MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfaclbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfaclbnd 27280
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables 𝑑 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 13042 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21times2d 12507 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))
32oveq2d 7446 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
4 relogcl 26631 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11286 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6 2cnd 12341 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
71, 5, 6subdid 11716 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)))
8 rpre 13040 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
98, 4remulcld 11288 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11286 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1110, 1, 1subsub4d 11648 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
123, 7, 113eqtr4d 2784 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴))
139, 8resubcld 11688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ∈ ℝ)
14 fzfid 14010 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
15 fzfid 14010 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
16 elfznn 13589 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...𝑛) → 𝑑 ∈ ℕ)
1716adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817nnrecred 12314 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
1915, 18fsumrecl 15766 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
2014, 19fsumrecl 15766 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
21 rprege0 13047 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
22 flge0nn0 13856 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2423faccld 14319 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
2524nnrpd 13072 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
2625relogcld 26679 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
2726, 8readdcld 11287 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℝ)
28 elfznn 13589 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3029nnrecred 12314 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
3114, 30fsumrecl 15766 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
328, 31remulcld 11288 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
33 reflcl 13832 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
348, 33syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3532, 34resubcld 11688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
36 harmoniclbnd 27066 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
37 rpregt0 13046 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
38 lemul2 12117 . . . . . . . 8 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
394, 31, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
4036, 39mpbid 232 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)))
41 flle 13835 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
428, 41syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
439, 34, 32, 8, 40, 42le2subd 11880 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)))
4428nnrecred 12314 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
45 remulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
468, 44, 45syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
47 peano2rem 11573 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
49 fzfid 14010 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5030adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5149, 50fsumrecl 15766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
528adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
54 peano2re 11431 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5629nnred 12278 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ)
57 fllep1 13837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
588, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
5958adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
6052, 55, 56, 59lesub1dd 11876 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
6152, 56resubcld 11688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ∈ ℝ)
6255, 56resubcld 11688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ∈ ℝ)
6329nnrpd 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6463rpreccld 13084 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
6561, 62, 64lemul1d 13117 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ↔ ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑))))
6660, 65mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
671adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6829nncnd 12279 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℂ)
6930recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
7067, 68, 69subdird 11717 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))))
7129nnne0d 12313 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ≠ 0)
7268, 71recidd 12035 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑 · (1 / 𝑑)) = 1)
7372oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
7470, 73eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)))
75 fsumconst 15822 . . . . . . . . . 10 (((𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
7649, 69, 75syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
77 elfzuz3 13557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
79 hashfz 14462 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8134recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
83 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 68addsubd 11638 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8580, 84eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
8685oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8776, 86eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8866, 74, 873brtr4d 5179 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
8914, 48, 51, 88fsumle 15831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
9014, 1, 69fsummulc2 15816 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)))
91 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
92 fsumconst 15822 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
9314, 91, 92sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
94 hashfz1 14381 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9523, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9695oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1) = ((⌊‘𝐴) · 1))
9781mulridd 11275 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) · 1) = (⌊‘𝐴))
9893, 96, 973eqtrrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
9990, 98oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10046recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℂ)
10114, 100, 83fsumsub 15820 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10299, 101eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
103 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
104103uztrn2 12894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
106105biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
107 uzss 12898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
108107ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
109108sseld 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
110109pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
111106, 110bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
112111pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
113 ancom 460 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
114 an4 656 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
115112, 113, 1143bitr4g 314 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
116 elfzuzb 13554 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
117 elfzuzb 13554 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...𝑛) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)))
118116, 117anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))))
119 elfzuzb 13554 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
120 elfzuzb 13554 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
121119, 120anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
122115, 118, 1213bitr4g 314 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)))))
12318recnd 11286 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
124123anasss 466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
12514, 14, 15, 122, 124fsumcom2 15806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
12689, 102, 1253brtr4d 5179 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12713, 35, 20, 43, 126letrd 11415 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12826, 34readdcld 11287 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
129 elfznn 13589 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
131130nnrpd 13072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
132131relogcld 26679 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
133 peano2re 11431 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛) ∈ ℝ → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
135 nnz 12631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
136 flid 13844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
138137oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝑛)) = (1...𝑛))
139138sumeq1d 15732 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
140 nnre 12270 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
141 nnge1 12291 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
142 harmonicubnd 27067 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
143140, 141, 142syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
144139, 143eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
145130, 144syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
14614, 19, 134, 145fsumle 15831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1))
147132recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
148 1cnd 11253 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
14914, 147, 148fsumadd 15772 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
150 logfac 26657 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
15123, 150syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
152 fsumconst 15822 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
15314, 91, 152sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
154153, 96, 973eqtrrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
155151, 154oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
156149, 155eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
157146, 156breqtrd 5173 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
15834, 8, 26, 42leadd2dd 11875 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
15920, 128, 27, 157, 158letrd 11415 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16013, 20, 27, 127, 159letrd 11415 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16113, 8, 26lesubaddd 11857 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴)))
162160, 161mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
16312, 162eqbrtrd 5169 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  cfl 13826  !cfa 14308  chash 14365  Σcsu 15718  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-atan 26924  df-em 27050
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator