MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvexp3 25495
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁
Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12572 . 2 (𝑁 ∈ β„€ ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
2 cnelprrecn 11203 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
4 expcl 14045 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑁) ∈ β„‚)
54ancoms 460 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑁) ∈ β„‚)
6 c0ex 11208 . . . . . . 7 0 ∈ V
7 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ V
86, 7ifex 4579 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))) ∈ V)
10 dvexp2 25471 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))))))
11 difssd 4133 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1312cnfldtopon 24299 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1413toponrestid 22423 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
1512cnfldhaus 24301 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
16 0cn 11206 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
17 unicntop 24302 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1817sncld 22875 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ {0} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
1915, 16, 18mp2an 691 . . . . . . 7 {0} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))
2017cldopn 22535 . . . . . . 7 ({0} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
233, 5, 9, 10, 11, 14, 12, 22dvmptres 25480 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))))))
24 ifid 4569 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))), (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))
25 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ 𝑁 = 0)
26 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (0 βˆ’ 1))
2726oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 β†’ (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘₯↑(0 βˆ’ 1)))
2825, 27oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 β†’ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (0 Β· (π‘₯↑(0 βˆ’ 1))))
29 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
30 0z 12569 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„€
31 peano2zm 12605 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ β„€ β†’ (0 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0 βˆ’ 1) ∈ β„€
33 expclz 14050 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0 ∧ (0 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑(0 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3432, 33mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (π‘₯↑(0 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3529, 34sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (π‘₯↑(0 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑(0 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3736mul02d 11412 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (0 Β· (π‘₯↑(0 βˆ’ 1))) = 0)
3828, 37sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))) = 0)
3938ifeq1da 4560 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ if(𝑁 = 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))), (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
4024, 39eqtr3id 2787 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
4140mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))))))
4223, 41eqtr4d 2776 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
43 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4443adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
45 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4645recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
47 nnnn0 12479 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ β„• β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
4847ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
49 expneg2 14036 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚ ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑁) = (1 / (π‘₯↑-𝑁)))
5044, 46, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑𝑁) = (1 / (π‘₯↑-𝑁)))
5150mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / (π‘₯↑-𝑁))))
5251oveq2d 7425 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / (π‘₯↑-𝑁)))))
532a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
54 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ β‰  0)
5554adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
56 nnz 12579 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ β„• β†’ -𝑁 ∈ β„€)
5756ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -𝑁 ∈ β„€)
5844, 55, 57expclzd 14116 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑-𝑁) ∈ β„‚)
5944, 55, 57expne0d 14117 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑-𝑁) β‰  0)
60 eldifsn 4791 . . . . . 6 ((π‘₯↑-𝑁) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘₯↑-𝑁) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑-𝑁) β‰  0))
6158, 59, 60sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑-𝑁) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
62 ovex 7442 . . . . . 6 (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))) ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))) ∈ V)
64 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
65 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0))
6664, 65sylib 217 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0))
67 reccl 11879 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
69 negex 11458 . . . . . 6 -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V)
71 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7247ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
7371, 72expcld 14111 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑-𝑁) ∈ β„‚)
7462a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))) ∈ V)
75 dvexp 25470 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ β„• β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑-𝑁))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))))
7675adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑-𝑁))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))))
77 difssd 4133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
7821a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7953, 73, 74, 76, 77, 14, 12, 78dvmptres 25480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑-𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))))
80 ax-1cn 11168 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
81 dvrec 25472 . . . . . 6 (1 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
83 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑦 = (π‘₯↑-𝑁) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (π‘₯↑-𝑁)))
84 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯↑-𝑁) β†’ (𝑦↑2) = ((π‘₯↑-𝑁)↑2))
8584oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯↑-𝑁) β†’ (1 / (𝑦↑2)) = (1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)))
8685negeqd 11454 . . . . 5 (𝑦 = (π‘₯↑-𝑁) β†’ -(1 / (𝑦↑2)) = -(1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)))
8753, 53, 61, 63, 68, 70, 79, 82, 83, 86dvmptco 25489 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / (π‘₯↑-𝑁)))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (-(1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)) Β· (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))))))
88 2z 12594 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„€
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 2 ∈ β„€)
90 expmulz 14074 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (-𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2)) = ((π‘₯↑-𝑁)↑2))
9144, 55, 57, 89, 90syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2)) = ((π‘₯↑-𝑁)↑2))
9291eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯↑-𝑁)↑2) = (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2)))
9392oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)) = (1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))))
9493negeqd 11454 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -(1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)) = -(1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))))
95 peano2zm 12605 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ β„€ β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
9657, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
9744, 55, 96expclzd 14116 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9846, 97mulneg1d 11667 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))) = -(𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))))
9994, 98oveq12d 7427 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)) Β· (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))) = (-(1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· -(𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))))
100 zmulcl 12611 . . . . . . . . . 10 ((-𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (-𝑁 Β· 2) ∈ β„€)
10157, 88, 100sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 Β· 2) ∈ β„€)
10244, 55, 101expclzd 14116 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2)) ∈ β„‚)
10344, 55, 101expne0d 14117 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2)) β‰  0)
104102, 103reccld 11983 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) ∈ β„‚)
10546, 97mulcld 11234 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
106104, 105mul2negd 11669 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· -(𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))) = ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))))
107104, 46, 97mul12d 11423 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))) = (𝑁 Β· ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))))
10844, 55, 101, 96expsubd 14122 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑((-𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ (-𝑁 Β· 2))) = ((π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)) / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))))
109 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑁 ∈ β„• β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
11180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 1 ∈ β„‚)
112101zcnd 12667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 Β· 2) ∈ β„‚)
113110, 111, 112sub32d 11603 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ (-𝑁 Β· 2)) = ((-𝑁 βˆ’ (-𝑁 Β· 2)) βˆ’ 1))
114110times2d 12456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 Β· 2) = (-𝑁 + -𝑁))
115110, 46negsubd 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 + -𝑁) = (-𝑁 βˆ’ 𝑁))
116114, 115eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 Β· 2) = (-𝑁 βˆ’ 𝑁))
117116oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 βˆ’ (-𝑁 Β· 2)) = (-𝑁 βˆ’ (-𝑁 βˆ’ 𝑁)))
118110, 46nncand 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 βˆ’ (-𝑁 βˆ’ 𝑁)) = 𝑁)
119117, 118eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-𝑁 βˆ’ (-𝑁 Β· 2)) = 𝑁)
120119oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-𝑁 βˆ’ (-𝑁 Β· 2)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
121113, 120eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ (-𝑁 Β· 2)) = (𝑁 βˆ’ 1))
122121oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯↑((-𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ (-𝑁 Β· 2))) = (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))
12397, 102, 103divrec2d 11994 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)) / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) = ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))))
124108, 122, 1233eqtr3rd 2782 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))) = (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))
125124oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝑁 Β· ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))) = (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))))
126107, 125eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((1 / (π‘₯↑(-𝑁 Β· 2))) Β· (𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))) = (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))))
12799, 106, 1263eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)) Β· (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1)))) = (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1))))
128127mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (-(1 / ((π‘₯↑-𝑁)↑2)) Β· (-𝑁 Β· (π‘₯↑(-𝑁 βˆ’ 1))))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
12952, 87, 1283eqtrd 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
13042, 129jaoi 856 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
1311, 130sylbi 216 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (π‘₯↑𝑁))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (𝑁 Β· (π‘₯↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β†‘cexp 14027  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Clsdccld 22520  Hauscha 22812   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator