MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem2 26739
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 26738, where P = B, and using angrtmuld 26714 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
chordthmlem2.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.Q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
chordthmlem2.X (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
chordthmlem2.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem2.P (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
chordthmlem2.ABequidistQ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
chordthmlem2.PneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
chordthmlem2.QneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘„   ๐‘ฅ,๐‘ƒ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
2 chordthmlem2.A . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 chordthmlem2.B . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 chordthmlem2.Q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
5 chordthmlem2.M . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
7 2re 12302 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
9 2ne0 12332 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
118, 10rereccld 12057 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1311, 12resubcld 11658 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1413recnd 11258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
153, 2subcld 11587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1611recnd 11258 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
1712recnd 11258 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1816, 17, 15subdird 11687 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
19 2cnd 12306 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
203, 19, 10divcan4d 12012 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ๐ต)
213times2d 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท 2) = (๐ต + ๐ต))
2221oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ((๐ต + ๐ต) / 2))
2320, 22eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐ต + ๐ต) / 2))
2423, 5oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
253, 3addcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
262, 3addcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2725, 26, 19, 10divsubdird 12045 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
283, 2, 3pnpcan2d 11625 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
2928oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
3024, 27, 293eqtr2d 2773 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
3115, 19, 10divrec2d 12010 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
3230, 31eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
3417, 2mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 1cnd 11225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3635, 17subcld 11587 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3736, 3mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3834, 37addcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3933, 38eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
402, 39, 3, 17affineequiv 26729 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4133, 40mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
4232, 41oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
4326halfcld 12473 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
445, 43eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
453, 44, 39nnncan1d 11621 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
4618, 42, 453eqtr2rd 2774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘€)
4839, 44, 47subne0d 11596 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
4946, 48eqnetrrd 3004 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
5014, 15, 49mulne0bbd 11886 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
513, 2, 50subne0ad 11598 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
5251necomd 2991 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
53 chordthmlem2.QneM . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 26738 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
554, 44subcld 11587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5639, 44subcld 11587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
573, 44subcld 11587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
584, 44, 53subne0d 11596 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
5919, 10recne0d 12000 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โ‰  0)
6016, 15, 59, 50mulne0d 11882 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
6132, 60eqnetrd 3003 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
6232, 46oveq12d 7432 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) / (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
6314, 15, 49mulne0bad 11885 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โ‰  0)
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 12033 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) / (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
6562, 64eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
6611, 13, 63redivcld 12058 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) / ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
6765, 66eqeltrd 2828 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) / (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„)
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 26714 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)} โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
6954, 68mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โˆ– cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  2c2 12283  โ„‘cim 15063  abscabs 15199  ฯ€cpi 16028  logclog 26462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-log 26464
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  26740
  Copyright terms: Public domain W3C validator