MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfaclbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfaclbnd 26570
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables 𝑑 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 12925 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21times2d 12397 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))
32oveq2d 7373 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
4 relogcl 25931 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11183 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6 2cnd 12231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
71, 5, 6subdid 11611 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 · 2)))
8 rpre 12923 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
98, 4remulcld 11185 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
1110, 1, 1subsub4d 11543 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 · (log‘𝐴)) − (𝐴 + 𝐴)))
123, 7, 113eqtr4d 2786 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) = (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴))
139, 8resubcld 11583 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ∈ ℝ)
14 fzfid 13878 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
15 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
16 elfznn 13470 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...𝑛) → 𝑑 ∈ ℕ)
1716adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817nnrecred 12204 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
1915, 18fsumrecl 15619 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
2014, 19fsumrecl 15619 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
21 rprege0 12930 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
22 flge0nn0 13725 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2423faccld 14184 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
2524nnrpd 12955 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
2625relogcld 25978 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
2726, 8readdcld 11184 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℝ)
28 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3029nnrecred 12204 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
3114, 30fsumrecl 15619 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
328, 31remulcld 11185 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
33 reflcl 13701 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
348, 33syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3532, 34resubcld 11583 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
36 harmoniclbnd 26358 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
37 rpregt0 12929 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
38 lemul2 12008 . . . . . . . 8 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
394, 31, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ↔ (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))))
4036, 39mpbid 231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)))
41 flle 13704 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
428, 41syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
439, 34, 32, 8, 40, 42le2subd 11775 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)))
4428nnrecred 12204 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
45 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
468, 44, 45syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ)
47 peano2rem 11468 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℝ → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ∈ ℝ)
49 fzfid 13878 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5030adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5149, 50fsumrecl 15619 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) ∈ ℝ)
528adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
54 peano2re 11328 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5629nnred 12168 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ)
57 fllep1 13706 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
588, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
6052, 55, 56, 59lesub1dd 11771 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
6152, 56resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴𝑑) ∈ ℝ)
6255, 56resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ∈ ℝ)
6329nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6463rpreccld 12967 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ+)
6561, 62, 64lemul1d 13000 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) ≤ (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) ↔ ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑))))
6660, 65mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) ≤ ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
671adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6829nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ∈ ℂ)
6930recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
7067, 68, 69subdird 11612 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))))
7129nnne0d 12203 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑑 ≠ 0)
7268, 71recidd 11926 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑑 · (1 / 𝑑)) = 1)
7372oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − (𝑑 · (1 / 𝑑))) = ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
7470, 73eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = ((𝐴𝑑) · (1 / 𝑑)))
75 fsumconst 15675 . . . . . . . . . 10 (((𝑑...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑑) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
7649, 69, 75syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)))
77 elfzuz3 13438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑))
79 hashfz 14327 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8134recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
83 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 68addsubd 11533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) = (((⌊‘𝐴) − 𝑑) + 1))
8580, 84eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) = (((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑))
8685oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘(𝑑...(⌊‘𝐴))) · (1 / 𝑑)) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8776, 86eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑) = ((((⌊‘𝐴) + 1) − 𝑑) · (1 / 𝑑)))
8866, 74, 873brtr4d 5137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
8914, 48, 51, 88fsumle 15684 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
9014, 1, 69fsummulc2 15669 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)))
91 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
92 fsumconst 15675 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
9314, 91, 92sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
94 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9523, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝐴))) = (⌊‘𝐴))
9695oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1) = ((⌊‘𝐴) · 1))
9781mulid1d 11172 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) · 1) = (⌊‘𝐴))
9893, 96, 973eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
9990, 98oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10046recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 · (1 / 𝑑)) ∈ ℂ)
10114, 100, 83fsumsub 15673 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(𝐴 · (1 / 𝑑)) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
10299, 101eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((𝐴 · (1 / 𝑑)) − 1))
103 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
104103uztrn2 12782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
106105biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
107 uzss 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
108107ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑑))
109108sseld 3943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
110109pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
111106, 110bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) → ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
112111pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
113 ancom 461 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
114 an4 654 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)) ∧ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
115112, 113, 1143bitr4g 313 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))))
116 elfzuzb 13435 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
117 elfzuzb 13435 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...𝑛) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑)))
118116, 117anbi12i 627 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)) ∧ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑑))))
119 elfzuzb 13435 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)))
120 elfzuzb 13435 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛)))
121119, 120anbi12i 627 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑑)) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑑) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑛))))
122115, 118, 1213bitr4g 313 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) ↔ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴)))))
12318recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
124123anasss 467 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (1...𝑛))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
12514, 14, 15, 122, 124fsumcom2 15659 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ (𝑑...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑))
12689, 102, 1253brtr4d 5137 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑑)) − (⌊‘𝐴)) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12713, 35, 20, 43, 126letrd 11312 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
12826, 34readdcld 11184 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
129 elfznn 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
130129adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
131130nnrpd 12955 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
132131relogcld 25978 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
133 peano2re 11328 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛) ∈ ℝ → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((log‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
135 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
136 flid 13713 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (⌊‘𝑛) = 𝑛)
138137oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝑛)) = (1...𝑛))
139138sumeq1d 15586 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) = Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑))
140 nnre 12160 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
141 nnge1 12181 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
142 harmonicubnd 26359 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
143140, 141, 142syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑛))(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
144139, 143eqbrtrrd 5129 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
145130, 144syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘𝑛) + 1))
14614, 19, 134, 145fsumle 15684 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1))
147132recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
148 1cnd 11150 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
14914, 147, 148fsumadd 15625 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
150 logfac 25956 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
15123, 150syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
152 fsumconst 15675 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
15314, 91, 152sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1 = ((♯‘(1...(⌊‘𝐴))) · 1))
154153, 96, 973eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1)
155151, 154oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))1))
156149, 155eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((log‘𝑛) + 1) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
157146, 156breqtrd 5131 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)))
15834, 8, 26, 42leadd2dd 11770 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + (⌊‘𝐴)) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
15920, 128, 27, 157, 158letrd 11312 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑑 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑑) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16013, 20, 27, 127, 159letrd 11312 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴))
16113, 8, 26lesubaddd 11752 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ↔ ((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) ≤ ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) + 𝐴)))
162160, 161mpbird 256 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((𝐴 · (log‘𝐴)) − 𝐴) − 𝐴) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
16312, 162eqbrtrd 5127 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 2)) ≤ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695  !cfa 14173  chash 14230  Σcsu 15570  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ulm 25736  df-log 25912  df-atan 26217  df-em 26342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator