MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfaclbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfaclbnd 25399
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables 𝑑 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 12149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21times2d 11626 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))
32oveq2d 6938 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
4 relogcl 24759 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 10405 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6 2cnd 11453 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
71, 5, 6subdid 10831 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)))
8 rpre 12145 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
98, 4remulcld 10407 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 10405 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1110, 1, 1subsub4d 10765 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
123, 7, 113eqtr4d 2823 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴))
139, 8resubcld 10803 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ∈ ℝ)
14 fzfid 13091 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
15 fzfid 13091 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
16 elfznn 12687 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...𝑛) → 𝑑 ∈ ℕ)
1716adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817nnrecred 11426 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
1915, 18fsumrecl 14872 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
2014, 19fsumrecl 14872 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
21 rprege0 12154 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
22 flge0nn0 12940 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
24 faccl 13388 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
2625nnrpd 12179 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
2726relogcld 24806 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
2827, 8readdcld 10406 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℝ)
29 elfznn 12687 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
3029adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3130nnrecred 11426 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
3214, 31fsumrecl 14872 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
338, 32remulcld 10407 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
34 reflcl 12916 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
358, 34syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3633, 35resubcld 10803 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
37 harmoniclbnd 25187 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
38 rpregt0 12153 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
39 lemul2 11230 . . . . . . . 8 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
404, 32, 38, 39syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
4137, 40mpbid 224 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)))
42 flle 12919 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
438, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
449, 35, 33, 8, 41, 43le2subd 10995 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)))
4529nnrecred 11426 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
46 remulcl 10357 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
478, 45, 46syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
48 peano2rem 10690 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
50 fzfid 13091 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5131adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5250, 51fsumrecl 14872 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
538adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5453, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
55 peano2re 10549 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5730nnred 11391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ)
58 fllep1 12921 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
598, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
6059adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
6153, 56, 57, 60lesub1dd 10991 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
6253, 57resubcld 10803 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ∈ ℝ)
6356, 57resubcld 10803 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ∈ ℝ)
6430nnrpd 12179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6564rpreccld 12191 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
6662, 63, 65lemul1d 12224 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ↔ ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑))))
6761, 66mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
681adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6930nncnd 11392 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℂ)
7031recnd 10405 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
7168, 69, 70subdird 10832 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))))
7230nnne0d 11425 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ≠ 0)
7369, 72recidd 11146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑 · (1 / 𝑑)) = 1)
7473oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
7571, 74eqtr2d 2814 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)))
76 fsumconst 14926 . . . . . . . . . 10 (((𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
7750, 70, 76syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
78 elfzuz3 12656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
7978adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
80 hashfz 13528 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8235recnd 10405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
8382adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
84 1cnd 10371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
8583, 84, 69addsubd 10755 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8681, 85eqtr4d 2816 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
8786oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8877, 87eqtrd 2813 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8967, 75, 883brtr4d 4918 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
9014, 49, 52, 89fsumle 14935 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
9114, 1, 70fsummulc2 14920 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)))
92 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
93 fsumconst 14926 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
9414, 92, 93sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
95 hashfz1 13451 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9623, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9796oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1) = ((⌊‘𝐴) · 1))
9882mulid1d 10394 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) · 1) = (⌊‘𝐴))
9994, 97, 983eqtrrd 2818 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
10091, 99oveq12d 6940 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10147recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℂ)
10214, 101, 84fsumsub 14924 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
103100, 102eqtr4d 2816 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
104 eqid 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
105104uztrn2 12010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
106105adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
107106biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
108 uzss 12013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
109108ad2antll 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
110109sseld 3819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
111110pm4.71rd 558 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
112107, 111bitr3d 273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
113112pm5.32da 574 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
114 ancom 454 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
115 an4 646 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
116113, 114, 1153bitr4g 306 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
117 elfzuzb 12653 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
118 elfzuzb 12653 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...𝑛) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)))
119117, 118anbi12i 620 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))))
120 elfzuzb 12653 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
121 elfzuzb 12653 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
122120, 121anbi12i 620 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
123116, 119, 1223bitr4g 306 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)))))
12418recnd 10405 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
125124anasss 460 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
12614, 14, 15, 123, 125fsumcom2 14910 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
12790, 103, 1263brtr4d 4918 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12813, 36, 20, 44, 127letrd 10533 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12927, 35readdcld 10406 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
130 elfznn 12687 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
131130adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
132131nnrpd 12179 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
133132relogcld 24806 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
134 peano2re 10549 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛) ∈ ℝ → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
135133, 134syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
136 nnz 11751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
137 flid 12928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
139138oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝑛)) = (1...𝑛))
140139sumeq1d 14839 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
141 nnre 11382 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
142 nnge1 11404 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
143 harmonicubnd 25188 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
144141, 142, 143syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
145140, 144eqbrtrrd 4910 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
146131, 145syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
14714, 19, 135, 146fsumle 14935 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1))
148133recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
149 1cnd 10371 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
15014, 148, 149fsumadd 14877 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
151 logfac 24784 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
15223, 151syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
153 fsumconst 14926 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
15414, 92, 153sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
155154, 97, 983eqtrrd 2818 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
156152, 155oveq12d 6940 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
157150, 156eqtr4d 2816 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
158147, 157breqtrd 4912 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
15935, 8, 27, 43leadd2dd 10990 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16020, 129, 28, 158, 159letrd 10533 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16113, 20, 28, 128, 160letrd 10533 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16213, 8, 27lesubaddd 10972 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴)))
163161, 162mpbird 249 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
16412, 163eqbrtrd 4908 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wss 3791   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  ...cfz 12643  cfl 12910  !cfa 13378  chash 13435  Σcsu 14824  logclog 24738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-e 15201  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-em 25171
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator