Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | chordthmlem2.angdef |
. . 3
โข ๐น = (๐ฅ โ (โ โ {0}), ๐ฆ โ (โ โ {0})
โฆ (โโ(logโ(๐ฆ / ๐ฅ)))) |
2 | | chordthmlem2.A |
. . 3
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | | chordthmlem2.B |
. . 3
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
4 | | chordthmlem2.Q |
. . 3
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
5 | | chordthmlem2.M |
. . 3
โข (๐ โ ๐ = ((๐ด + ๐ต) / 2)) |
6 | | chordthmlem2.ABequidistQ |
. . 3
โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐)) = (absโ(๐ต โ ๐))) |
7 | | 2re 12234 |
. . . . . . . . . 10
โข 2 โ
โ |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
9 | | 2ne0 12264 |
. . . . . . . . . 10
โข 2 โ
0 |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ 2 โ 0) |
11 | 8, 10 | rereccld 11989 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (1 / 2) โ
โ) |
12 | | chordthmlem2.X |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
13 | 11, 12 | resubcld 11590 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((1 / 2) โ ๐) โ
โ) |
14 | 13 | recnd 11190 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((1 / 2) โ ๐) โ
โ) |
15 | 3, 2 | subcld 11519 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
16 | 11 | recnd 11190 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (1 / 2) โ
โ) |
17 | 12 | recnd 11190 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
18 | 16, 17, 15 | subdird 11619 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (((1 / 2) โ ๐) ยท (๐ต โ ๐ด)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด)) โ (๐ ยท (๐ต โ ๐ด)))) |
19 | | 2cnd 12238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
20 | 3, 19, 10 | divcan4d 11944 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ต ยท 2) / 2) = ๐ต) |
21 | 3 | times2d 12404 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ต ยท 2) = (๐ต + ๐ต)) |
22 | 21 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((๐ต ยท 2) / 2) = ((๐ต + ๐ต) / 2)) |
23 | 20, 22 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ต = ((๐ต + ๐ต) / 2)) |
24 | 23, 5 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (๐ต โ ๐) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โ ((๐ด + ๐ต) / 2))) |
25 | 3, 3 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ต + ๐ต) โ โ) |
26 | 2, 3 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
27 | 25, 26, 19, 10 | divsubdird 11977 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (((๐ต + ๐ต) โ (๐ด + ๐ต)) / 2) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โ ((๐ด + ๐ต) / 2))) |
28 | 3, 2, 3 | pnpcan2d 11557 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ต + ๐ต) โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ต โ ๐ด)) |
29 | 28 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (((๐ต + ๐ต) โ (๐ด + ๐ต)) / 2) = ((๐ต โ ๐ด) / 2)) |
30 | 24, 27, 29 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ต โ ๐) = ((๐ต โ ๐ด) / 2)) |
31 | 15, 19, 10 | divrec2d 11942 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐ด) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด))) |
32 | 30, 31 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ต โ ๐) = ((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด))) |
33 | | chordthmlem2.P |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ((1 โ ๐) ยท ๐ต))) |
34 | 17, 2 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ ยท ๐ด) โ โ) |
35 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ 1 โ
โ) |
36 | 35, 17 | subcld 11519 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (1 โ ๐) โ
โ) |
37 | 36, 3 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((1 โ ๐) ยท ๐ต) โ โ) |
38 | 34, 37 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ด) + ((1 โ ๐) ยท ๐ต)) โ โ) |
39 | 33, 38 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
40 | 2, 39, 3, 17 | affineequiv 26189 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ((1 โ ๐) ยท ๐ต)) โ (๐ต โ ๐) = (๐ ยท (๐ต โ ๐ด)))) |
41 | 33, 40 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ต โ ๐) = (๐ ยท (๐ต โ ๐ด))) |
42 | 32, 41 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐) โ (๐ต โ ๐)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด)) โ (๐ ยท (๐ต โ ๐ด)))) |
43 | 26 | halfcld 12405 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) / 2) โ โ) |
44 | 5, 43 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
45 | 3, 44, 39 | nnncan1d 11553 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐) โ (๐ต โ ๐)) = (๐ โ ๐)) |
46 | 18, 42, 45 | 3eqtr2rd 2784 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ โ ๐) = (((1 / 2) โ ๐) ยท (๐ต โ ๐ด))) |
47 | | chordthmlem2.PneM |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
48 | 39, 44, 47 | subne0d 11528 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ โ ๐) โ 0) |
49 | 46, 48 | eqnetrrd 3013 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((1 / 2) โ ๐) ยท (๐ต โ ๐ด)) โ 0) |
50 | 14, 15, 49 | mulne0bbd 11818 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ 0) |
51 | 3, 2, 50 | subne0ad 11530 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ต โ ๐ด) |
52 | 51 | necomd 3000 |
. . 3
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
53 | | chordthmlem2.QneM |
. . 3
โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
54 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53 | chordthmlem 26198 |
. 2
โข (๐ โ ((๐ โ ๐)๐น(๐ต โ ๐)) โ {(ฯ / 2), -(ฯ /
2)}) |
55 | 4, 44 | subcld 11519 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ โ ๐) โ โ) |
56 | 39, 44 | subcld 11519 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ โ ๐) โ โ) |
57 | 3, 44 | subcld 11519 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ต โ ๐) โ โ) |
58 | 4, 44, 53 | subne0d 11528 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ โ ๐) โ 0) |
59 | 19, 10 | recne0d 11932 |
. . . . 5
โข (๐ โ (1 / 2) โ
0) |
60 | 16, 15, 59, 50 | mulne0d 11814 |
. . . 4
โข (๐ โ ((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด)) โ 0) |
61 | 32, 60 | eqnetrd 3012 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ต โ ๐) โ 0) |
62 | 32, 46 | oveq12d 7380 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐) / (๐ โ ๐)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด)) / (((1 / 2) โ ๐) ยท (๐ต โ ๐ด)))) |
63 | 14, 15, 49 | mulne0bad 11817 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((1 / 2) โ ๐) โ 0) |
64 | 16, 14, 15, 63, 50 | divcan5rd 11965 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((1 / 2) ยท (๐ต โ ๐ด)) / (((1 / 2) โ ๐) ยท (๐ต โ ๐ด))) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โ ๐))) |
65 | 62, 64 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐) / (๐ โ ๐)) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โ ๐))) |
66 | 11, 13, 63 | redivcld 11990 |
. . . 4
โข (๐ โ ((1 / 2) / ((1 / 2)
โ ๐)) โ
โ) |
67 | 65, 66 | eqeltrd 2838 |
. . 3
โข (๐ โ ((๐ต โ ๐) / (๐ โ ๐)) โ โ) |
68 | 1, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67 | angrtmuld 26174 |
. 2
โข (๐ โ (((๐ โ ๐)๐น(๐ โ ๐)) โ {(ฯ / 2), -(ฯ / 2)} โ
((๐ โ ๐)๐น(๐ต โ ๐)) โ {(ฯ / 2), -(ฯ /
2)})) |
69 | 54, 68 | mpbird 257 |
1
โข (๐ โ ((๐ โ ๐)๐น(๐ โ ๐)) โ {(ฯ / 2), -(ฯ /
2)}) |