MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp3 25342
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3 (𝑁 ∈ ℤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12513 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 cnelprrecn 11144 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 expcl 13985 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
54ancoms 459 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
6 c0ex 11149 . . . . . . 7 0 ∈ V
7 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) ∈ V
86, 7ifex 4536 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) ∈ V)
10 dvexp2 25318 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
11 difssd 4092 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 24146 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1413toponrestid 22270 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512cnfldhaus 24148 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
16 0cn 11147 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
17 unicntop 24149 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1817sncld 22722 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℂ) → {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
1915, 16, 18mp2an 690 . . . . . . 7 {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
2017cldopn 22382 . . . . . . 7 ({0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
233, 5, 9, 10, 11, 14, 12, 22dvmptres 25327 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
24 ifid 4526 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))), (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))
25 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
26 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
2726oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑥↑(𝑁 − 1)) = (𝑥↑(0 − 1)))
2825, 27oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = (0 · (𝑥↑(0 − 1))))
29 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
30 0z 12510 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
31 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℤ
33 expclz 13990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3432, 33mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3529, 34sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3736mul02d 11353 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (0 · (𝑥↑(0 − 1))) = 0)
3828, 37sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = 0)
3938ifeq1da 4517 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → if(𝑁 = 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))), (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
4024, 39eqtr3id 2790 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
4140mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
4223, 41eqtr4d 2779 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
43 eldifi 4086 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4443adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
45 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑁 ∈ ℝ)
4645recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑁 ∈ ℂ)
47 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
4847ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℕ0)
49 expneg2 13976 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑁) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
5044, 46, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥𝑁) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
5150mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁))))
5251oveq2d 7373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁)))))
532a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
54 eldifsni 4750 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
56 nnz 12520 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℤ)
5844, 55, 57expclzd 14056 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ)
5944, 55, 57expne0d 14057 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ≠ 0)
60 eldifsn 4747 . . . . . 6 ((𝑥↑-𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑-𝑁) ≠ 0))
6158, 59, 60sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
62 ovex 7390 . . . . . 6 (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V)
64 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
65 eldifsn 4747 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
6664, 65sylib 217 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
67 reccl 11820 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
69 negex 11399 . . . . . 6 -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V)
71 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7247ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
7371, 72expcld 14051 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ)
7462a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V)
75 dvexp 25317 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
7675adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
77 difssd 4092 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
7821a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7953, 73, 74, 76, 77, 14, 12, 78dvmptres 25327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
80 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
81 dvrec 25319 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
83 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
84 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (𝑦↑2) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
8584oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (1 / (𝑦↑2)) = (1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)))
8685negeqd 11395 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → -(1 / (𝑦↑2)) = -(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)))
8753, 53, 61, 63, 68, 70, 79, 82, 83, 86dvmptco 25336 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))))
88 2z 12535 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 2 ∈ ℤ)
90 expmulz 14014 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
9144, 55, 57, 89, 90syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
9291eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥↑-𝑁)↑2) = (𝑥↑(-𝑁 · 2)))
9392oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) = (1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
9493negeqd 11395 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) = -(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
95 peano2zm 12546 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9657, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9744, 55, 96expclzd 14056 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9846, 97mulneg1d 11608 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) = -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))
9994, 98oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (-(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
100 zmulcl 12552 . . . . . . . . . 10 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 2) ∈ ℤ)
10157, 88, 100sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) ∈ ℤ)
10244, 55, 101expclzd 14056 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) ∈ ℂ)
10344, 55, 101expne0d 14057 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) ≠ 0)
104102, 103reccld 11924 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) ∈ ℂ)
10546, 97mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
106104, 105mul2negd 11610 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
107104, 46, 97mul12d 11364 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
10844, 55, 101, 96expsubd 14062 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2))) = ((𝑥↑(-𝑁 − 1)) / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
109 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℂ)
110109ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℂ)
11180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
112101zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) ∈ ℂ)
113110, 111, 112sub32d 11544 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2)) = ((-𝑁 − (-𝑁 · 2)) − 1))
114110times2d 12397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) = (-𝑁 + -𝑁))
115110, 46negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 + -𝑁) = (-𝑁𝑁))
116114, 115eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) = (-𝑁𝑁))
117116oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁 · 2)) = (-𝑁 − (-𝑁𝑁)))
118110, 46nncand 11517 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁𝑁)) = 𝑁)
119117, 118eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁 · 2)) = 𝑁)
120119oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − (-𝑁 · 2)) − 1) = (𝑁 − 1))
121113, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2)) = (𝑁 − 1))
122121oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2))) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
12397, 102, 103divrec2d 11935 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥↑(-𝑁 − 1)) / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) = ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))
124108, 122, 1233eqtr3rd 2785 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
125124oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
126107, 125eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
12799, 106, 1263eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
128127mpteq2dva 5205 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
12952, 87, 1283eqtrd 2780 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
13042, 129jaoi 855 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
1311, 130sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  Clsdccld 22367  Hauscha 22659   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator