119, 120relogbcld 41498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
12240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ β„•0)
123121, 122reexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ ℝ)
124 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ ℝ)
126111, 124readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
127111ltp1d 12172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (0 + 1))
128122nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ β„€)
12934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < 2)
130 2lt3 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 < 3
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 < 3)
132124, 107, 112, 129, 131lttrd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < 3)
133124, 112, 110, 132, 118lttrd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < π‘₯)
134110, 119elrpd 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
135 2rp 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ ℝ+)
137134, 136, 129jca32 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)))
138 logbgt0b 26741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) β†’ (0 < (2 logb π‘₯) ↔ 1 < π‘₯))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 < (2 logb π‘₯) ↔ 1 < π‘₯))
140133, 139mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (2 logb π‘₯))
141121, 128, 140, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
142111, 123, 124, 141ltadd1dd 11853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 + 1) < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
143111, 126, 125, 127, 142lttrd 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
144124, 129ltned 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 β‰  2)
145144necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  1)
146107, 108, 125, 143, 145relogbcld 41498 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
147146recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ β„‚)
148106, 147mulcld 11262 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) ∈ β„‚)
14948, 121sselid 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ β„‚)
150149sqcld 14138 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
151148, 150addcld 11261 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) ∈ β„‚)
152151fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
153 ioossre 13415 . . . . . . . . . 10 (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ
154153a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ)
15584, 152, 1543jca 1125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ))
156136relogcld 26573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
157125, 156remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2)) ∈ ℝ)
15848, 123sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ β„‚)
159 1cnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
160158, 159addcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ β„‚)
161111, 108gtned 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  0)
162106, 161logcld 26520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) ∈ β„‚)
163111, 143gtned 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) β‰  0)
164 loggt0b 26582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ β†’ (0 < (logβ€˜2) ↔ 1 < 2))
165135, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 < (logβ€˜2) ↔ 1 < 2)
16635, 165sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 < (logβ€˜2))
16726, 166ltned 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 β‰  (logβ€˜2))
168167necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) β‰  0)
169168adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) β‰  0)
170160, 162, 163, 169mulne0d 11894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2)) β‰  0)
171124, 157, 170redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) ∈ ℝ)
172 5re 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ ℝ)
174 4nn0 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ β„•0
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ β„•0)
176121, 175reexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ ℝ)
177173, 176remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ℝ)
178110, 156remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ Β· (logβ€˜2)) ∈ ℝ)
17948, 110sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
180111, 119gtned 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ β‰  0)
181179, 162, 180, 169mulne0d 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ Β· (logβ€˜2)) β‰  0)
182124, 178, 181redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2))) ∈ ℝ)
183177, 182remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) ∈ ℝ)
184183, 111readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0) ∈ ℝ)
185171, 184remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0)) ∈ ℝ)
186107, 185remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) ∈ ℝ)
187156resqcld 14119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑2) ∈ ℝ)
18856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ β„€)
189162, 169, 188expne0d 14146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑2) β‰  0)
190107, 187, 189redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 / ((logβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
191134relogcld 26573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
192 2m1e1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 βˆ’ 1) = 1
193 1nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„•0
194192, 193eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 βˆ’ 1) ∈ β„•0
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
196191, 195reexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
197196, 110, 180redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯) ∈ ℝ)
198190, 197remulcld 11272 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
199186, 198readdcld 11271 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ)
200199ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ)
201 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(3(,)(𝑁 + 1))
202201fnmptf 6685 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
203200, 202syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
2045leidd 11808 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 3)
2058lep1d 12173 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
2065, 8, 87, 13, 205letrd 11399 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
2075, 87, 204, 206aks4d1p1p6 41599 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))))
208207fneq1d 6641 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
209203, 208mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
210209fndmd 6653 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
211 dvcn 25867 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
212155, 210, 211syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
213 rescncf 24833 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
214104, 213syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
215212, 214mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
216105, 215eqeltrrd 2826 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
217 cncfcdm 24834 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
21884, 216, 217syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
21983, 218mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
220174a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ∈ β„•0)
22139, 220reexpcld 14157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ ℝ)
222221fmpttd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„)
223104resmptd 6039 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) = (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)))
22448, 176sselid 3970 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ β„‚)
225224fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
22684, 225, 1543jca 1125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ))
2276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ ℝ)
228156, 175reexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑4) ∈ ℝ)
229 4z 12624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ β„€
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ β„€)
231162, 169, 230expne0d 14146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑4) β‰  0)
232227, 228, 231redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4 / ((logβ€˜2)↑4)) ∈ ℝ)
233 4m1e3 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 βˆ’ 1) = 3
234 3nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ β„•0
235233, 234eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 βˆ’ 1) ∈ β„•0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
237191, 236reexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
238237, 110, 180redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯) ∈ ℝ)
239232, 238remulcld 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
240239ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
241201fnmptf 6685 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
243113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
244 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))
245 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)))
246 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (4 / ((logβ€˜2)↑4)) = (4 / ((logβ€˜2)↑4))
247 4nn 12323 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„•
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„•)
2495, 87, 243, 206, 244, 245, 246, 248dvrelogpow2b 41594 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))))
250249fneq1d 6641 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
251242, 250mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
252251fndmd 6653 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
253 dvcn 25867 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
254226, 252, 253syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
255 rescncf 24833 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
256104, 255syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
257254, 256mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
258223, 257eqeltrrd 2826 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
259 cncfcdm 24834 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
26084, 258, 259syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
261222, 260mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
2627, 8, 11, 12aks4d1p1p6 41599 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))))
26329a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 4)
264 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))
265 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)))
2667, 8, 263, 12, 264, 265, 246, 248dvrelogpow2b 41594 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))))
267233a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ (4 βˆ’ 1) = 3)
268267oveq2d 7431 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) = ((logβ€˜π‘₯)↑3))
269268oveq1d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯) = (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))
270269oveq2d 7431 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) = ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯)))
271270mpteq2dva 5243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))))
272266, 271eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))))
273 elioore 13384 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
274273adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2756a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 ∈ ℝ)
276 eliooord 13413 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ (4 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑁))
277276simpld 493 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ 4 < π‘₯)
278277adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 < π‘₯)
279275, 274, 278ltled 11390 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
280274, 279aks4d1p1p7 41600 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ≀ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯)))
281 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 4 β†’ (2 logb π‘₯) = (2 logb 4))
282281oveq1d 7430 . . . . . . 7 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) = ((2 logb 4)↑5))
283282oveq1d 7430 . . . . . 6 (π‘₯ = 4 β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) = (((2 logb 4)↑5) + 1))
284283oveq2d 7431 . . . . 5 (π‘₯ = 4 β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)))
285284oveq2d 7431 . . . 4 (π‘₯ = 4 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))))
286281oveq1d 7430 . . . 4 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = ((2 logb 4)↑2))
287285, 286oveq12d 7433 . . 3 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) = ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)))
288281oveq1d 7430 . . 3 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = ((2 logb 4)↑4))
289 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 logb π‘₯) = (2 logb 𝑁))
290289oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
291290oveq1d 7430 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) = (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
292291oveq2d 7431 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
293292oveq2d 7431 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
29414a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
295294oveq2d 7431 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· 𝐢) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
296295eqcomd 2731 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) = (2 Β· 𝐢))
297293, 296eqtrd 2765 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· 𝐢))
298289oveq1d 7430 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
29915a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
300299eqcomd 2731 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
301298, 300eqtrd 2765 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = 𝐷)
302297, 301oveq12d 7433 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) = ((2 Β· 𝐢) + 𝐷))
303289oveq1d 7430 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4))
30416a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
305304eqcomd 2731 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
306303, 305eqtrd 2765 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = 𝐸)
307 sq2 14190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑2) = 4
308307oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4)
309308a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4))
310309eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) = (2 logb (2↑2)))
311135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
31256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
313 relogbexp 26728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 β‰  1 ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (2 logb (2↑2)) = 2)
314311, 37, 312, 313syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑2)) = 2)
315310, 314eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) = 2)
316315oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑5) = (2↑5))
317316oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((2 logb 4)↑5) + 1) = ((2↑5) + 1))
318317oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) = (2 logb ((2↑5) + 1)))
31917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
320319leidd 11808 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 2)
321315, 319eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) ∈ ℝ)
32240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„•0)
323321, 322reexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑5) ∈ ℝ)
324316, 323eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2↑5) ∈ ℝ)
325324, 33readdcld 11271 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ∈ ℝ)
326322nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„€)
32719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
328327, 315breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < (2 logb 4))
329321, 326, 3283jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb 4)))
330 expgt0 14090 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb 4)) β†’ 0 < ((2 logb 4)↑5))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((2 logb 4)↑5))
332331, 316breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (2↑5))
333324ltp1d 12172 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2↑5) < ((2↑5) + 1))
33426, 324, 325, 332, 333lttrd 11403 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < ((2↑5) + 1))
335 6nn0 12521 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ β„•0
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„•0)
337319, 336reexpcld 14157 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2↑6) ∈ ℝ)
338336nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„€)
339 expgt0 14090 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„€ ∧ 0 < 2) β†’ 0 < (2↑6))
340319, 338, 327, 339syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (2↑6))
341324, 324readdcld 11271 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ∈ ℝ)
34233, 319, 35ltled 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 2)
343319, 322, 342expge1d 14159 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2↑5))
34433, 324, 324, 343leadd2dd 11857 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ≀ ((2↑5) + (2↑5)))
345341leidd 11808 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ≀ ((2↑5) + (2↑5)))
346 df-6 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 = (5 + 1)
347346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 6 = (5 + 1))
348347oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑6) = (2↑(5 + 1)))
349 2cn 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
350349a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
351193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
352350, 351, 322expaddd 14142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑(5 + 1)) = ((2↑5) Β· (2↑1)))
353348, 352eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) Β· (2↑1)))
354350exp1d 14135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑1) = 2)
355354oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((2↑5) Β· (2↑1)) = ((2↑5) Β· 2))
356353, 355eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) Β· 2))
35748, 324sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (2↑5) ∈ β„‚)
358357times2d 12484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((2↑5) Β· 2) = ((2↑5) + (2↑5)))
359356, 358eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) + (2↑5)))
360359eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) = (2↑6))
361345, 360breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ≀ (2↑6))
362325, 341, 337, 344, 361letrd 11399 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ≀ (2↑6))
363312, 320, 325, 334, 337, 340, 362logblebd 41501 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 logb ((2↑5) + 1)) ≀ (2 logb (2↑6)))
364311, 37, 338relogbexpd 41499 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑6)) = 6)
365363, 364breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 logb ((2↑5) + 1)) ≀ 6)
366318, 365eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ 6)
367 6t2e12 12809 . . . . . . . . 9 (6 Β· 2) = 12
368 6cn 12331 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ β„‚
369368a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„‚)
370 2nn 12313 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
371193, 370decnncl 12725 . . . . . . . . . . . . 13 12 ∈ β„•
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 12 ∈ β„•)
373372nnred 12255 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 12 ∈ ℝ)
374373recnd 11270 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 12 ∈ β„‚)
37526, 327gtned 11377 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
376369, 350, 374, 375ldiv 12076 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((6 Β· 2) = 12 ↔ 6 = (12 / 2)))
377367, 376mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 6 = (12 / 2))
378366, 377breqtrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ (12 / 2))
379323, 33readdcld 11271 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((2 logb 4)↑5) + 1) ∈ ℝ)
38026, 33readdcld 11271 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
38126ltp1d 12172 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (0 + 1))
38226, 323, 33, 331ltadd1dd 11853 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + 1) < (((2 logb 4)↑5) + 1))
38326, 380, 379, 381, 382lttrd 11403 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (((2 logb 4)↑5) + 1))
384319, 327, 379, 383, 37relogbcld 41498 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
385384, 373, 311lemuldiv2d 13096 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ 12 ↔ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ (12 / 2)))
386378, 385mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ 12)
387315oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) = (2↑2))
388387, 307eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) = 4)
389388oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)) = (16 βˆ’ 4))
390 2nn0 12517 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
391 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 12 = 12
392 4cn 12325 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
393 4p2e6 12393 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
394392, 349, 393addcomli 11434 . . . . . . . . . 10 (2 + 4) = 6
395193, 390, 174, 391, 394decaddi 12765 . . . . . . . . 9 (12 + 4) = 16
396392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
397 6nn 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ β„•
398193, 397decnncl 12725 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ β„•
399398a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 16 ∈ β„•)
400399nnred 12255 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 16 ∈ ℝ)
40148, 400sselid 3970 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 16 ∈ β„‚)
402374, 396, 401addlsub 11658 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((12 + 4) = 16 ↔ 12 = (16 βˆ’ 4)))
403395, 402mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 12 = (16 βˆ’ 4))
404389, 403eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)) = 12)
405404eqcomd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 12 = (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)))
406386, 405breqtrd 5169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)))
407319, 384remulcld 11272 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
408321resqcld 14119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ)
409 leaddsub 11718 . . . . . 6 (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ ∧ 16 ∈ ℝ) β†’ (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16 ↔ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2))))
410407, 408, 400, 409syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16 ↔ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2))))
411406, 410mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16)
412315oveq1d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑4) = (2↑4))
413 2exp4 17051 . . . . . 6 (2↑4) = 16
414412, 413eqtrdi 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑4) = 16)
415414eqcomd 2731 . . . 4 (πœ‘ β†’ 16 = ((2 logb 4)↑4))
416411, 415breqtrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ ((2 logb 4)↑4))
4177, 8, 219, 261, 262, 272, 280, 287, 288, 302, 306, 416, 12dvle2 41598 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) + 𝐷) ≀ 𝐸)
4181, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 417aks4d1p1p4 41597 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  cdc 12705  β„€β‰₯cuz 12850  β„+crp 13004  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  βŒŠcfl 13785  βŒˆcceil 13786  β†‘cexp 14056  βˆcprod 15879  β€“cnβ†’ccncf 24812   D cdv 25808  logclog 26504   logb clogb 26712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-ceil 13788  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-prod 15880  df-ef 16041  df-e 16042  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-cxp 26507  df-logb 26713
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  41602
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