Theorem rplogsumlem1 27402

Description: Lemma for rplogsum 27445. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rplogsumlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzuz 13488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 12854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6	5	nnrpd 13000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 26539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
9		uz2m1nn 12889	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
11	5, 10	nnmulcld 12246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
12	7, 11	nndivred 12247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15707	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
14		2re 12267	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	10	nnrpd 13000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15385	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+)
17		rerpdivcl 12990	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
19	6	rpsqrtcld 15385	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20		rerpdivcl 12990	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑛) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21	14, 19, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
22	18, 21	resubcld 11613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
23	1, 22	fsumrecl 15707	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
24	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
25	16	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
26	5	nnred 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ)
27		peano2rem 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
29	26, 28	remulcld 11211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
30	29, 22	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) ∈ ℝ)
31	5	nncnd 12209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		npcan 11437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
34	31, 32, 33	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
35	34	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) = (log‘𝑛))
36	15	rpge0d 13006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
37		loglesqrt 26678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
38	28, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
39	35, 38	eqbrtrrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
40	19	rpred 13002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ)
41	40, 25	readdcld 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
42		remulcl 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
43	40, 14, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
44	40, 25	resubcld 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
45	26	lem1d 12123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
46	6	rpge0d 13006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ 𝑛)
47	28, 36, 26, 46	sqrtled 15400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
48	45, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛))
49	40, 25	subge0d 11775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
50	48, 49	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))
51	25, 40, 40, 48	leadd2dd 11800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
52	19	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
53	52	times2d 12433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) = ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
54	51, 53	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) · 2))
55	41, 43, 44, 50, 54	lemul1ad 12129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ≤ (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
56	31	sqsqrtd 15415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛)↑2) = 𝑛)
57		subcl 11427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
58	31, 32, 57	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
59	58	sqsqrtd 15415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1))↑2) = (𝑛 − 1))
60	56, 59	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (𝑛 − (𝑛 − 1)))
61	16	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
62		subsq 14182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
63	52, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
64		nncan 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
65	31, 32, 64	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
66	60, 63, 65	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = 1)
67		2cn 12268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 2 ∈ ℂ)
69	44	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
70	52, 68, 69	mulassd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
71	55, 66, 70	3brtr3d 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
72		1red 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
73		remulcl 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
74	14, 44, 73	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
75	40, 74	remulcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℝ)
76	72, 75, 16	lemul1d 13045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ↔ (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1)))))
77	71, 76	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))))
78	61	mullidd 11199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) = (√‘(𝑛 − 1)))
79	74	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
80	52, 79, 61	mul32d 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
81	77, 78, 80	3brtr3d 5141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
82		remsqsqrt 15229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
83	26, 46, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
84		remsqsqrt 15229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
85	28, 36, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
86	83, 85	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (𝑛 · (𝑛 − 1)))
87	52, 52, 61, 61	mul4d 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
88	86, 87	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
89	16	rpcnne0d 13011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0))
90	19	rpcnne0d 13011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))
91		divsubdiv 11905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ (((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
92	68, 68, 89, 90, 91	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
93	68, 52, 61	subdid 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))))
94	52, 61	mulcomd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) = ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛)))
95	93, 94	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
96	92, 95	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
97	88, 96	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))))
98	52, 61	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
99	19, 16	rpmulcld 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ+)
100	74, 99	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
101	100	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
102	98, 98, 101	mulassd 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))))
103	99	rpne0d 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ≠ 0)
104	79, 98, 103	divcan2d 11967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
105	104	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
106	97, 102, 105	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
107	81, 106	breqtrrd 5138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
108	7, 25, 30, 39, 107	letrd 11338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
109	11	nngt0d 12242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))
110		ledivmul 12066	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
111	7, 22, 29, 109, 110	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
112	108, 111	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
113	1, 12, 22, 112	fsumle 15772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
114		fvoveq1 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘(𝑛 − 1)))
115	114	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘(𝑛 − 1))))
116		fvoveq1 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝑛 + 1) − 1)))
117	116	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))))
118		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = (2 − 1))
119		2m1e1 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
120	118, 119	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = 1)
121	120	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘1))
122		sqrt1 15244	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = 1)
124	123	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / 1))
125	67	div1i 11917	. . . . . 6 ⊢ (2 / 1) = 2
126	124, 125	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = 2)
127		fvoveq1 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝐴 + 1) − 1)))
128	127	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))))
129		nnz 12557	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
130		eluzp1p1 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
131		nnuz 12843	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
132	130, 131	eleq2s 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
133		df-2 12256	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
134	133	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
135	132, 134	eleqtrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
136		elfzuz 13488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
137		uz2m1nn 12889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
139	138	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
140	139	nnrpd 13000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ+)
141	140	rpsqrtcld 15385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
142		rerpdivcl 12990	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
143	14, 141, 142	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
145	115, 117, 126, 128, 129, 135, 144	telfsum 15777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))))
146		pncan 11434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
147	31, 32, 146	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
148	147	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘((𝑛 + 1) − 1)) = (√‘𝑛))
149	148	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝑛)))
150	149	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
151	150	sumeq2dv 15675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
152		nncn 12201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
153		pncan 11434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
154	152, 32, 153	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
155	154	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘((𝐴 + 1) − 1)) = (√‘𝐴))
156	155	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝐴)))
157	156	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
158	145, 151, 157	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
159		2rp 12963	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
160		nnrp 12970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
161	160	rpsqrtcld 15385	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
162		rpdivcl 12985	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
163	159, 161, 162	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
164	163	rpge0d 13006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 / (√‘𝐴)))
165	163	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
166		subge02 11701	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
167	14, 165, 166	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
168	164, 167	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2)
169	158, 168	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ≤ 2)
170	13, 23, 24, 113, 169	letrd 11338	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  √csqrt 15206  Σcsu 15659  logclog 26470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  27403