MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfaclbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfaclbnd 26976
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables 𝑑 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 12991 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21times2d 12463 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))
32oveq2d 7428 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
4 relogcl 26335 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11249 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6 2cnd 12297 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
71, 5, 6subdid 11677 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)))
8 rpre 12989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
98, 4remulcld 11251 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11249 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1110, 1, 1subsub4d 11609 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
123, 7, 113eqtr4d 2781 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴))
139, 8resubcld 11649 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ∈ ℝ)
14 fzfid 13945 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
15 fzfid 13945 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
16 elfznn 13537 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...𝑛) → 𝑑 ∈ ℕ)
1716adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817nnrecred 12270 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
1915, 18fsumrecl 15687 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
2014, 19fsumrecl 15687 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
21 rprege0 12996 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
22 flge0nn0 13792 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2423faccld 14251 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
2524nnrpd 13021 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
2625relogcld 26382 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
2726, 8readdcld 11250 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℝ)
28 elfznn 13537 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3029nnrecred 12270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
3114, 30fsumrecl 15687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
328, 31remulcld 11251 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
33 reflcl 13768 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
348, 33syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3532, 34resubcld 11649 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
36 harmoniclbnd 26764 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
37 rpregt0 12995 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
38 lemul2 12074 . . . . . . . 8 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
394, 31, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
4036, 39mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)))
41 flle 13771 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
428, 41syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
439, 34, 32, 8, 40, 42le2subd 11841 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)))
4428nnrecred 12270 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
45 remulcl 11201 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
468, 44, 45syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
47 peano2rem 11534 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
49 fzfid 13945 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5030adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5149, 50fsumrecl 15687 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
528adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
54 peano2re 11394 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5629nnred 12234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ)
57 fllep1 13773 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
588, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
5958adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
6052, 55, 56, 59lesub1dd 11837 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
6152, 56resubcld 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ∈ ℝ)
6255, 56resubcld 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ∈ ℝ)
6329nnrpd 13021 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6463rpreccld 13033 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
6561, 62, 64lemul1d 13066 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ↔ ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑))))
6660, 65mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
671adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6829nncnd 12235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℂ)
6930recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
7067, 68, 69subdird 11678 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))))
7129nnne0d 12269 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ≠ 0)
7268, 71recidd 11992 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑 · (1 / 𝑑)) = 1)
7372oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
7470, 73eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)))
75 fsumconst 15743 . . . . . . . . . 10 (((𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
7649, 69, 75syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
77 elfzuz3 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
79 hashfz 14394 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8134recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
83 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 68addsubd 11599 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8580, 84eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
8685oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8776, 86eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8866, 74, 873brtr4d 5180 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
8914, 48, 51, 88fsumle 15752 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
9014, 1, 69fsummulc2 15737 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)))
91 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
92 fsumconst 15743 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
9314, 91, 92sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
94 hashfz1 14313 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9523, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9695oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1) = ((⌊‘𝐴) · 1))
9781mulridd 11238 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) · 1) = (⌊‘𝐴))
9893, 96, 973eqtrrd 2776 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
9990, 98oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10046recnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℂ)
10114, 100, 83fsumsub 15741 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10299, 101eqtr4d 2774 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
103 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
104103uztrn2 12848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
106105biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
107 uzss 12852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
108107ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
109108sseld 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
110109pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
111106, 110bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
112111pm5.32da 578 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
113 ancom 460 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
114 an4 653 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
115112, 113, 1143bitr4g 314 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
116 elfzuzb 13502 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
117 elfzuzb 13502 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...𝑛) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)))
118116, 117anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))))
119 elfzuzb 13502 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
120 elfzuzb 13502 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
121119, 120anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
122115, 118, 1213bitr4g 314 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)))))
12318recnd 11249 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
124123anasss 466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
12514, 14, 15, 122, 124fsumcom2 15727 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
12689, 102, 1253brtr4d 5180 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12713, 35, 20, 43, 126letrd 11378 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12826, 34readdcld 11250 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
129 elfznn 13537 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
131130nnrpd 13021 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
132131relogcld 26382 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
133 peano2re 11394 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛) ∈ ℝ → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
135 nnz 12586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
136 flid 13780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
138137oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝑛)) = (1...𝑛))
139138sumeq1d 15654 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
140 nnre 12226 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
141 nnge1 12247 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
142 harmonicubnd 26765 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
143140, 141, 142syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
144139, 143eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
145130, 144syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
14614, 19, 134, 145fsumle 15752 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1))
147132recnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
148 1cnd 11216 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
14914, 147, 148fsumadd 15693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
150 logfac 26360 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
15123, 150syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
152 fsumconst 15743 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
15314, 91, 152sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
154153, 96, 973eqtrrd 2776 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
155151, 154oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
156149, 155eqtr4d 2774 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
157146, 156breqtrd 5174 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
15834, 8, 26, 42leadd2dd 11836 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
15920, 128, 27, 157, 158letrd 11378 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16013, 20, 27, 127, 159letrd 11378 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16113, 8, 26lesubaddd 11818 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴)))
162160, 161mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
16312, 162eqbrtrd 5170 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  +crp 12981  ...cfz 13491  cfl 13762  !cfa 14240  chash 14297  Σcsu 15639  logclog 26314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-e 16019  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-cmp 23124  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629  df-ulm 26139  df-log 26316  df-atan 26623  df-em 26748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator