MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem 25980
Description: If 𝑀 is the midpoint of AB and AQ = BQ, then QMB is a right angle. The proof uses ssscongptld 25970 to observe that, since AMQ and BMQ have equal sides, the angles QMB and QMA must be equal. Since they are supplementary, both must be right angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmlem.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmlem.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem.ABequidistQ (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
chordthmlem.AneB (𝜑𝐴𝐵)
chordthmlem.QneM (𝜑𝑄𝑀)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmlem
StepHypRef Expression
1 negpitopissre 25694 . . . . . 6 (-π(,]π) ⊆ ℝ
2 chordthmlem.angdef . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3 chordthmlem.Q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
4 chordthmlem.M . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
5 chordthmlem.A . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 chordthmlem.B . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
75, 6addcld 10992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
87halfcld 12216 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
94, 8eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
103, 9subcld 11330 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℂ)
11 chordthmlem.QneM . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑀)
123, 9, 11subne0d 11339 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≠ 0)
136, 9subcld 11330 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑀) ∈ ℂ)
144oveq1d 7292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 2) = (((𝐴 + 𝐵) / 2) · 2))
159times2d 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 2) = (𝑀 + 𝑀))
16 2cnd 12049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17 2ne0 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ≠ 0)
197, 16, 18divcan1d 11750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) · 2) = (𝐴 + 𝐵))
2014, 15, 193eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐵))
21 chordthmlem.AneB . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
225, 6, 6, 21addneintr2d 11181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐵 + 𝐵))
2320, 22eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 + 𝑀) ≠ (𝐵 + 𝐵))
2423neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑀) = (𝐵 + 𝐵))
25 oveq12 7286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 𝐵𝑀 = 𝐵) → (𝑀 + 𝑀) = (𝐵 + 𝐵))
2625anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝐵 → (𝑀 + 𝑀) = (𝐵 + 𝐵))
2724, 26nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑀 = 𝐵)
2827neqned 2950 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐵)
2928necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑀)
306, 9, 29subne0d 11339 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑀) ≠ 0)
312, 10, 12, 13, 30angcld 25953 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ (-π(,]π))
321, 31sselid 3920 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ ℝ)
3332recnd 11001 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ ℂ)
3433coscld 15838 . . 3 (𝜑 → (cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))) ∈ ℂ)
356, 9negsubdi2d 11346 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐵𝑀) = (𝑀𝐵))
369, 9, 5, 6addsubeq4d 11381 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝐴𝑀) = (𝑀𝐵)))
3720, 36mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑀) = (𝑀𝐵))
3835, 37eqtr4d 2781 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝐵𝑀) = (𝐴𝑀))
3938oveq2d 7293 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹-(𝐵𝑀)) = ((𝑄𝑀)𝐹(𝐴𝑀)))
4039fveq2d 6780 . . . 4 (𝜑 → (cos‘((𝑄𝑀)𝐹-(𝐵𝑀))) = (cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐴𝑀))))
412, 10, 12, 13, 30cosangneg2d 25955 . . . 4 (𝜑 → (cos‘((𝑄𝑀)𝐹-(𝐵𝑀))) = -(cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))))
425, 5, 6, 21addneintrd 11180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ≠ (𝐴 + 𝐵))
4342, 20neeqtrrd 3018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ≠ (𝑀 + 𝑀))
4443necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝑀) ≠ (𝐴 + 𝐴))
4544neneqd 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐴))
46 oveq12 7286 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 𝐴𝑀 = 𝐴) → (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐴))
4746anidms 567 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝐴 → (𝑀 + 𝑀) = (𝐴 + 𝐴))
4845, 47nsyl 140 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑀 = 𝐴)
4948neqned 2950 . . . . 5 (𝜑𝑀𝐴)
50 eqidd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑄𝑀)) = (abs‘(𝑄𝑀)))
515, 9subcld 11330 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
5251absnegd 15159 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘-(𝐴𝑀)) = (abs‘(𝐴𝑀)))
535, 9negsubdi2d 11346 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐴𝑀) = (𝑀𝐴))
5453fveq2d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘-(𝐴𝑀)) = (abs‘(𝑀𝐴)))
5537fveq2d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑀)) = (abs‘(𝑀𝐵)))
5652, 54, 553eqtr3d 2786 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑀𝐴)) = (abs‘(𝑀𝐵)))
57 chordthmlem.ABequidistQ . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
582, 3, 9, 5, 3, 9, 6, 11, 49, 11, 28, 50, 56, 57ssscongptld 25970 . . . 4 (𝜑 → (cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐴𝑀))) = (cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))))
5940, 41, 583eqtr3rd 2787 . . 3 (𝜑 → (cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))) = -(cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))))
6034, 59eqnegad 11695 . 2 (𝜑 → (cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))) = 0)
61 coseq0negpitopi 25658 . . 3 (((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ (-π(,]π) → ((cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))) = 0 ↔ ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
6231, 61syl 17 . 2 (𝜑 → ((cos‘((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀))) = 0 ↔ ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
6360, 62mpbid 231 1 (𝜑 → ((𝑄𝑀)𝐹(𝐵𝑀)) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cdif 3885  {csn 4563  {cpr 4565  cfv 6435  (class class class)co 7277  cmpo 7279  cc 10867  cr 10868  0cc0 10869   + caddc 10872   · cmul 10874  cmin 11203  -cneg 11204   / cdiv 11630  2c2 12026  (,]cioc 13078  cim 14807  abscabs 14943  cosccos 15772  πcpi 15774  logclog 25708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947  ax-addf 10948  ax-mulf 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-2o 8296  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-fi 9168  df-sup 9199  df-inf 9200  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-q 12687  df-rp 12729  df-xneg 12846  df-xadd 12847  df-xmul 12848  df-ioo 13081  df-ioc 13082  df-ico 13083  df-icc 13084  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710
This theorem is referenced by:  chordthmlem2  25981
  Copyright terms: Public domain W3C validator