MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem2 25097
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 25096, where P = B, and using angrtmuld 25072 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmlem2.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem2.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem2.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem2.X (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
chordthmlem2.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem2.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
chordthmlem2.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
chordthmlem2.PneM (𝜑𝑃𝑀)
chordthmlem2.QneM (𝜑𝑄𝑀)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑄   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2 chordthmlem2.A . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 chordthmlem2.B . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 chordthmlem2.Q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
5 chordthmlem2.M . . 3 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
7 2re 11564 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9 2ne0 11594 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
118, 10rereccld 11320 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 10921 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
1413recnd 10520 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
153, 2subcld 10850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1611recnd 10520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
1712recnd 10520 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1816, 17, 15subdird 10950 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
19 2cnd 11568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
203, 19, 10divcan4d 11275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
213times2d 11734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
2221oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
2320, 22eqtr3d 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
2423, 5oveq12d 7039 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
253, 3addcld 10511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
262, 3addcld 10511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2725, 26, 19, 10divsubdird 11308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
283, 2, 3pnpcan2d 10888 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
2928oveq1d 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
3024, 27, 293eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
3115, 19, 10divrec2d 11273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
3230, 31eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
3417, 2mulcld 10512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
35 1cnd 10487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3635, 17subcld 10850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
3736, 3mulcld 10512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
3834, 37addcld 10511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
3933, 38eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
402, 39, 3, 17affineequiv 25087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
4133, 40mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
4232, 41oveq12d 7039 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
4326halfcld 11735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
445, 43eqeltrd 2883 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
453, 44, 39nnncan1d 10884 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
4618, 42, 453eqtr2rd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑀)
4839, 44, 47subne0d 10859 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≠ 0)
4946, 48eqnetrrd 3052 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) ≠ 0)
5014, 15, 49mulne0bbd 11149 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
513, 2, 50subne0ad 10861 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
5251necomd 3039 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
53 chordthmlem2.QneM . . 3 (𝜑𝑄𝑀)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 25096 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
554, 44subcld 10850 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
5639, 44subcld 10850 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
573, 44subcld 10850 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑀) ∈ ℂ)
584, 44, 53subne0d 10859 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≠ 0)
5919, 10recne0d 11263 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
6016, 15, 59, 50mulne0d 11145 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝐵𝐴)) ≠ 0)
6132, 60eqnetrd 3051 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑀) ≠ 0)
6232, 46oveq12d 7039 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑀) / (𝑃𝑀)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) / (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
6314, 15, 49mulne0bad 11148 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ≠ 0)
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 11296 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) / (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((1 / 2) / ((1 / 2) − 𝑋)))
6562, 64eqtrd 2831 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑀) / (𝑃𝑀)) = ((1 / 2) / ((1 / 2) − 𝑋)))
6611, 13, 63redivcld 11321 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) / ((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
6765, 66eqeltrd 2883 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑀) / (𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 25072 . 2 (𝜑 → (((𝑄𝑀)𝐹(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} ↔ ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
6954, 68mpbird 258 1 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝑃𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cdif 3860  {csn 4476  {cpr 4478  cfv 6230  (class class class)co 7021  cmpo 7023  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393  cmin 10722  -cneg 10723   / cdiv 11150  2c2 11545  cim 14296  abscabs 14432  πcpi 15258  logclog 24824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-fac 13489  df-bc 13518  df-hash 13546  df-shft 14265  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-ef 15259  df-sin 15261  df-cos 15262  df-pi 15264  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-lp 21433  df-perf 21434  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cncf 23174  df-limc 24152  df-dv 24153  df-log 24826
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  25098
  Copyright terms: Public domain W3C validator