Theorem rplogsumlem1 27685

Description: Lemma for rplogsum 27728. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rplogsumlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14029	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzuz 13566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 12930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6	5	nnrpd 13076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 26825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
9		uz2m1nn 12965	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
11	5, 10	nnmulcld 12307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
12	7, 11	nndivred 12308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
14		2re 12333	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	10	nnrpd 13076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+)
17		rerpdivcl 13066	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
19	6	rpsqrtcld 15489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20		rerpdivcl 13066	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑛) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21	14, 19, 20	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
22	18, 21	resubcld 11660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
23	1, 22	fsumrecl 15811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
24	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
25	16	rpred 13078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
26	5	nnred 12266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ)
27		peano2rem 11543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
29	26, 28	remulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
30	29, 22	remulcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) ∈ ℝ)
31	5	nncnd 12267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		npcan 11484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
35	34	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) = (log‘𝑛))
36	15	rpge0d 13082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
37		loglesqrt 26963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
38	28, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
39	35, 38	eqbrtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
40	19	rpred 13078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ)
41	40, 25	readdcld 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
42		remulcl 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
43	40, 14, 42	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
44	40, 25	resubcld 11660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
45	26	lem1d 12166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
46	6	rpge0d 13082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ 𝑛)
47	28, 36, 26, 46	sqrtled 15504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
48	45, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛))
49	40, 25	subge0d 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
50	48, 49	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))
51	25, 40, 40, 48	leadd2dd 11847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
52	19	rpcnd 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
53	52	times2d 12506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) = ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
54	51, 53	breqtrrd 5144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) · 2))
55	41, 43, 44, 50, 54	lemul1ad 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ≤ (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
56	31	sqsqrtd 15519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛)↑2) = 𝑛)
57		subcl 11474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
58	31, 32, 57	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
59	58	sqsqrtd 15519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1))↑2) = (𝑛 − 1))
60	56, 59	oveq12d 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (𝑛 − (𝑛 − 1)))
61	16	rpcnd 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
62		subsq 14266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
63	52, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
64		nncan 11505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
65	31, 32, 64	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
66	60, 63, 65	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = 1)
67		2cn 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 2 ∈ ℂ)
69	44	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
70	52, 68, 69	mulassd 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
71	55, 66, 70	3brtr3d 5147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
72		1red 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
73		remulcl 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
74	14, 44, 73	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
75	40, 74	remulcld 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℝ)
76	72, 75, 16	lemul1d 13121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ↔ (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1)))))
77	71, 76	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))))
78	61	mullidd 11245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) = (√‘(𝑛 − 1)))
79	74	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
80	52, 79, 61	mul32d 11438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
81	77, 78, 80	3brtr3d 5147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
82		remsqsqrt 15333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
83	26, 46, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
84		remsqsqrt 15333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
85	28, 36, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
86	83, 85	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (𝑛 · (𝑛 − 1)))
87	52, 52, 61, 61	mul4d 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
88	86, 87	eqtr3d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
89	16	rpcnne0d 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0))
90	19	rpcnne0d 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))
91		divsubdiv 11949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ (((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
92	68, 68, 89, 90, 91	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
93	68, 52, 61	subdid 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))))
94	52, 61	mulcomd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) = ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛)))
95	93, 94	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
96	92, 95	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
97	88, 96	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))))
98	52, 61	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
99	19, 16	rpmulcld 13094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ+)
100	74, 99	rerpdivcld 13109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
101	100	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
102	98, 98, 101	mulassd 11250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))))
103	99	rpne0d 13083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ≠ 0)
104	79, 98, 103	divcan2d 12011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
105	104	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
106	97, 102, 105	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
107	81, 106	breqtrrd 5144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
108	7, 25, 30, 39, 107	letrd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
109	11	nngt0d 12303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))
110		ledivmul 12109	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
111	7, 22, 29, 109, 110	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
112	108, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
113	1, 12, 22, 112	fsumle 15877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
114		fvoveq1 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘(𝑛 − 1)))
115	114	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘(𝑛 − 1))))
116		fvoveq1 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝑛 + 1) − 1)))
117	116	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))))
118		oveq1 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = (2 − 1))
119		2m1e1 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
120	118, 119	eqtrdi 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = 1)
121	120	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘1))
122		sqrt1 15348	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = 1)
124	123	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / 1))
125	67	div1i 11961	. . . . . 6 ⊢ (2 / 1) = 2
126	124, 125	eqtrdi 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = 2)
127		fvoveq1 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝐴 + 1) − 1)))
128	127	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))))
129		nnz 12630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
130		eluzp1p1 12908	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
131		nnuz 12919	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
132	130, 131	eleq2s 2884	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
133		df-2 12321	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
134	133	fveq2i 6891	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
135	132, 134	eleqtrrdi 2877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
136		elfzuz 13566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
137		uz2m1nn 12965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
138	136, 137	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
139	138	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
140	139	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ+)
141	140	rpsqrtcld 15489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
142		rerpdivcl 13066	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
143	14, 141, 142	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
145	115, 117, 126, 128, 129, 135, 144	telfsum 15882	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))))
146		pncan 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
147	31, 32, 146	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
148	147	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘((𝑛 + 1) − 1)) = (√‘𝑛))
149	148	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝑛)))
150	149	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
151	150	sumeq2dv 15779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
152		nncn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
153		pncan 11481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
154	152, 32, 153	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
155	154	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘((𝐴 + 1) − 1)) = (√‘𝐴))
156	155	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝐴)))
157	156	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
158	145, 151, 157	3eqtr3d 2809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
159		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
160		nnrp 13046	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
161	160	rpsqrtcld 15489	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
162		rpdivcl 13061	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
163	159, 161, 162	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
164	163	rpge0d 13082	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 / (√‘𝐴)))
165	163	rpred 13078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
166		subge02 11748	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
167	14, 165, 166	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
168	164, 167	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2)
169	158, 168	eqbrtrd 5138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ≤ 2)
170	13, 23, 24, 113, 169	letrd 11385	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  √csqrt 15310  Σcsu 15763  logclog 26756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-tan 16150  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cxp 26759

This theorem is used by:  rplogsumlem2  27686