MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem2 26199
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 26198, where P = B, and using angrtmuld 26174 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
chordthmlem2.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.Q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.X (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
chordthmlem2.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem2.P (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
chordthmlem2.ABequidistQ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
chordthmlem2.PneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
chordthmlem2.QneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘„   ๐‘ฅ,๐‘ƒ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
2 chordthmlem2.A . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 chordthmlem2.B . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 chordthmlem2.Q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
5 chordthmlem2.M . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
7 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
9 2ne0 12264 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
118, 10rereccld 11989 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1311, 12resubcld 11590 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1413recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
153, 2subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1611recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
1712recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1816, 17, 15subdird 11619 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
19 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
203, 19, 10divcan4d 11944 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ๐ต)
213times2d 12404 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท 2) = (๐ต + ๐ต))
2221oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ((๐ต + ๐ต) / 2))
2320, 22eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐ต + ๐ต) / 2))
2423, 5oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
253, 3addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
262, 3addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2725, 26, 19, 10divsubdird 11977 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
283, 2, 3pnpcan2d 11557 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
2928oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
3024, 27, 293eqtr2d 2783 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
3115, 19, 10divrec2d 11942 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
3230, 31eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
3417, 2mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3635, 17subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3736, 3mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3834, 37addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3933, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
402, 39, 3, 17affineequiv 26189 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4133, 40mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
4232, 41oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4326halfcld 12405 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
445, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
453, 44, 39nnncan1d 11553 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
4618, 42, 453eqtr2rd 2784 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
4839, 44, 47subne0d 11528 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
4946, 48eqnetrrd 3013 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
5014, 15, 49mulne0bbd 11818 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
513, 2, 50subne0ad 11530 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
5251necomd 3000 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
53 chordthmlem2.QneM . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 26198 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
554, 44subcld 11519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5639, 44subcld 11519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
573, 44subcld 11519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
584, 44, 53subne0d 11528 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
5919, 10recne0d 11932 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
6016, 15, 59, 50mulne0d 11814 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
6132, 60eqnetrd 3012 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
6232, 46oveq12d 7380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) / (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
6314, 15, 49mulne0bad 11817 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โ‰  0)
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 11965 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) / (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
6562, 64eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
6611, 13, 63redivcld 11990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
6765, 66eqeltrd 2838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„)
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 26174 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
6954, 68mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  โ„‘cim 14990  abscabs 15126  ฯ€cpi 15956  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  26200
  Copyright terms: Public domain W3C validator