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Theorem aks4d1p1p5 41457
Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p5.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aks4d1p1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
aks4d1p1p5.3 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p5.4 (πœ‘ β†’ 4 ≀ 𝑁)
aks4d1p1p5.5 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p5.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p5.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝐸(π‘˜)
Proof of Theorem aks4d1p1p5
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p5.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 aks4d1p1p5.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
3 aks4d1p1p5.3 . 2 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
4 3re 12296 . . . 4 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
6 4re 12300 . . . 4 4 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ)
81nnred 12231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
95lep1d 12149 . . . 4 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (3 + 1))
10 3p1e4 12361 . . . 4 (3 + 1) = 4
119, 10breqtrdi 5182 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 4)
12 aks4d1p1p5.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 4 ≀ 𝑁)
135, 7, 8, 11, 12letrd 11375 . 2 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
14 aks4d1p1p5.5 . 2 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
15 aks4d1p1p5.6 . 2 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
16 aks4d1p1p5.7 . 2 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
17 2re 12290 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ ℝ)
19 2pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < 2)
21 elicc2 13395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
227, 8, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
2322biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁))
2524simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ∈ ℝ)
29 4pos 12323 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < 4)
3124simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
3227, 28, 25, 30, 31ltletrd 11378 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < π‘₯)
33 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
34 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
3633, 35ltned 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
3736necomd 2990 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 β‰  1)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 β‰  1)
3918, 20, 25, 32, 38relogbcld 41354 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
40 5nn0 12496 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ β„•0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 5 ∈ β„•0)
4239, 41reexpcld 14133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ ℝ)
43 1red 11219 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ)
4442, 43readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4527, 43readdcld 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
4627ltp1d 12148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (0 + 1))
4741nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 5 ∈ β„€)
48 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
4948, 18sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ β„‚)
5027, 20gtned 11353 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 β‰  0)
51 logb1 26656 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 2 β‰  1) β†’ (2 logb 1) = 0)
5249, 50, 38, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb 1) = 0)
53 1lt4 12392 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 4
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 < 4)
5543, 28, 25, 54, 31ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 < π‘₯)
56 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„€
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ β„€)
5857uzidd 12842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
59 1rp 12984 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ+)
6125, 32elrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
62 logblt 26671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 < π‘₯ ↔ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯)))
6358, 60, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (1 < π‘₯ ↔ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯)))
6455, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯))
6552, 64eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (2 logb π‘₯))
66 expgt0 14066 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb π‘₯) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb π‘₯)) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
6739, 47, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
6827, 42, 43, 67ltadd1dd 11829 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (0 + 1) < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
6927, 45, 44, 46, 68lttrd 11379 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
7018, 20, 44, 69, 38relogbcld 41354 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
7118, 70remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
72 0red 11221 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁))
747, 8jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7675, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
7773, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁))
7877simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
7972, 28, 25, 30, 78ltletrd 11378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < π‘₯)
8018, 20, 25, 79, 38relogbcld 41354 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
8180resqcld 14095 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) ∈ ℝ)
8271, 81readdcld 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) ∈ ℝ)
8382fmpttd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„)
8448a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85 3lt4 12390 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 < 4)
878, 33readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
888ltp1d 12148 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
897, 8, 87, 12, 88lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 < (𝑁 + 1))
9086, 89jca 511 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1)))
915rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ*)
9287rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ*)
937rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ*)
94 elioo5 13387 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) β†’ (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9690, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
975, 7, 8, 86, 12ltletrd 11378 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 < 𝑁)
9897, 88jca 511 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
998rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
100 elioo5 13387 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1))))
10191, 92, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1))))
10298, 101mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
103 iccssioo2 13403 . . . . . . . 8 ((4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)))
10496, 102, 103syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)))
105104resmptd 6034 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) = (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))))
106 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ β„‚)
10717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ ℝ)
10819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < 2)
109 elioore 13360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
1124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 3 ∈ ℝ)
113 3pos 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < 3)
115 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ (3 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑁 + 1)))
116 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑁 + 1)) β†’ 3 < π‘₯)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ 3 < π‘₯)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 3 < π‘₯)
119111, 112, 110, 114, 118lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < π‘₯)
12037adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  1)
121107, 108, 110, 119, 120relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
12240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ β„•0)
123121, 122reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ ℝ)
124 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ ℝ)
126111, 124readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
127111ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (0 + 1))
128122nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ β„€)
12934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < 2)
130 2lt3 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 < 3
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 < 3)
132124, 107, 112, 129, 131lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < 3)
133124, 112, 110, 132, 118lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < π‘₯)
134110, 119elrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
135 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ ℝ+)
137134, 136, 129jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)))
138 logbgt0b 26680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) β†’ (0 < (2 logb π‘₯) ↔ 1 < π‘₯))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 < (2 logb π‘₯) ↔ 1 < π‘₯))
140133, 139mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (2 logb π‘₯))
141121, 128, 140, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
142111, 123, 124, 141ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 + 1) < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
143111, 126, 125, 127, 142lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
144124, 129ltned 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 β‰  2)
145144necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  1)
146107, 108, 125, 143, 145relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
147146recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ β„‚)
148106, 147mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) ∈ β„‚)
14948, 121sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ β„‚)
150149sqcld 14114 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
151148, 150addcld 11237 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) ∈ β„‚)
152151fmpttd 7110 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
153 ioossre 13391 . . . . . . . . . 10 (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ
154153a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ)
15584, 152, 1543jca 1125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ))
156136relogcld 26512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
157125, 156remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2)) ∈ ℝ)
15848, 123sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ β„‚)
159 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
160158, 159addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ β„‚)
161111, 108gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  0)
162106, 161logcld 26459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) ∈ β„‚)
163111, 143gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) β‰  0)
164 loggt0b 26521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ β†’ (0 < (logβ€˜2) ↔ 1 < 2))
165135, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 < (logβ€˜2) ↔ 1 < 2)
16635, 165sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 < (logβ€˜2))
16726, 166ltned 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 β‰  (logβ€˜2))
168167necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) β‰  0)
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) β‰  0)
170160, 162, 163, 169mulne0d 11870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2)) β‰  0)
171124, 157, 170redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) ∈ ℝ)
172 5re 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ ℝ)
174 4nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ β„•0
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ β„•0)
176121, 175reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ ℝ)
177173, 176remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ℝ)
178110, 156remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ Β· (logβ€˜2)) ∈ ℝ)
17948, 110sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
180111, 119gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ β‰  0)
181179, 162, 180, 169mulne0d 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ Β· (logβ€˜2)) β‰  0)
182124, 178, 181redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2))) ∈ ℝ)
183177, 182remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) ∈ ℝ)
184183, 111readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0) ∈ ℝ)
185171, 184remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0)) ∈ ℝ)
186107, 185remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) ∈ ℝ)
187156resqcld 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑2) ∈ ℝ)
18856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ β„€)
189162, 169, 188expne0d 14122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑2) β‰  0)
190107, 187, 189redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 / ((logβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
191134relogcld 26512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
192 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 βˆ’ 1) = 1
193 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„•0
194192, 193eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 βˆ’ 1) ∈ β„•0
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
196191, 195reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
197196, 110, 180redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯) ∈ ℝ)
198190, 197remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
199186, 198readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ)
200199ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ)
201 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(3(,)(𝑁 + 1))
202201fnmptf 6680 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
203200, 202syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
2045leidd 11784 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 3)
2058lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
2065, 8, 87, 13, 205letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
2075, 87, 204, 206aks4d1p1p6 41455 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))))
208207fneq1d 6636 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
209203, 208mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
210209fndmd 6648 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
211 dvcn 25806 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
212155, 210, 211syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
213 rescncf 24772 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
214104, 213syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
215212, 214mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
216105, 215eqeltrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
217 cncfcdm 24773 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
21884, 216, 217syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
21983, 218mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
220174a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ∈ β„•0)
22139, 220reexpcld 14133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ ℝ)
222221fmpttd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„)
223104resmptd 6034 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) = (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)))
22448, 176sselid 3975 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ β„‚)
225224fmpttd 7110 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
22684, 225, 1543jca 1125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ))
2276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ ℝ)
228156, 175reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑4) ∈ ℝ)
229 4z 12600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ β„€
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ β„€)
231162, 169, 230expne0d 14122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑4) β‰  0)
232227, 228, 231redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4 / ((logβ€˜2)↑4)) ∈ ℝ)
233 4m1e3 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 βˆ’ 1) = 3
234 3nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ β„•0
235233, 234eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 βˆ’ 1) ∈ β„•0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
237191, 236reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
238237, 110, 180redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯) ∈ ℝ)
239232, 238remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
240239ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
241201fnmptf 6680 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
243113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
244 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))
245 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)))
246 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (4 / ((logβ€˜2)↑4)) = (4 / ((logβ€˜2)↑4))
247 4nn 12299 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„•
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„•)
2495, 87, 243, 206, 244, 245, 246, 248dvrelogpow2b 41450 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))))
250249fneq1d 6636 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
251242, 250mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
252251fndmd 6648 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
253 dvcn 25806 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
254226, 252, 253syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
255 rescncf 24772 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
256104, 255syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
257254, 256mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
258223, 257eqeltrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
259 cncfcdm 24773 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
26084, 258, 259syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
261222, 260mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
2627, 8, 11, 12aks4d1p1p6 41455 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))))
26329a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 4)
264 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))
265 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)))
2667, 8, 263, 12, 264, 265, 246, 248dvrelogpow2b 41450 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))))
267233a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ (4 βˆ’ 1) = 3)
268267oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) = ((logβ€˜π‘₯)↑3))
269268oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯) = (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))
270269oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) = ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯)))
271270mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))))
272266, 271eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))))
273 elioore 13360 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
274273adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2756a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 ∈ ℝ)
276 eliooord 13389 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ (4 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑁))
277276simpld 494 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ 4 < π‘₯)
278277adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 < π‘₯)
279275, 274, 278ltled 11366 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
280274, 279aks4d1p1p7 41456 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ≀ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯)))
281 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 4 β†’ (2 logb π‘₯) = (2 logb 4))
282281oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) = ((2 logb 4)↑5))
283282oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = 4 β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) = (((2 logb 4)↑5) + 1))
284283oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 4 β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)))
285284oveq2d 7421 . . . 4 (π‘₯ = 4 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))))
286281oveq1d 7420 . . . 4 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = ((2 logb 4)↑2))
287285, 286oveq12d 7423 . . 3 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) = ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)))
288281oveq1d 7420 . . 3 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = ((2 logb 4)↑4))
289 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 logb π‘₯) = (2 logb 𝑁))
290289oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
291290oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) = (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
292291oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
293292oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
29414a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
295294oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· 𝐢) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
296295eqcomd 2732 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) = (2 Β· 𝐢))
297293, 296eqtrd 2766 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· 𝐢))
298289oveq1d 7420 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
29915a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
300299eqcomd 2732 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
301298, 300eqtrd 2766 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = 𝐷)
302297, 301oveq12d 7423 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) = ((2 Β· 𝐢) + 𝐷))
303289oveq1d 7420 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4))
30416a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
305304eqcomd 2732 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
306303, 305eqtrd 2766 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = 𝐸)
307 sq2 14166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑2) = 4
308307oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4)
309308a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4))
310309eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) = (2 logb (2↑2)))
311135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
31256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
313 relogbexp 26667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 β‰  1 ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (2 logb (2↑2)) = 2)
314311, 37, 312, 313syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑2)) = 2)
315310, 314eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) = 2)
316315oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑5) = (2↑5))
317316oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((2 logb 4)↑5) + 1) = ((2↑5) + 1))
318317oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) = (2 logb ((2↑5) + 1)))
31917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
320319leidd 11784 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 2)
321315, 319eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) ∈ ℝ)
32240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„•0)
323321, 322reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑5) ∈ ℝ)
324316, 323eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2↑5) ∈ ℝ)
325324, 33readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ∈ ℝ)
326322nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„€)
32719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
328327, 315breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < (2 logb 4))
329321, 326, 3283jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb 4)))
330 expgt0 14066 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb 4)) β†’ 0 < ((2 logb 4)↑5))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((2 logb 4)↑5))
332331, 316breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (2↑5))
333324ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2↑5) < ((2↑5) + 1))
33426, 324, 325, 332, 333lttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < ((2↑5) + 1))
335 6nn0 12497 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ β„•0
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„•0)
337319, 336reexpcld 14133 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2↑6) ∈ ℝ)
338336nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„€)
339 expgt0 14066 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„€ ∧ 0 < 2) β†’ 0 < (2↑6))
340319, 338, 327, 339syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (2↑6))
341324, 324readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ∈ ℝ)
34233, 319, 35ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 2)
343319, 322, 342expge1d 14135 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2↑5))
34433, 324, 324, 343leadd2dd 11833 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ≀ ((2↑5) + (2↑5)))
345341leidd 11784 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ≀ ((2↑5) + (2↑5)))
346 df-6 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 = (5 + 1)
347346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 6 = (5 + 1))
348347oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑6) = (2↑(5 + 1)))
349 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
350349a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
351193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
352350, 351, 322expaddd 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑(5 + 1)) = ((2↑5) Β· (2↑1)))
353348, 352eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) Β· (2↑1)))
354350exp1d 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑1) = 2)
355354oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((2↑5) Β· (2↑1)) = ((2↑5) Β· 2))
356353, 355eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) Β· 2))
35748, 324sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (2↑5) ∈ β„‚)
358357times2d 12460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((2↑5) Β· 2) = ((2↑5) + (2↑5)))
359356, 358eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) + (2↑5)))
360359eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) = (2↑6))
361345, 360breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ≀ (2↑6))
362325, 341, 337, 344, 361letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ≀ (2↑6))
363312, 320, 325, 334, 337, 340, 362logblebd 41357 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 logb ((2↑5) + 1)) ≀ (2 logb (2↑6)))
364311, 37, 338relogbexpd 41355 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑6)) = 6)
365363, 364breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 logb ((2↑5) + 1)) ≀ 6)
366318, 365eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ 6)
367 6t2e12 12785 . . . . . . . . 9 (6 Β· 2) = 12
368 6cn 12307 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ β„‚
369368a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„‚)
370 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
371193, 370decnncl 12701 . . . . . . . . . . . . 13 12 ∈ β„•
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 12 ∈ β„•)
373372nnred 12231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 12 ∈ ℝ)
374373recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 12 ∈ β„‚)
37526, 327gtned 11353 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
376369, 350, 374, 375ldiv 12052 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((6 Β· 2) = 12 ↔ 6 = (12 / 2)))
377367, 376mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 6 = (12 / 2))
378366, 377breqtrd 5167 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ (12 / 2))
379323, 33readdcld 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((2 logb 4)↑5) + 1) ∈ ℝ)
38026, 33readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
38126ltp1d 12148 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (0 + 1))
38226, 323, 33, 331ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + 1) < (((2 logb 4)↑5) + 1))
38326, 380, 379, 381, 382lttrd 11379 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (((2 logb 4)↑5) + 1))
384319, 327, 379, 383, 37relogbcld 41354 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
385384, 373, 311lemuldiv2d 13072 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ 12 ↔ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ (12 / 2)))
386378, 385mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ 12)
387315oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) = (2↑2))
388387, 307eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) = 4)
389388oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)) = (16 βˆ’ 4))
390 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
391 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 12 = 12
392 4cn 12301 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
393 4p2e6 12369 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
394392, 349, 393addcomli 11410 . . . . . . . . . 10 (2 + 4) = 6
395193, 390, 174, 391, 394decaddi 12741 . . . . . . . . 9 (12 + 4) = 16
396392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
397 6nn 12305 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ β„•
398193, 397decnncl 12701 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ β„•
399398a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 16 ∈ β„•)
400399nnred 12231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 16 ∈ ℝ)
40148, 400sselid 3975 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 16 ∈ β„‚)
402374, 396, 401addlsub 11634 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((12 + 4) = 16 ↔ 12 = (16 βˆ’ 4)))
403395, 402mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 12 = (16 βˆ’ 4))
404389, 403eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)) = 12)
405404eqcomd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 12 = (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)))
406386, 405breqtrd 5167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)))
407319, 384remulcld 11248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
408321resqcld 14095 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ)
409 leaddsub 11694 . . . . . 6 (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ ∧ 16 ∈ ℝ) β†’ (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16 ↔ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2))))
410407, 408, 400, 409syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16 ↔ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2))))
411406, 410mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16)
412315oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑4) = (2↑4))
413 2exp4 17027 . . . . . 6 (2↑4) = 16
414412, 413eqtrdi 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑4) = 16)
415414eqcomd 2732 . . . 4 (πœ‘ β†’ 16 = ((2 logb 4)↑4))
416411, 415breqtrd 5167 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ ((2 logb 4)↑4))
4177, 8, 219, 261, 262, 272, 280, 287, 288, 302, 306, 416, 12dvle2 41454 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) + 𝐷) ≀ 𝐸)
4181, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 417aks4d1p1p4 41453 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  cdc 12681  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  βŒˆcceil 13762  β†‘cexp 14032  βˆcprod 15855  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747  logclog 26443   logb clogb 26651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-ceil 13764  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-logb 26652
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  41458
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