Theorem rplogsumlem1 26365

Description: Lemma for rplogsum 26408. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rplogsumlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13546	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzuz 13108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6	5	nnrpd 12626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 25511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
9		uz2m1nn 12519	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
11	5, 10	nnmulcld 11883	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
12	7, 11	nndivred 11884	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
14		2re 11904	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	10	nnrpd 12626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 14975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+)
17		rerpdivcl 12616	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
19	6	rpsqrtcld 14975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20		rerpdivcl 12616	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑛) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21	14, 19, 20	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
22	18, 21	resubcld 11260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
23	1, 22	fsumrecl 15298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
24	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
25	16	rpred 12628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
26	5	nnred 11845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ)
27		peano2rem 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
29	26, 28	remulcld 10863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
30	29, 22	remulcld 10863	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) ∈ ℝ)
31	5	nncnd 11846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 10787	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		npcan 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
34	31, 32, 33	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
35	34	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) = (log‘𝑛))
36	15	rpge0d 12632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
37		loglesqrt 25644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
38	28, 36, 37	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
39	35, 38	eqbrtrrd 5077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
40	19	rpred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ)
41	40, 25	readdcld 10862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
42		remulcl 10814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
43	40, 14, 42	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
44	40, 25	resubcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
45	26	lem1d 11765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
46	6	rpge0d 12632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ 𝑛)
47	28, 36, 26, 46	sqrtled 14990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
48	45, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛))
49	40, 25	subge0d 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
50	48, 49	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))
51	25, 40, 40, 48	leadd2dd 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
52	19	rpcnd 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
53	52	times2d 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) = ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
54	51, 53	breqtrrd 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) · 2))
55	41, 43, 44, 50, 54	lemul1ad 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ≤ (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
56	31	sqsqrtd 15003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛)↑2) = 𝑛)
57		subcl 11077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
58	31, 32, 57	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
59	58	sqsqrtd 15003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1))↑2) = (𝑛 − 1))
60	56, 59	oveq12d 7231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (𝑛 − (𝑛 − 1)))
61	16	rpcnd 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
62		subsq 13778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
63	52, 61, 62	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
64		nncan 11107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
65	31, 32, 64	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
66	60, 63, 65	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = 1)
67		2cn 11905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 2 ∈ ℂ)
69	44	recnd 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
70	52, 68, 69	mulassd 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
71	55, 66, 70	3brtr3d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
72		1red 10834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
73		remulcl 10814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
74	14, 44, 73	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
75	40, 74	remulcld 10863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℝ)
76	72, 75, 16	lemul1d 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ↔ (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1)))))
77	71, 76	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))))
78	61	mulid2d 10851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) = (√‘(𝑛 − 1)))
79	74	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
80	52, 79, 61	mul32d 11042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
81	77, 78, 80	3brtr3d 5084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
82		remsqsqrt 14820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
83	26, 46, 82	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
84		remsqsqrt 14820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
85	28, 36, 84	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
86	83, 85	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (𝑛 · (𝑛 − 1)))
87	52, 52, 61, 61	mul4d 11044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
88	86, 87	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
89	16	rpcnne0d 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0))
90	19	rpcnne0d 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))
91		divsubdiv 11548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ (((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
92	68, 68, 89, 90, 91	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
93	68, 52, 61	subdid 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))))
94	52, 61	mulcomd 10854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) = ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛)))
95	93, 94	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
96	92, 95	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
97	88, 96	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))))
98	52, 61	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
99	19, 16	rpmulcld 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ+)
100	74, 99	rerpdivcld 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
101	100	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
102	98, 98, 101	mulassd 10856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))))
103	99	rpne0d 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ≠ 0)
104	79, 98, 103	divcan2d 11610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
105	104	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
106	97, 102, 105	3eqtrd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
107	81, 106	breqtrrd 5081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
108	7, 25, 30, 39, 107	letrd 10989	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
109	11	nngt0d 11879	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))
110		ledivmul 11708	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
111	7, 22, 29, 109, 110	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
112	108, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
113	1, 12, 22, 112	fsumle 15363	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
114		fvoveq1 7236	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘(𝑛 − 1)))
115	114	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘(𝑛 − 1))))
116		fvoveq1 7236	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝑛 + 1) − 1)))
117	116	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))))
118		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = (2 − 1))
119		2m1e1 11956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
120	118, 119	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = 1)
121	120	fveq2d 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘1))
122		sqrt1 14835	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = 1)
124	123	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / 1))
125	67	div1i 11560	. . . . . 6 ⊢ (2 / 1) = 2
126	124, 125	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = 2)
127		fvoveq1 7236	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝐴 + 1) − 1)))
128	127	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))))
129		nnz 12199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
130		eluzp1p1 12466	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
131		nnuz 12477	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
132	130, 131	eleq2s 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
133		df-2 11893	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
134	133	fveq2i 6720	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
135	132, 134	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
136		elfzuz 13108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
137		uz2m1nn 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
139	138	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
140	139	nnrpd 12626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ+)
141	140	rpsqrtcld 14975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
142		rerpdivcl 12616	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
143	14, 141, 142	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 10861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
145	115, 117, 126, 128, 129, 135, 144	telfsum 15368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))))
146		pncan 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
147	31, 32, 146	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
148	147	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘((𝑛 + 1) − 1)) = (√‘𝑛))
149	148	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝑛)))
150	149	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
151	150	sumeq2dv 15267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
152		nncn 11838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
153		pncan 11084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
154	152, 32, 153	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
155	154	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘((𝐴 + 1) − 1)) = (√‘𝐴))
156	155	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝐴)))
157	156	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
158	145, 151, 157	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
159		2rp 12591	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
160		nnrp 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
161	160	rpsqrtcld 14975	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
162		rpdivcl 12611	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
163	159, 161, 162	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
164	163	rpge0d 12632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 / (√‘𝐴)))
165	163	rpred 12628	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
166		subge02 11348	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
167	14, 165, 166	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
168	164, 167	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2)
169	158, 168	eqbrtrd 5075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ≤ 2)
170	13, 23, 24, 113, 169	letrd 10989	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  ℕcn 11830  2c2 11885  ℤ_≥cuz 12438  ℝ⁺crp 12586  ...cfz 13095  ↑cexp 13635  √csqrt 14796  Σcsu 15249  logclog 25443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-tan 15633  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cxp 25446

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  26366