MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem 26738
Description: If ๐‘€ is the midpoint of AB and AQ = BQ, then QMB is a right angle. The proof uses ssscongptld 26728 to observe that, since AMQ and BMQ have equal sides, the angles QMB and QMA must be equal. Since they are supplementary, both must be right angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem.angdef ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
chordthmlem.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem.Q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
chordthmlem.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem.ABequidistQ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
chordthmlem.AneB (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
chordthmlem.QneM (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
chordthmlem (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘„,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem chordthmlem
StepHypRef Expression
1 negpitopissre 26448 . . . . . 6 (-ฯ€(,]ฯ€) โІ โ„
2 chordthmlem.angdef . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
3 chordthmlem.Q . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
4 chordthmlem.M . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
5 chordthmlem.A . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 chordthmlem.B . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
75, 6addcld 11249 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
87halfcld 12473 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
94, 8eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
103, 9subcld 11587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
11 chordthmlem.QneM . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘€)
123, 9, 11subne0d 11596 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
136, 9subcld 11587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
144oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท 2) = (((๐ด + ๐ต) / 2) ยท 2))
159times2d 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท 2) = (๐‘€ + ๐‘€))
16 2cnd 12306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
17 2ne0 12332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โ‰  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
197, 16, 18divcan1d 12007 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) / 2) ยท 2) = (๐ด + ๐ต))
2014, 15, 193eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ด + ๐ต))
21 chordthmlem.AneB . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
225, 6, 6, 21addneintr2d 11438 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰  (๐ต + ๐ต))
2320, 22eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) โ‰  (๐ต + ๐ต))
2423neneqd 2940 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ต + ๐ต))
25 oveq12 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ = ๐ต โˆง ๐‘€ = ๐ต) โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ต + ๐ต))
2625anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ = ๐ต โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ต + ๐ต))
2724, 26nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘€ = ๐ต)
2827neqned 2942 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐ต)
2928necomd 2991 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐‘€)
306, 9, 29subne0d 11596 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
312, 10, 12, 13, 30angcld 26711 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€))
321, 31sselid 3976 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„)
3332recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
3433coscld 16093 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
356, 9negsubdi2d 11603 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(๐ต โˆ’ ๐‘€) = (๐‘€ โˆ’ ๐ต))
369, 9, 5, 6addsubeq4d 11638 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ๐‘€) = (๐ด + ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘€) = (๐‘€ โˆ’ ๐ต)))
3720, 36mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘€) = (๐‘€ โˆ’ ๐ต))
3835, 37eqtr4d 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -(๐ต โˆ’ ๐‘€) = (๐ด โˆ’ ๐‘€))
3938oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น-(๐ต โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ด โˆ’ ๐‘€)))
4039fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น-(๐ต โˆ’ ๐‘€))) = (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ด โˆ’ ๐‘€))))
412, 10, 12, 13, 30cosangneg2d 26713 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น-(๐ต โˆ’ ๐‘€))) = -(cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))))
425, 5, 6, 21addneintrd 11437 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ด) โ‰  (๐ด + ๐ต))
4342, 20neeqtrrd 3010 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ด) โ‰  (๐‘€ + ๐‘€))
4443necomd 2991 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) โ‰  (๐ด + ๐ด))
4544neneqd 2940 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ด + ๐ด))
46 oveq12 7423 . . . . . . . 8 ((๐‘€ = ๐ด โˆง ๐‘€ = ๐ด) โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ด + ๐ด))
4746anidms 566 . . . . . . 7 (๐‘€ = ๐ด โ†’ (๐‘€ + ๐‘€) = (๐ด + ๐ด))
4845, 47nsyl 140 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘€ = ๐ด)
4948neqned 2942 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐ด)
50 eqidd 2728 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘„ โˆ’ ๐‘€)))
515, 9subcld 11587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5251absnegd 15414 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜-(๐ด โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘€)))
535, 9negsubdi2d 11603 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐‘€) = (๐‘€ โˆ’ ๐ด))
5453fveq2d 6895 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜-(๐ด โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐ด)))
5537fveq2d 6895 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐ต)))
5652, 54, 553eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐ด)) = (absโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐ต)))
57 chordthmlem.ABequidistQ . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘„)))
582, 3, 9, 5, 3, 9, 6, 11, 49, 11, 28, 50, 56, 57ssscongptld 26728 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ด โˆ’ ๐‘€))) = (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))))
5940, 41, 583eqtr3rd 2776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))) = -(cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))))
6034, 59eqnegad 11952 . 2 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))) = 0)
61 coseq0negpitopi 26412 . . 3 (((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (-ฯ€(,]ฯ€) โ†’ ((cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))) = 0 โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
6231, 61syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((cosโ€˜((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€))) = 0 โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)}))
6360, 62mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘€)๐น(๐ต โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ {(ฯ€ / 2), -(ฯ€ / 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โˆ– cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  2c2 12283  (,]cioc 13343  โ„‘cim 15063  abscabs 15199  cosccos 16026  ฯ€cpi 16028  logclog 26462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-log 26464
This theorem is referenced by:  chordthmlem2  26739
  Copyright terms: Public domain W3C validator