Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aks4d1p1p5 40928
Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p5.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aks4d1p1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
aks4d1p1p5.3 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p5.4 (πœ‘ β†’ 4 ≀ 𝑁)
aks4d1p1p5.5 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p5.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p5.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝐸(π‘˜)
Proof of Theorem aks4d1p1p5
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p5.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 aks4d1p1p5.2 . 2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
3 aks4d1p1p5.3 . 2 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
4 3re 12288 . . . 4 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
6 4re 12292 . . . 4 4 ∈ ℝ
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ)
81nnred 12223 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
95lep1d 12141 . . . 4 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (3 + 1))
10 3p1e4 12353 . . . 4 (3 + 1) = 4
119, 10breqtrdi 5188 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 4)
12 aks4d1p1p5.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 4 ≀ 𝑁)
135, 7, 8, 11, 12letrd 11367 . 2 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
14 aks4d1p1p5.5 . 2 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
15 aks4d1p1p5.6 . 2 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
16 aks4d1p1p5.7 . 2 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
17 2re 12282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ ℝ)
19 2pos 12311 . . . . . . . . 9 0 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < 2)
21 elicc2 13385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
227, 8, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
2322biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
2423imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁))
2524simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
26 0red 11213 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ∈ ℝ)
29 4pos 12315 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 4
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < 4)
3124simp2d 1143 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
3227, 28, 25, 30, 31ltletrd 11370 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < π‘₯)
33 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
34 1lt2 12379 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
3633, 35ltned 11346 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
3736necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 β‰  1)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 β‰  1)
3918, 20, 25, 32, 38relogbcld 40826 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
40 5nn0 12488 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ β„•0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 5 ∈ β„•0)
4239, 41reexpcld 14124 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ ℝ)
43 1red 11211 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ)
4442, 43readdcld 11239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4527, 43readdcld 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
4627ltp1d 12140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (0 + 1))
4741nn0zd 12580 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 5 ∈ β„€)
48 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
4948, 18sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ β„‚)
5027, 20gtned 11345 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 β‰  0)
51 logb1 26263 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 2 β‰  1) β†’ (2 logb 1) = 0)
5249, 50, 38, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb 1) = 0)
53 1lt4 12384 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 4
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 < 4)
5543, 28, 25, 54, 31ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 < π‘₯)
56 2z 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„€
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ β„€)
5857uzidd 12834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
59 1rp 12974 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ+)
6125, 32elrpd 13009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
62 logblt 26278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 < π‘₯ ↔ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯)))
6358, 60, 61, 62syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (1 < π‘₯ ↔ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯)))
6455, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb 1) < (2 logb π‘₯))
6552, 64eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (2 logb π‘₯))
66 expgt0 14057 . . . . . . . . . . 11 (((2 logb π‘₯) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb π‘₯)) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
6739, 47, 65, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
6827, 42, 43, 67ltadd1dd 11821 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (0 + 1) < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
6927, 45, 44, 46, 68lttrd 11371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
7018, 20, 44, 69, 38relogbcld 40826 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
7118, 70remulcld 11240 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
72 0red 11213 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
73 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁))
747, 8jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7675, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁)))
7773, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 4 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑁))
7877simp2d 1143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
7972, 28, 25, 30, 78ltletrd 11370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 0 < π‘₯)
8018, 20, 25, 79, 38relogbcld 40826 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
8180resqcld 14086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) ∈ ℝ)
8271, 81readdcld 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) ∈ ℝ)
8382fmpttd 7111 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„)
8448a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85 3lt4 12382 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 < 4)
878, 33readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
888ltp1d 12140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 < (𝑁 + 1))
897, 8, 87, 12, 88lelttrd 11368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 < (𝑁 + 1))
9086, 89jca 512 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1)))
915rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ*)
9287rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ*)
937rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ*)
94 elioo5 13377 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 4 ∈ ℝ*) β†’ (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 4 ∧ 4 < (𝑁 + 1))))
9690, 95mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
975, 7, 8, 86, 12ltletrd 11370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 3 < 𝑁)
9897, 88jca 512 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
998rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
100 elioo5 13377 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℝ* ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1))))
10191, 92, 99, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (3 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1))))
10298, 101mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)))
103 iccssioo2 13393 . . . . . . . 8 ((4 ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)))
10496, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)))
105104resmptd 6038 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) = (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))))
106 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ β„‚)
10717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ ℝ)
10819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < 2)
109 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
1124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 3 ∈ ℝ)
113 3pos 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < 3)
115 eliooord 13379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ (3 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑁 + 1)))
116 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑁 + 1)) β†’ 3 < π‘₯)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ 3 < π‘₯)
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 3 < π‘₯)
119111, 112, 110, 114, 118lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < π‘₯)
12037adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  1)
121107, 108, 110, 119, 120relogbcld 40826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ ℝ)
12240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ β„•0)
123121, 122reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ ℝ)
124 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ ℝ)
126111, 124readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
127111ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (0 + 1))
128122nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ β„€)
12934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < 2)
130 2lt3 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 < 3
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 < 3)
132124, 107, 112, 129, 131lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < 3)
133124, 112, 110, 132, 118lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 < π‘₯)
134110, 119elrpd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
135 2rp 12975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ ℝ+)
137134, 136, 129jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)))
138 logbgt0b 26287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 2)) β†’ (0 < (2 logb π‘₯) ↔ 1 < π‘₯))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 < (2 logb π‘₯) ↔ 1 < π‘₯))
140133, 139mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (2 logb π‘₯))
141121, 128, 140, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < ((2 logb π‘₯)↑5))
142111, 123, 124, 141ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (0 + 1) < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
143111, 126, 125, 127, 142lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 0 < (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))
144124, 129ltned 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 β‰  2)
145144necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  1)
146107, 108, 125, 143, 145relogbcld 40826 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
147146recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) ∈ β„‚)
148106, 147mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) ∈ β„‚)
14948, 121sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 logb π‘₯) ∈ β„‚)
150149sqcld 14105 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
151148, 150addcld 11229 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) ∈ β„‚)
152151fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
153 ioossre 13381 . . . . . . . . . 10 (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ
154153a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ)
15584, 152, 1543jca 1128 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ))
156136relogcld 26122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
157125, 156remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2)) ∈ ℝ)
15848, 123sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) ∈ β„‚)
159 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
160158, 159addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) ∈ β„‚)
161111, 108gtned 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 β‰  0)
162106, 161logcld 26070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) ∈ β„‚)
163111, 143gtned 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) β‰  0)
164 loggt0b 26131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ+ β†’ (0 < (logβ€˜2) ↔ 1 < 2))
165135, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 < (logβ€˜2) ↔ 1 < 2)
16635, 165sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 < (logβ€˜2))
16726, 166ltned 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 β‰  (logβ€˜2))
168167necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (logβ€˜2) β‰  0)
169168adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜2) β‰  0)
170160, 162, 163, 169mulne0d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2)) β‰  0)
171124, 157, 170redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) ∈ ℝ)
172 5re 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 ∈ ℝ
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 5 ∈ ℝ)
174 4nn0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ β„•0
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ β„•0)
176121, 175reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ ℝ)
177173, 176remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ℝ)
178110, 156remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ Β· (logβ€˜2)) ∈ ℝ)
17948, 110sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
180111, 119gtned 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ β‰  0)
181179, 162, 180, 169mulne0d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ Β· (logβ€˜2)) β‰  0)
182124, 178, 181redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2))) ∈ ℝ)
183177, 182remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) ∈ ℝ)
184183, 111readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0) ∈ ℝ)
185171, 184remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0)) ∈ ℝ)
186107, 185remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) ∈ ℝ)
187156resqcld 14086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑2) ∈ ℝ)
18856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 2 ∈ β„€)
189162, 169, 188expne0d 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑2) β‰  0)
190107, 187, 189redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 / ((logβ€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
191134relogcld 26122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
192 2m1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 βˆ’ 1) = 1
193 1nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„•0
194192, 193eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 βˆ’ 1) ∈ β„•0
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (2 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
196191, 195reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
197196, 110, 180redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯) ∈ ℝ)
198190, 197remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
199186, 198readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ)
200199ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ)
201 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(3(,)(𝑁 + 1))
202201fnmptf 6683 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
203200, 202syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
2045leidd 11776 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 3)
2058lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 + 1))
2065, 8, 87, 13, 205letrd 11367 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
2075, 87, 204, 206aks4d1p1p6 40926 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))))
208207fneq1d 6639 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
209203, 208mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
210209fndmd 6651 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
211 dvcn 25429 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
212155, 210, 211syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
213 rescncf 24404 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
214104, 213syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
215212, 214mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
216105, 215eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
217 cncfcdm 24405 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
21884, 216, 217syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
21983, 218mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2))) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
220174a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ 4 ∈ β„•0)
22139, 220reexpcld 14124 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4[,]𝑁)) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ ℝ)
222221fmpttd 7111 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„)
223104resmptd 6038 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) = (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)))
22448, 176sselid 3979 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) ∈ β„‚)
225224fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
22684, 225, 1543jca 1128 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ))
2276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ ℝ)
228156, 175reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑4) ∈ ℝ)
229 4z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ β„€
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ 4 ∈ β„€)
231162, 169, 230expne0d 14113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜2)↑4) β‰  0)
232227, 228, 231redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4 / ((logβ€˜2)↑4)) ∈ ℝ)
233 4m1e3 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 βˆ’ 1) = 3
234 3nn0 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ β„•0
235233, 234eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 βˆ’ 1) ∈ β„•0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (4 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
237191, 236reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
238237, 110, 180redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯) ∈ ℝ)
239232, 238remulcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
240239ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
241201fnmptf 6683 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1))((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
243113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
244 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))
245 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)))
246 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (4 / ((logβ€˜2)↑4)) = (4 / ((logβ€˜2)↑4))
247 4nn 12291 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„•
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„•)
2495, 87, 243, 206, 244, 245, 246, 248dvrelogpow2b 40921 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))))
250249fneq1d 6639 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) Fn (3(,)(𝑁 + 1))))
251242, 250mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) Fn (3(,)(𝑁 + 1)))
252251fndmd 6651 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1)))
253 dvcn 25429 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(3(,)(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚ ∧ (3(,)(𝑁 + 1)) βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (3(,)(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
254226, 252, 253syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚))
255 rescncf 24404 . . . . . . . 8 ((4[,]𝑁) βŠ† (3(,)(𝑁 + 1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
256104, 255syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((3(,)(𝑁 + 1))–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)))
257254, 256mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (3(,)(𝑁 + 1)) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) β†Ύ (4[,]𝑁)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
258223, 257eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
259 cncfcdm 24405 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
26084, 258, 259syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)):(4[,]𝑁)βŸΆβ„))
261222, 260mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4[,]𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) ∈ ((4[,]𝑁)–cn→ℝ))
2627, 8, 11, 12aks4d1p1p6 40926 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯)))))
26329a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 4)
264 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4)) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))
265 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)))
2667, 8, 263, 12, 264, 265, 246, 248dvrelogpow2b 40921 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))))
267233a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ (4 βˆ’ 1) = 3)
268267oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) = ((logβ€˜π‘₯)↑3))
269268oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯) = (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))
270269oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯)) = ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯)))
271270mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(4 βˆ’ 1)) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))))
272266, 271eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((2 logb π‘₯)↑4))) = (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) ↦ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯))))
273 elioore 13350 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
274273adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2756a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 ∈ ℝ)
276 eliooord 13379 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ (4 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑁))
277276simpld 495 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (4(,)𝑁) β†’ 4 < π‘₯)
278277adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 < π‘₯)
279275, 274, 278ltled 11358 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ 4 ≀ π‘₯)
280274, 279aks4d1p1p7 40927 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (4(,)𝑁)) β†’ ((2 Β· ((1 / ((((2 logb π‘₯)↑5) + 1) Β· (logβ€˜2))) Β· (((5 Β· ((2 logb π‘₯)↑4)) Β· (1 / (π‘₯ Β· (logβ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logβ€˜2)↑2)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑(2 βˆ’ 1)) / π‘₯))) ≀ ((4 / ((logβ€˜2)↑4)) Β· (((logβ€˜π‘₯)↑3) / π‘₯)))
281 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 4 β†’ (2 logb π‘₯) = (2 logb 4))
282281oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) = ((2 logb 4)↑5))
283282oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = 4 β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) = (((2 logb 4)↑5) + 1))
284283oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 4 β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)))
285284oveq2d 7421 . . . 4 (π‘₯ = 4 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))))
286281oveq1d 7420 . . . 4 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = ((2 logb 4)↑2))
287285, 286oveq12d 7423 . . 3 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) = ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)))
288281oveq1d 7420 . . 3 (π‘₯ = 4 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = ((2 logb 4)↑4))
289 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 logb π‘₯) = (2 logb 𝑁))
290289oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
291290oveq1d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((2 logb π‘₯)↑5) + 1) = (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
292291oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
293292oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
29414a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐢 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
295294oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· 𝐢) = (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
296295eqcomd 2738 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))) = (2 Β· 𝐢))
297293, 296eqtrd 2772 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) = (2 Β· 𝐢))
298289oveq1d 7420 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
29915a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
300299eqcomd 2738 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
301298, 300eqtrd 2772 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑2) = 𝐷)
302297, 301oveq12d 7423 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb π‘₯)↑5) + 1))) + ((2 logb π‘₯)↑2)) = ((2 Β· 𝐢) + 𝐷))
303289oveq1d 7420 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4))
30416a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
305304eqcomd 2738 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
306303, 305eqtrd 2772 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((2 logb π‘₯)↑4) = 𝐸)
307 sq2 14157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑2) = 4
308307oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4)
309308a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑2)) = (2 logb 4))
310309eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) = (2 logb (2↑2)))
311135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
31256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
313 relogbexp 26274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 β‰  1 ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (2 logb (2↑2)) = 2)
314311, 37, 312, 313syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑2)) = 2)
315310, 314eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) = 2)
316315oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑5) = (2↑5))
317316oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((2 logb 4)↑5) + 1) = ((2↑5) + 1))
318317oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) = (2 logb ((2↑5) + 1)))
31917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
320319leidd 11776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 2)
321315, 319eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb 4) ∈ ℝ)
32240a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„•0)
323321, 322reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑5) ∈ ℝ)
324316, 323eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2↑5) ∈ ℝ)
325324, 33readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ∈ ℝ)
326322nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„€)
32719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
328327, 315breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < (2 logb 4))
329321, 326, 3283jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb 4)))
330 expgt0 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 4) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ β„€ ∧ 0 < (2 logb 4)) β†’ 0 < ((2 logb 4)↑5))
331329, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((2 logb 4)↑5))
332331, 316breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (2↑5))
333324ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2↑5) < ((2↑5) + 1))
33426, 324, 325, 332, 333lttrd 11371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < ((2↑5) + 1))
335 6nn0 12489 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ β„•0
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„•0)
337319, 336reexpcld 14124 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2↑6) ∈ ℝ)
338336nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„€)
339 expgt0 14057 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„€ ∧ 0 < 2) β†’ 0 < (2↑6))
340319, 338, 327, 339syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (2↑6))
341324, 324readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ∈ ℝ)
34233, 319, 35ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 2)
343319, 322, 342expge1d 14126 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2↑5))
34433, 324, 324, 343leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ≀ ((2↑5) + (2↑5)))
345341leidd 11776 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ≀ ((2↑5) + (2↑5)))
346 df-6 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 = (5 + 1)
347346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 6 = (5 + 1))
348347oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑6) = (2↑(5 + 1)))
349 2cn 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„‚
350349a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
351193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
352350, 351, 322expaddd 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑(5 + 1)) = ((2↑5) Β· (2↑1)))
353348, 352eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) Β· (2↑1)))
354350exp1d 14102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2↑1) = 2)
355354oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((2↑5) Β· (2↑1)) = ((2↑5) Β· 2))
356353, 355eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) Β· 2))
35748, 324sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (2↑5) ∈ β„‚)
358357times2d 12452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((2↑5) Β· 2) = ((2↑5) + (2↑5)))
359356, 358eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2↑6) = ((2↑5) + (2↑5)))
360359eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) = (2↑6))
361345, 360breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + (2↑5)) ≀ (2↑6))
362325, 341, 337, 344, 361letrd 11367 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2↑5) + 1) ≀ (2↑6))
363312, 320, 325, 334, 337, 340, 362logblebd 40829 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 logb ((2↑5) + 1)) ≀ (2 logb (2↑6)))
364311, 37, 338relogbexpd 40827 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 logb (2↑6)) = 6)
365363, 364breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 logb ((2↑5) + 1)) ≀ 6)
366318, 365eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ 6)
367 6t2e12 12777 . . . . . . . . 9 (6 Β· 2) = 12
368 6cn 12299 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ β„‚
369368a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 6 ∈ β„‚)
370 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•
371193, 370decnncl 12693 . . . . . . . . . . . . 13 12 ∈ β„•
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 12 ∈ β„•)
373372nnred 12223 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 12 ∈ ℝ)
374373recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 12 ∈ β„‚)
37526, 327gtned 11345 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
376369, 350, 374, 375ldiv 12044 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((6 Β· 2) = 12 ↔ 6 = (12 / 2)))
377367, 376mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 6 = (12 / 2))
378366, 377breqtrd 5173 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ (12 / 2))
379323, 33readdcld 11239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((2 logb 4)↑5) + 1) ∈ ℝ)
38026, 33readdcld 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + 1) ∈ ℝ)
38126ltp1d 12140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (0 + 1))
38226, 323, 33, 331ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + 1) < (((2 logb 4)↑5) + 1))
38326, 380, 379, 381, 382lttrd 11371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (((2 logb 4)↑5) + 1))
384319, 327, 379, 383, 37relogbcld 40826 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
385384, 373, 311lemuldiv2d 13062 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ 12 ↔ (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1)) ≀ (12 / 2)))
386378, 385mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ 12)
387315oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) = (2↑2))
388387, 307eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) = 4)
389388oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)) = (16 βˆ’ 4))
390 2nn0 12485 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
391 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 12 = 12
392 4cn 12293 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
393 4p2e6 12361 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
394392, 349, 393addcomli 11402 . . . . . . . . . 10 (2 + 4) = 6
395193, 390, 174, 391, 394decaddi 12733 . . . . . . . . 9 (12 + 4) = 16
396392a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
397 6nn 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ β„•
398193, 397decnncl 12693 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ β„•
399398a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 16 ∈ β„•)
400399nnred 12223 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 16 ∈ ℝ)
40148, 400sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 16 ∈ β„‚)
402374, 396, 401addlsub 11626 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((12 + 4) = 16 ↔ 12 = (16 βˆ’ 4)))
403395, 402mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 12 = (16 βˆ’ 4))
404389, 403eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)) = 12)
405404eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 12 = (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)))
406386, 405breqtrd 5173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2)))
407319, 384remulcld 11240 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ)
408321resqcld 14086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ)
409 leaddsub 11686 . . . . . 6 (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 4)↑2) ∈ ℝ ∧ 16 ∈ ℝ) β†’ (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16 ↔ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2))))
410407, 408, 400, 409syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16 ↔ (2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) ≀ (16 βˆ’ ((2 logb 4)↑2))))
411406, 410mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ 16)
412315oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑4) = (2↑4))
413 2exp4 17014 . . . . . 6 (2↑4) = 16
414412, 413eqtrdi 2788 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 logb 4)↑4) = 16)
415414eqcomd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ 16 = ((2 logb 4)↑4))
416411, 415breqtrd 5173 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (2 logb (((2 logb 4)↑5) + 1))) + ((2 logb 4)↑2)) ≀ ((2 logb 4)↑4))
4177, 8, 219, 261, 262, 272, 280, 287, 288, 302, 306, 416, 12dvle2 40925 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝐢) + 𝐷) ≀ 𝐸)
4181, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 417aks4d1p1p4 40924 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  cdc 12673  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  βŒˆcceil 13752  β†‘cexp 14023  βˆcprod 15845  β€“cnβ†’ccncf 24383   D cdv 25371  logclog 26054   logb clogb 26258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-ceil 13754  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-logb 26259
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  40929
  Copyright terms: Public domain W3C validator