Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvexp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvexp3 24682
 Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3 (𝑁 ∈ ℤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12039 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 cnelprrecn 10673 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 expcl 13502 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
54ancoms 462 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
6 c0ex 10678 . . . . . . 7 0 ∈ V
7 ovex 7188 . . . . . . 7 (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) ∈ V
86, 7ifex 4473 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) ∈ V)
10 dvexp2 24658 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
11 difssd 4040 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
12 eqid 2758 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 23489 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1413toponrestid 21626 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512cnfldhaus 23491 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
16 0cn 10676 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
17 unicntop 23492 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1817sncld 22076 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℂ) → {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
1915, 16, 18mp2an 691 . . . . . . 7 {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
2017cldopn 21736 . . . . . . 7 ({0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
233, 5, 9, 10, 11, 14, 12, 22dvmptres 24667 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
24 ifid 4463 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))), (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))
25 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
26 oveq1 7162 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
2726oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑥↑(𝑁 − 1)) = (𝑥↑(0 − 1)))
2825, 27oveq12d 7173 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = (0 · (𝑥↑(0 − 1))))
29 eldifsn 4680 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
30 0z 12036 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
31 peano2zm 12069 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℤ
33 expclz 13509 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3432, 33mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3529, 34sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3635adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(0 − 1)) ∈ ℂ)
3736mul02d 10881 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (0 · (𝑥↑(0 − 1))) = 0)
3828, 37sylan9eqr 2815 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = 0)
3938ifeq1da 4454 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → if(𝑁 = 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))), (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
4024, 39syl5eqr 2807 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))) = if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
4140mpteq2dva 5130 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
4223, 41eqtr4d 2796 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
43 eldifi 4034 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4443adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
45 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑁 ∈ ℝ)
4645recnd 10712 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑁 ∈ ℂ)
47 nnnn0 11946 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
4847ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℕ0)
49 expneg2 13493 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑁) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
5044, 46, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥𝑁) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
5150mpteq2dva 5130 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁))))
5251oveq2d 7171 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁)))))
532a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
54 eldifsni 4683 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
56 nnz 12048 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℤ)
5844, 55, 57expclzd 13570 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ)
5944, 55, 57expne0d 13571 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ≠ 0)
60 eldifsn 4680 . . . . . 6 ((𝑥↑-𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑥↑-𝑁) ≠ 0))
6158, 59, 60sylanbrc 586 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑-𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
62 ovex 7188 . . . . . 6 (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V)
64 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
65 eldifsn 4680 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
6664, 65sylib 221 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
67 reccl 11348 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
69 negex 10927 . . . . . 6 -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V
7069a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V)
71 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7247ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
7371, 72expcld 13565 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑-𝑁) ∈ ℂ)
7462a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ V)
75 dvexp 24657 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
7675adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
77 difssd 4040 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
7821a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7953, 73, 74, 76, 77, 14, 12, 78dvmptres 24667 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥↑-𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
80 ax-1cn 10638 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
81 dvrec 24659 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
83 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑-𝑁)))
84 oveq1 7162 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (𝑦↑2) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
8584oveq2d 7171 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → (1 / (𝑦↑2)) = (1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)))
8685negeqd 10923 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑-𝑁) → -(1 / (𝑦↑2)) = -(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)))
8753, 53, 61, 63, 68, 70, 79, 82, 83, 86dvmptco 24676 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / (𝑥↑-𝑁)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))))
88 2z 12058 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 2 ∈ ℤ)
90 expmulz 13530 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
9144, 55, 57, 89, 90syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) = ((𝑥↑-𝑁)↑2))
9291eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥↑-𝑁)↑2) = (𝑥↑(-𝑁 · 2)))
9392oveq2d 7171 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) = (1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
9493negeqd 10923 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) = -(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
95 peano2zm 12069 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9657, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9744, 55, 96expclzd 13570 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9846, 97mulneg1d 11136 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) = -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))
9994, 98oveq12d 7173 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (-(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
100 zmulcl 12075 . . . . . . . . . 10 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 2) ∈ ℤ)
10157, 88, 100sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) ∈ ℤ)
10244, 55, 101expclzd 13570 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) ∈ ℂ)
10344, 55, 101expne0d 13571 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑(-𝑁 · 2)) ≠ 0)
104102, 103reccld 11452 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) ∈ ℂ)
10546, 97mulcld 10704 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
106104, 105mul2negd 11138 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · -(𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
107104, 46, 97mul12d 10892 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))))
10844, 55, 101, 96expsubd 13576 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2))) = ((𝑥↑(-𝑁 − 1)) / (𝑥↑(-𝑁 · 2))))
109 nncn 11687 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℂ)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -𝑁 ∈ ℂ)
11180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
112101zcnd 12132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) ∈ ℂ)
113110, 111, 112sub32d 11072 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2)) = ((-𝑁 − (-𝑁 · 2)) − 1))
114110times2d 11923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) = (-𝑁 + -𝑁))
115110, 46negsubd 11046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 + -𝑁) = (-𝑁𝑁))
116114, 115eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 · 2) = (-𝑁𝑁))
117116oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁 · 2)) = (-𝑁 − (-𝑁𝑁)))
118110, 46nncand 11045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁𝑁)) = 𝑁)
119117, 118eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-𝑁 − (-𝑁 · 2)) = 𝑁)
120119oveq1d 7170 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − (-𝑁 · 2)) − 1) = (𝑁 − 1))
121113, 120eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2)) = (𝑁 − 1))
122121oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥↑((-𝑁 − 1) − (-𝑁 · 2))) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
12397, 102, 103divrec2d 11463 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥↑(-𝑁 − 1)) / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) = ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))
124108, 122, 1233eqtr3rd 2802 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1))) = (𝑥↑(𝑁 − 1)))
125124oveq2d 7171 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑁 · ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
126107, 125eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((1 / (𝑥↑(-𝑁 · 2))) · (𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
12799, 106, 1263eqtrd 2797 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
128127mpteq2dva 5130 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(1 / ((𝑥↑-𝑁)↑2)) · (-𝑁 · (𝑥↑(-𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
12952, 87, 1283eqtrd 2797 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
13042, 129jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
1311, 130sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℤ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857  ifcif 4423  {csn 4525  {cpr 4527   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   − cmin 10913  -cneg 10914   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  ℕ0cn0 11939  ℤcz 12025  ↑cexp 13484  TopOpenctopn 16758  ℂfldccnfld 20171  Clsdccld 21721  Hauscha 22013   D cdv 24567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-t1 22019  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator