MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfaclbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfaclbnd 26134
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables 𝑑 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 12625 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21times2d 12103 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))
32oveq2d 7250 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
4 relogcl 25495 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 10890 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6 2cnd 11937 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
71, 5, 6subdid 11317 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)))
8 rpre 12623 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
98, 4remulcld 10892 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 10890 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1110, 1, 1subsub4d 11249 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
123, 7, 113eqtr4d 2789 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴))
139, 8resubcld 11289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ∈ ℝ)
14 fzfid 13577 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
15 fzfid 13577 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
16 elfznn 13170 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...𝑛) → 𝑑 ∈ ℕ)
1716adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817nnrecred 11910 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
1915, 18fsumrecl 15330 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
2014, 19fsumrecl 15330 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
21 rprege0 12630 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
22 flge0nn0 13424 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2423faccld 13882 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
2524nnrpd 12655 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
2625relogcld 25542 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
2726, 8readdcld 10891 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℝ)
28 elfznn 13170 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
2928adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3029nnrecred 11910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
3114, 30fsumrecl 15330 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
328, 31remulcld 10892 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
33 reflcl 13400 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
348, 33syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3532, 34resubcld 11289 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
36 harmoniclbnd 25922 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
37 rpregt0 12629 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
38 lemul2 11714 . . . . . . . 8 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
394, 31, 37, 38syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
4036, 39mpbid 235 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)))
41 flle 13403 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
428, 41syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
439, 34, 32, 8, 40, 42le2subd 11481 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)))
4428nnrecred 11910 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
45 remulcl 10843 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
468, 44, 45syl2an 599 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
47 peano2rem 11174 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
49 fzfid 13577 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5030adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5149, 50fsumrecl 15330 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
528adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
54 peano2re 11034 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5629nnred 11874 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ)
57 fllep1 13405 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
588, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
5958adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
6052, 55, 56, 59lesub1dd 11477 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
6152, 56resubcld 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ∈ ℝ)
6255, 56resubcld 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ∈ ℝ)
6329nnrpd 12655 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6463rpreccld 12667 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
6561, 62, 64lemul1d 12700 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ↔ ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑))))
6660, 65mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
671adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6829nncnd 11875 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℂ)
6930recnd 10890 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
7067, 68, 69subdird 11318 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))))
7129nnne0d 11909 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ≠ 0)
7268, 71recidd 11632 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑 · (1 / 𝑑)) = 1)
7372oveq2d 7250 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
7470, 73eqtr2d 2780 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)))
75 fsumconst 15386 . . . . . . . . . 10 (((𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
7649, 69, 75syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
77 elfzuz3 13138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
7877adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
79 hashfz 14026 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8134recnd 10890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
83 1cnd 10857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 68addsubd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8580, 84eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
8685oveq1d 7249 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8776, 86eqtrd 2779 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8866, 74, 873brtr4d 5101 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
8914, 48, 51, 88fsumle 15395 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
9014, 1, 69fsummulc2 15380 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)))
91 ax-1cn 10816 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
92 fsumconst 15386 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
9314, 91, 92sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
94 hashfz1 13944 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9523, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9695oveq1d 7249 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1) = ((⌊‘𝐴) · 1))
9781mulid1d 10879 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) · 1) = (⌊‘𝐴))
9893, 96, 973eqtrrd 2784 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
9990, 98oveq12d 7252 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10046recnd 10890 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℂ)
10114, 100, 83fsumsub 15384 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10299, 101eqtr4d 2782 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
103 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
104103uztrn2 12486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
105104adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
106105biantrurd 536 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
107 uzss 12490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
108107ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
109108sseld 3916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
110109pm4.71rd 566 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
111106, 110bitr3d 284 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
112111pm5.32da 582 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
113 ancom 464 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
114 an4 656 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
115112, 113, 1143bitr4g 317 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
116 elfzuzb 13135 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
117 elfzuzb 13135 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...𝑛) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)))
118116, 117anbi12i 630 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))))
119 elfzuzb 13135 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
120 elfzuzb 13135 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
121119, 120anbi12i 630 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
122115, 118, 1213bitr4g 317 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)))))
12318recnd 10890 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
124123anasss 470 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
12514, 14, 15, 122, 124fsumcom2 15370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
12689, 102, 1253brtr4d 5101 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12713, 35, 20, 43, 126letrd 11018 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12826, 34readdcld 10891 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
129 elfznn 13170 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
130129adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
131130nnrpd 12655 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
132131relogcld 25542 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
133 peano2re 11034 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛) ∈ ℝ → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
135 nnz 12228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
136 flid 13412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
138137oveq2d 7250 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝑛)) = (1...𝑛))
139138sumeq1d 15297 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
140 nnre 11866 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
141 nnge1 11887 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
142 harmonicubnd 25923 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
143140, 141, 142syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
144139, 143eqbrtrrd 5093 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
145130, 144syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
14614, 19, 134, 145fsumle 15395 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1))
147132recnd 10890 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
148 1cnd 10857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
14914, 147, 148fsumadd 15336 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
150 logfac 25520 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
15123, 150syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
152 fsumconst 15386 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
15314, 91, 152sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
154153, 96, 973eqtrrd 2784 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
155151, 154oveq12d 7252 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
156149, 155eqtr4d 2782 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
157146, 156breqtrd 5095 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
15834, 8, 26, 42leadd2dd 11476 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
15920, 128, 27, 157, 158letrd 11018 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16013, 20, 27, 127, 159letrd 11018 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16113, 8, 26lesubaddd 11458 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴)))
162160, 161mpbird 260 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
16312, 162eqbrtrd 5091 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wss 3883   class class class wbr 5069  cfv 6400  (class class class)co 7234  Fincfn 8649  cc 10756  cr 10757  0cc0 10758  1c1 10759   + caddc 10761   · cmul 10763   < clt 10896  cle 10897  cmin 11091   / cdiv 11518  cn 11859  2c2 11914  0cn0 12119  cz 12205  cuz 12467  +crp 12615  ...cfz 13124  cfl 13394  !cfa 13871  chash 13928  Σcsu 15281  logclog 25474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-inf2 9285  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836  ax-addf 10837  ax-mulf 10838
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-iin 4923  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-se 5527  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-isom 6409  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-of 7490  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-supp 7927  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-2o 8226  df-oadd 8229  df-er 8414  df-map 8533  df-pm 8534  df-ixp 8602  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-fsupp 9015  df-fi 9056  df-sup 9087  df-inf 9088  df-oi 9155  df-card 9584  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-div 11519  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-4 11924  df-5 11925  df-6 11926  df-7 11927  df-8 11928  df-9 11929  df-n0 12120  df-xnn0 12192  df-z 12206  df-dec 12323  df-uz 12468  df-q 12574  df-rp 12616  df-xneg 12733  df-xadd 12734  df-xmul 12735  df-ioo 12968  df-ioc 12969  df-ico 12970  df-icc 12971  df-fz 13125  df-fzo 13268  df-fl 13396  df-mod 13474  df-seq 13606  df-exp 13667  df-fac 13872  df-bc 13901  df-hash 13929  df-shft 14662  df-cj 14694  df-re 14695  df-im 14696  df-sqrt 14830  df-abs 14831  df-limsup 15064  df-clim 15081  df-rlim 15082  df-sum 15282  df-ef 15661  df-e 15662  df-sin 15663  df-cos 15664  df-tan 15665  df-pi 15666  df-dvds 15848  df-struct 16732  df-sets 16749  df-slot 16767  df-ndx 16777  df-base 16793  df-ress 16817  df-plusg 16847  df-mulr 16848  df-starv 16849  df-sca 16850  df-vsca 16851  df-ip 16852  df-tset 16853  df-ple 16854  df-ds 16856  df-unif 16857  df-hom 16858  df-cco 16859  df-rest 16959  df-topn 16960  df-0g 16978  df-gsum 16979  df-topgen 16980  df-pt 16981  df-prds 16984  df-xrs 17039  df-qtop 17044  df-imas 17045  df-xps 17047  df-mre 17121  df-mrc 17122  df-acs 17124  df-mgm 18146  df-sgrp 18195  df-mnd 18206  df-submnd 18251  df-mulg 18521  df-cntz 18743  df-cmn 19204  df-psmet 20387  df-xmet 20388  df-met 20389  df-bl 20390  df-mopn 20391  df-fbas 20392  df-fg 20393  df-cnfld 20396  df-top 21822  df-topon 21839  df-topsp 21861  df-bases 21874  df-cld 21947  df-ntr 21948  df-cls 21949  df-nei 22026  df-lp 22064  df-perf 22065  df-cn 22155  df-cnp 22156  df-haus 22243  df-cmp 22315  df-tx 22490  df-hmeo 22683  df-fil 22774  df-fm 22866  df-flim 22867  df-flf 22868  df-xms 23249  df-ms 23250  df-tms 23251  df-cncf 23806  df-limc 24794  df-dv 24795  df-ulm 25300  df-log 25476  df-atan 25781  df-em 25906
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator