MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplogsumlem1 26977
Description: Lemma for rplogsum 27020. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem1 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rplogsumlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13935 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (2...𝐴) ∈ Fin)
2 elfzuz 13494 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2nn 12865 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
54adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
65nnrpd 13011 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
76relogcld 26123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
82adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
9 uz2m1nn 12904 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
115, 10nnmulcld 12262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
127, 11nndivred 12263 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
131, 12fsumrecl 15677 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
14 2re 12283 . . . . 5 2 ∈ ℝ
1510nnrpd 13011 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ+)
1615rpsqrtcld 15355 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+)
17 rerpdivcl 13001 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
1814, 16, 17sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
196rpsqrtcld 15355 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20 rerpdivcl 13001 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑛) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
2114, 19, 20sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
2218, 21resubcld 11639 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
231, 22fsumrecl 15677 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
2414a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
2516rpred 13013 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
265nnred 12224 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ)
27 peano2rem 11524 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
2926, 28remulcld 11241 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
3029, 22remulcld 11241 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) ∈ ℝ)
315nncnd 12225 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 11165 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
33 npcan 11466 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
3431, 32, 33sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
3534fveq2d 6893 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) = (log‘𝑛))
3615rpge0d 13017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
37 loglesqrt 26256 . . . . . . 7 (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
3828, 36, 37syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
3935, 38eqbrtrrd 5172 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
4019rpred 13013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ)
4140, 25readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
42 remulcl 11192 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
4340, 14, 42sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
4440, 25resubcld 11639 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
4526lem1d 12144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
466rpge0d 13017 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ 𝑛)
4728, 36, 26, 46sqrtled 15370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛))
4940, 25subge0d 11801 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
5048, 49mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))
5125, 40, 40, 48leadd2dd 11826 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
5219rpcnd 13015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
5352times2d 12453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) = ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
5451, 53breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) · 2))
5541, 43, 44, 50, 54lemul1ad 12150 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ≤ (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
5631sqsqrtd 15383 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛)↑2) = 𝑛)
57 subcl 11456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
5831, 32, 57sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
5958sqsqrtd 15383 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1))↑2) = (𝑛 − 1))
6056, 59oveq12d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (𝑛 − (𝑛 − 1)))
6116rpcnd 13015 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
62 subsq 14171 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
6352, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
64 nncan 11486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
6531, 32, 64sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
6660, 63, 653eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = 1)
67 2cn 12284 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 2 ∈ ℂ)
6944recnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
7052, 68, 69mulassd 11234 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
7155, 66, 703brtr3d 5179 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
72 1red 11212 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
73 remulcl 11192 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
7414, 44, 73sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
7540, 74remulcld 11241 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℝ)
7672, 75, 16lemul1d 13056 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ↔ (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1)))))
7771, 76mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))))
7861mullidd 11229 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) = (√‘(𝑛 − 1)))
7974recnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
8052, 79, 61mul32d 11421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
8177, 78, 803brtr3d 5179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
82 remsqsqrt 15200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
8326, 46, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
84 remsqsqrt 15200 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
8528, 36, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
8683, 85oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (𝑛 · (𝑛 − 1)))
8752, 52, 61, 61mul4d 11423 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
8886, 87eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
8916rpcnne0d 13022 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0))
9019rpcnne0d 13022 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))
91 divsubdiv 11927 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ (((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
9268, 68, 89, 90, 91syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
9368, 52, 61subdid 11667 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))))
9452, 61mulcomd 11232 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) = ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛)))
9593, 94oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
9692, 95eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
9788, 96oveq12d 7424 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))))
9852, 61mulcld 11231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
9919, 16rpmulcld 13029 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ+)
10074, 99rerpdivcld 13044 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
101100recnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
10298, 98, 101mulassd 11234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))))
10399rpne0d 13018 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ≠ 0)
10479, 98, 103divcan2d 11989 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
105104oveq2d 7422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
10697, 102, 1053eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
10781, 106breqtrrd 5176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
1087, 25, 30, 39, 107letrd 11368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
10911nngt0d 12258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))
110 ledivmul 12087 . . . . 5 (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
1117, 22, 29, 109, 110syl112anc 1375 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
112108, 111mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
1131, 12, 22, 112fsumle 15742 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
114 fvoveq1 7429 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘(𝑛 − 1)))
115114oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘(𝑛 − 1))))
116 fvoveq1 7429 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝑛 + 1) − 1)))
117116oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))))
118 oveq1 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = (2 − 1))
119 2m1e1 12335 . . . . . . . . . 10 (2 − 1) = 1
120118, 119eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = 1)
121120fveq2d 6893 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘1))
122 sqrt1 15215 . . . . . . . 8 (√‘1) = 1
123121, 122eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = 1)
124123oveq2d 7422 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / 1))
12567div1i 11939 . . . . . 6 (2 / 1) = 2
126124, 125eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = 2)
127 fvoveq1 7429 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐴 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝐴 + 1) − 1)))
128127oveq2d 7422 . . . . 5 (𝑘 = (𝐴 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))))
129 nnz 12576 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
130 eluzp1p1 12847 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
131 nnuz 12862 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
132130, 131eleq2s 2852 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
133 df-2 12272 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
134133fveq2i 6892 . . . . . 6 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
135132, 134eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2))
136 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
137 uz2m1nn 12904 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
139138adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
140139nnrpd 13011 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ+)
141140rpsqrtcld 15355 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
142 rerpdivcl 13001 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
14314, 141, 142sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
144143recnd 11239 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
145115, 117, 126, 128, 129, 135, 144telfsum 15747 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))))
146 pncan 11463 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
14731, 32, 146sylancl 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
148147fveq2d 6893 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘((𝑛 + 1) − 1)) = (√‘𝑛))
149148oveq2d 7422 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝑛)))
150149oveq2d 7422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
151150sumeq2dv 15646 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
152 nncn 12217 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
153 pncan 11463 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
154152, 32, 153sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
155154fveq2d 6893 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (√‘((𝐴 + 1) − 1)) = (√‘𝐴))
156155oveq2d 7422 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝐴)))
157156oveq2d 7422 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
158145, 151, 1573eqtr3d 2781 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
159 2rp 12976 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
160 nnrp 12982 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
161160rpsqrtcld 15355 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
162 rpdivcl 12996 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
163159, 161, 162sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
164163rpge0d 13017 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 / (√‘𝐴)))
165163rpred 13013 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
166 subge02 11727 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
16714, 165, 166sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
168164, 167mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2)
169158, 168eqbrtrd 5170 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ≤ 2)
17013, 23, 24, 113, 169letrd 11368 1 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441   / cdiv 11868  cn 12209  2c2 12264  cuz 12819  +crp 12971  ...cfz 13481  cexp 14024  csqrt 15177  Σcsu 15629  logclog 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cxp 26058
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  26978
  Copyright terms: Public domain W3C validator