MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem2 26778
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 26777, where P = B, and using angrtmuld 26753 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
chordthmlem2.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.Q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.X (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
chordthmlem2.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem2.P (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
chordthmlem2.ABequidistQ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
chordthmlem2.PneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
chordthmlem2.QneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘„   ๐‘ฅ,๐‘ƒ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
2 chordthmlem2.A . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 chordthmlem2.B . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 chordthmlem2.Q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
5 chordthmlem2.M . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
7 2re 12311 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
9 2ne0 12341 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
118, 10rereccld 12066 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1311, 12resubcld 11667 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1413recnd 11267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
153, 2subcld 11596 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1611recnd 11267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
1712recnd 11267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1816, 17, 15subdird 11696 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
19 2cnd 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
203, 19, 10divcan4d 12021 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ๐ต)
213times2d 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท 2) = (๐ต + ๐ต))
2221oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ((๐ต + ๐ต) / 2))
2320, 22eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐ต + ๐ต) / 2))
2423, 5oveq12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
253, 3addcld 11258 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
262, 3addcld 11258 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2725, 26, 19, 10divsubdird 12054 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
283, 2, 3pnpcan2d 11634 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
2928oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
3024, 27, 293eqtr2d 2771 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
3115, 19, 10divrec2d 12019 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
3230, 31eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
3417, 2mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3635, 17subcld 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3736, 3mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3834, 37addcld 11258 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3933, 38eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
402, 39, 3, 17affineequiv 26768 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4133, 40mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
4232, 41oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4326halfcld 12482 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
445, 43eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
453, 44, 39nnncan1d 11630 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
4618, 42, 453eqtr2rd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
4839, 44, 47subne0d 11605 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
4946, 48eqnetrrd 2999 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
5014, 15, 49mulne0bbd 11895 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
513, 2, 50subne0ad 11607 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
5251necomd 2986 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
53 chordthmlem2.QneM . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 26777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
554, 44subcld 11596 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5639, 44subcld 11596 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
573, 44subcld 11596 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
584, 44, 53subne0d 11605 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
5919, 10recne0d 12009 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
6016, 15, 59, 50mulne0d 11891 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
6132, 60eqnetrd 2998 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
6232, 46oveq12d 7431 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) / (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
6314, 15, 49mulne0bad 11894 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โ‰  0)
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 12042 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) / (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
6562, 64eqtrd 2765 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
6611, 13, 63redivcld 12067 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
6765, 66eqeltrd 2825 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„)
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 26753 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
6954, 68mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   โˆ– cdif 3938  {csn 4625  {cpr 4627  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โˆˆ cmpo 7415  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  2c2 12292  โ„‘cim 15072  abscabs 15208  ฯ€cpi 16037  logclog 26501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  26779
  Copyright terms: Public domain W3C validator