Theorem chordthmlem 26777

Description: If 𝑀 is the midpoint of AB and AQ = BQ, then QMB is a right angle. The proof uses ssscongptld 26767 to observe that, since AMQ and BMQ have equal sides, the angles QMB and QMA must be equal. Since they are supplementary, both must be right angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmlem.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem.ABequidistQ	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
chordthmlem.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
chordthmlem.QneM	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem	⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negpitopissre 26487	. . . . . 6 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
2		chordthmlem.angdef	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3		chordthmlem.Q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
4		chordthmlem.M	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
5		chordthmlem.A	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		chordthmlem.B	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	addcld 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8	7	halfcld 12482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
9	4, 8	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
10	3, 9	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ∈ ℂ)
11		chordthmlem.QneM	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑀)
12	3, 9, 11	subne0d 11605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 − 𝑀) ≠ 0)
13	6, 9	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑀) ∈ ℂ)
14	4	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) · 2))
15	9	times2d 12481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) = (𝑀 + 𝑀))
16		2cnd 12315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17		2ne0 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	7, 16, 18	divcan1d 12016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) · 2) = (𝐴 + 𝐵))
20	14, 15, 19	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐵))
21		chordthmlem.AneB	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	5, 6, 6, 21	addneintr2d 11447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐵 + 𝐵))
23	20, 22	eqnetrd 2998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑀) ≠ (𝐵 + 𝐵))
24	23	neneqd 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑀) = (𝐵 + 𝐵))
25		oveq12 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 = 𝐵 ∧ 𝑀 = 𝐵) → (𝑀 + 𝑀) = (𝐵 + 𝐵))
26	25	anidms 565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 𝐵 → (𝑀 + 𝑀) = (𝐵 + 𝐵))
27	24, 26	nsyl 140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 = 𝐵)
28	27	neqned 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐵)
29	28	necomd 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑀)
30	6, 9, 29	subne0d 11605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑀) ≠ 0)
31	2, 10, 12, 13, 30	angcld 26750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ (-π(,]π))
32	1, 31	sselid 3971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ ℂ)
34	33	coscld 16102	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))) ∈ ℂ)
35	6, 9	negsubdi2d 11612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 − 𝑀) = (𝑀 − 𝐵))
36	9, 9, 5, 6	addsubeq4d 11647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝑀) = (𝑀 − 𝐵)))
37	20, 36	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑀) = (𝑀 − 𝐵))
38	35, 37	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 − 𝑀) = (𝐴 − 𝑀))
39	38	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 𝑀)𝐹-(𝐵 − 𝑀)) = ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐴 − 𝑀)))
40	39	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹-(𝐵 − 𝑀))) = (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐴 − 𝑀))))
41	2, 10, 12, 13, 30	cosangneg2d 26752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹-(𝐵 − 𝑀))) = -(cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))))
42	5, 5, 6, 21	addneintrd 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ≠ (𝐴 + 𝐵))
43	42, 20	neeqtrrd 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ≠ (𝑀 + 𝑀))
44	43	necomd 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑀) ≠ (𝐴 + 𝐴))
45	44	neneqd 2935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐴))
46		oveq12 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 𝐴 ∧ 𝑀 = 𝐴) → (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐴))
47	46	anidms 565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 𝐴 → (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐴))
48	45, 47	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 = 𝐴)
49	48	neqned 2937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐴)
50		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑄 − 𝑀)) = (abs‘(𝑄 − 𝑀)))
51	5, 9	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑀) ∈ ℂ)
52	51	absnegd 15423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐴 − 𝑀)) = (abs‘(𝐴 − 𝑀)))
53	5, 9	negsubdi2d 11612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 − 𝑀) = (𝑀 − 𝐴))
54	53	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐴 − 𝑀)) = (abs‘(𝑀 − 𝐴)))
55	37	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑀)) = (abs‘(𝑀 − 𝐵)))
56	52, 54, 55	3eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 − 𝐴)) = (abs‘(𝑀 − 𝐵)))
57		chordthmlem.ABequidistQ	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
58	2, 3, 9, 5, 3, 9, 6, 11, 49, 11, 28, 50, 56, 57	ssscongptld 26767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐴 − 𝑀))) = (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))))
59	40, 41, 58	3eqtr3rd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))) = -(cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))))
60	34, 59	eqnegad 11961	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))) = 0)
61		coseq0negpitopi 26451	. . 3 ⊢ (((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ (-π(,]π) → ((cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))) = 0 ↔ ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
62	31, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cos‘((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀))) = 0 ↔ ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
63	60, 62	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 𝑀)𝐹(𝐵 − 𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3938  {csn 4625  {cpr 4627  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136   · cmul 11138   − cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  2c2 12292  (,]cioc 13352  ℑcim 15072  abscabs 15208  cosccos 16035  πcpi 16037  logclog 26501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503

This theorem is referenced by:  chordthmlem2  26778