MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp3 24048
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3 (𝑁 ∈ ℤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 11643 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 cnelprrecn 10286 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 expcl 13092 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
54ancoms 450 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
6 c0ex 10291 . . . . . . 7 0 ∈ V
7 ovex 6878 . . . . . . 7 (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) ∈ V
86, 7ifex 4293 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) ∈ V)
10 dvexp2 24024 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
11 difssd 3902 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
12 eqid 2765 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 22881 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1413toponrestid 21021 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512cnfldhaus 22883 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
16 0cn 10289 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1713toponunii 21016 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1817sncld 21471 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℂ) → {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
1915, 16, 18mp2an 683 . . . . . . 7 {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
2017cldopn 21131 . . . . . . 7 ({0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
233, 5, 9, 10, 11, 14, 12, 22dvmptres 24033 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
24 ifid 4284 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))), (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))
25 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
26 oveq1 6853 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
2726oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑥↑(𝑁 − 1)) = (𝑥↑(0 − 1)))
2825, 27oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = (0 · (𝑥↑(0 − 1))))
29 eldifsn 4474 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
30 0z 11640 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
31 peano2zm 11673 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℤ
33 expclz 13099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3432, 33mp3an3 1574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3529, 34sylbi 208 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3635adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3736mul02d 10493 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (0 · (𝑥↑(0 − 1))) = 0)
3828, 37sylan9eqr 2821 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = 0)
3938ifeq1da 4275 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → if(𝑁 = 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))), (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
4024, 39syl5eqr 2813 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
4140mpteq2dva 4905 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
4223, 41eqtr4d 2802 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
43 eldifi 3896 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4443adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
45 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑁 ∈ ℝ)
4645recnd 10326 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑁 ∈ ℂ)
47 nnnn0 11551 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
4847ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℕ0)
49 expneg2 13083 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑁) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
5044, 46, 48, 49syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥𝑁) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
5150mpteq2dva 4905 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁))))
5251oveq2d 6862 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁)))))
532a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
54 eldifsni 4478 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
56 nnz 11652 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℤ)
5844, 55, 57expclzd 13227 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ)
5944, 55, 57expne0d 13228 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ≠ 0)
60 eldifsn 4474 . . . . . 6 ((𝑥↑-𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑-𝑁) ≠ 0))
6158, 59, 60sylanbrc 578 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
62 ovex 6878 . . . . . 6 (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V)
64 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
65 eldifsn 4474 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
6664, 65sylib 209 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
67 reccl 10951 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
69 negex 10538 . . . . . 6 -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V)
71 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7247ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
7371, 72expcld 13222 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ)
7462a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V)
75 dvexp 24023 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
7675adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
77 difssd 3902 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
7821a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7953, 73, 74, 76, 77, 14, 12, 78dvmptres 24033 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
80 ax-1cn 10251 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
81 dvrec 24025 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
83 oveq2 6854 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
84 oveq1 6853 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (𝑦↑2) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
8584oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (1 / (𝑦↑2)) = (1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)))
8685negeqd 10534 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → -(1 / (𝑦↑2)) = -(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)))
8753, 53, 61, 63, 68, 70, 79, 82, 83, 86dvmptco 24042 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))))
88 2z 11662 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 2 ∈ ℤ)
90 expmulz 13120 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
9144, 55, 57, 89, 90syl22anc 867 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
9291eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥↑-𝑁)↑2) = (𝑥↑(-𝑁 · 2)))
9392oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) = (1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
9493negeqd 10534 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) = -(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
95 peano2zm 11673 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9657, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9744, 55, 96expclzd 13227 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9846, 97mulneg1d 10742 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) = -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))
9994, 98oveq12d 6864 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (-(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
100 zmulcl 11679 . . . . . . . . . 10 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 2) ∈ ℤ)
10157, 88, 100sylancl 580 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) ∈ ℤ)
10244, 55, 101expclzd 13227 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) ∈ ℂ)
10344, 55, 101expne0d 13228 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) ≠ 0)
104102, 103reccld 11053 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) ∈ ℂ)
10546, 97mulcld 10318 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
106104, 105mul2negd 10744 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
107104, 46, 97mul12d 10504 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
10844, 55, 101, 96expsubd 13233 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2))) = ((𝑥↑(-𝑁 − 1)) / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
109 nncn 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℂ)
110109ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℂ)
11180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
112101zcnd 11736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) ∈ ℂ)
113110, 111, 112sub32d 10683 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2)) = ((-𝑁 − (-𝑁 · 2)) − 1))
114110times2d 11527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) = (-𝑁 + -𝑁))
115110, 46negsubd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 + -𝑁) = (-𝑁𝑁))
116114, 115eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) = (-𝑁𝑁))
117116oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁 · 2)) = (-𝑁 − (-𝑁𝑁)))
118110, 46nncand 10656 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁𝑁)) = 𝑁)
119117, 118eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁 · 2)) = 𝑁)
120119oveq1d 6861 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − (-𝑁 · 2)) − 1) = (𝑁 − 1))
121113, 120eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2)) = (𝑁 − 1))
122121oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2))) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
12397, 102, 103divrec2d 11064 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥↑(-𝑁 − 1)) / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) = ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))
124108, 122, 1233eqtr3rd 2808 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
125124oveq2d 6862 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
126107, 125eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
12799, 106, 1263eqtrd 2803 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
128127mpteq2dva 4905 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
12952, 87, 1283eqtrd 2803 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
13042, 129jaoi 883 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
1311, 130sylbi 208 1 (𝑁 ∈ ℤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3731  ifcif 4245  {csn 4336  {cpr 4338  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  cmin 10525  -cneg 10526   / cdiv 10943  cn 11279  2c2 11332  0cn0 11543  cz 11629  cexp 13074  TopOpenctopn 16364  fldccnfld 20035  Clsdccld 21116  Hauscha 21408   D cdv 23934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-4 11342  df-5 11343  df-6 11344  df-7 11345  df-8 11346  df-9 11347  df-n0 11544  df-z 11630  df-dec 11747  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12153  df-xadd 12154  df-xmul 12155  df-icc 12391  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13329  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-struct 16148  df-ndx 16149  df-slot 16150  df-base 16152  df-sets 16153  df-ress 16154  df-plusg 16243  df-mulr 16244  df-starv 16245  df-sca 16246  df-vsca 16247  df-ip 16248  df-tset 16249  df-ple 16250  df-ds 16252  df-unif 16253  df-hom 16254  df-cco 16255  df-rest 16365  df-topn 16366  df-0g 16384  df-gsum 16385  df-topgen 16386  df-pt 16387  df-prds 16390  df-xrs 16444  df-qtop 16449  df-imas 16450  df-xps 16452  df-mre 16528  df-mrc 16529  df-acs 16531  df-mgm 17524  df-sgrp 17566  df-mnd 17577  df-submnd 17618  df-mulg 17824  df-cntz 18029  df-cmn 18477  df-psmet 20027  df-xmet 20028  df-met 20029  df-bl 20030  df-mopn 20031  df-fbas 20032  df-fg 20033  df-cnfld 20036  df-top 20994  df-topon 21011  df-topsp 21033  df-bases 21046  df-cld 21119  df-ntr 21120  df-cls 21121  df-nei 21198  df-lp 21236  df-perf 21237  df-cn 21327  df-cnp 21328  df-t1 21414  df-haus 21415  df-tx 21661  df-hmeo 21854  df-fil 21945  df-fm 22037  df-flim 22038  df-flf 22039  df-xms 22420  df-ms 22421  df-tms 22422  df-cncf 22976  df-limc 23937  df-dv 23938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator